Shironetsu Blog

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なぜ8次交代群は2元体上の4×4一般線形群と同型か

  • イントロ──位数20160の単純群
  • 2元体上の4次一般線形群
  • 6次対称群と2元体上の4次シンプレクティック群
  • 対称行列
  • 28という数
  • 同型写像の例
  • まとめとこれから
  • リファレンス

イントロ──位数20160の単純群

定理(Artin,Tits)[1]
ふたつの有限単純群の位数が等しければ

(1) 同型

(2) B_n(\mathbb{F}_q)\ \mbox{&}\ C_n(\mathbb{F}_q)\ \ \ n\geq 3,q:\mbox{even}

(3) A_4(\mathbb{F}_2)\cong {\mathfrak A}_8\ \mbox{&}\ A_3(\mathbb{F}_4)

のいずれかの組でこれらは互いに排他的(つまり(2)と(3)は非同型な組).

 有限単純群の分類定理が絡むのでこの定理そのものについて語ることはとてもできないが, 例外的同型(exceptional isomorphism)を語るうえで非常に示唆的な定理だろう. 有限単純群ほとんど「位数が等しければ同型」なのである. その例外のうち(2)はLie型の単純群B,Cの組で無限系列. 一方(3)は「例外中の例外」でただひとつこの組しか存在しない.

 このうちA_3(\mathbb{F}_4)は4元体上の3次一般線形群PSL(3,\mathbb{F}_4)のことだがいまは見送る.

 今回注目するのは例外(3)の半分. A_4(\mathbb{F}_2)というのがこの記事でこれから見ていくGL(4,\mathbb{F}_2)で, {\mathfrak A}_8交代群である.

 位数20160のふたつの単純群は同型とは限らないが, 異なる無限系列─Lie型の単純群交代群に属するこのふたつは同型になるのである. いわばArtin-Titsの定理の例外の例外の例外ともいえるこの同型を調べていく.

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小さな非可換単純群 - PSL(2,p)

  • イントロ
  • 有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
    • 定義
    • ガロアの最期の手紙
    • PSL(2,p)の位数
    • 共役類を数える
    • 単純性
  • まとめとこれから

イントロ

2番目に/小さい非可換/単純群

 最小の非可換単純群は位数60の5次交代群だった. 正20面体の対称性でもあることから, 特に線形表現に現れる幾何学的な性質について以前調べた.

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 専ら6次対称群を見ていたので交代群固有の性質にはあまり注目していなかったが, 6次交代群の線形表現も調べた. この群は位数360でやはり単純群だが, 小さいほうからは3番目である.

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 では5次交代群と6次交代群の間にある2番目に小さい非可換単純群の位数はいくつかというと168で, この位数を持つ唯一の単純群

{PSL(2,7)\cong GL(3,2)}

である. 見た目の異なる2つの群が交わっている.

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ヴァレンティナー群と6次交代群の8次元表現

  • 正20面体群ミニマム
  • ヴァレンティナー群を見つける
  • 交代群の被覆群
  • SU(3)の有限部分群
  • 8次元表現
  • 6次対称群の16次元表現.
  • まとめとこれから
  • リファレンス

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つづき.

 ヴァレンティナー群(Valentiner group)の存在を知っていながら6次交代群の8次元既約表現の構成法がよくわからない, というのはさすがに鈍かった. {{\bf 3}\otimes\overline{\bf 3}={\bf 8}\oplus{\bf 1}}.

 初めに要点だけ説明する.

 正20面体群{{\mathcal I}\subset SO(3)}が複素射影平面{{\mathbb C}P^2}に作用すると考える. 射影変換をひとつ加えることで, 新たに生成される群が{PSL(3,\mathbb{C})}の部分群として有限になるようにできる. この群は6次交代群{{\frak A}_6}に同型になる. これを{SL(3,\mathbb{C})}に引き戻すと, {\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}}に同型な中心を持つ6次交代群の3重被覆になる. これがヴァレンティナー群{{\mathcal V}=3\cdot{\frak A}_6}である. {SU(3)}の部分群として得たヴァレンティナー群から, {SU(3)}の随伴表現の制限によって8次元表現を作る. これが{{\frak A}_6}の忠実な既約表現になる.

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6次対称群指標表手作り体験記

  • はじめに
  • 6次対称群のユニタリ既約表現
    • 1表現
    • 1'表現
    • 5I表現
    • 5I'表現
    • 5II表現
      • 6次対称群の外部自己同型写像
    • 5II'表現
    • 9表現
    • 9'表現
    • 10表現
    • 10'表現
    • 16表現
      • クリフォード代数
  • まとめ
  • 追記(7/8)
  • リファレンス

はじめに

定理:対称群の自己同型群

{n\geq 3}に対して*1,

{\begin{align}
{\rm Aut}({\frak S}_n)\cong \left\{\begin{array}{cc}
{\frak S}_n&(n\neq6)\\
{\frak S}_6\rtimes{ \mathbb Z}/2{\mathbb Z}&(n=6)
\end{array}\right.
\end{align}}

6次の対称群{\frak{S}_6}は異常な性質を有している. 対称群の中で唯一外部自己同型写像が存在するのである(自分はこの事実を次の講義ノートで知った. 物理数学III (2017) )

引用を含む引用になるが,

このような例外的な同型対応が,交代群 {A_6} のところに集中して現れていること

{
A_6\cong L_2(9)\cong S_4(2)'\cong M_{10}'
}

は注目すべきことである。この群は,この性質故に(小さい群であることももちろんあるだろうが),様々な場面で出くわすものである。{A_6} を見るたびに,鈴木通夫先生の「群論」[1]の一節({{\rm Aut}\cong A_6\neq S_6} を受けて)

この例外が有限群論に及ぼす影響は非常に大きく,単純群論をとても困難なものにしている大きな理由の一つである

を思い出すものである。例外的な自己同型があるため,{A_6} を指数2で含む群として,

{S_6,\ PGL(2,9),\ M_{10}}

という3つが存在しうるのである。

らしい[2]. なお「このような例外的な同型対応」はその前段で述べられている, 異なる系列の有限単純群間の同型対応を指している.

 念のため注意しておくと, この引用を除いて本記事中では対称群と交代群には{\frak{S},\frak{A}}(フラクトゥールのSとA)を当てる. 後々の記号の衝突を避けるため.

 さて, 本記事ではこの{\frak{S}_6}の既約ユニタリ表現を求めることを目的にしている.

 対称群の既約表現の理論は非常によく整えられており, 既約指標も表現行列もそれを求めてしまう一般的な方法が存在する[3,4]. しかしちょっと味気ない. できれば既約表現それぞれの個性を感じたい.

 とはいえ道標はあったほうが良いので指標表は先に載せてしまおう. 一般論を知らなくても, 簡単に求められる5次元既約表現の直積表現の分解(既約指標の直交性を利用しながら. 対称群の指標は一般に整数に限られることも利用できる)から他の既約表現の指標も出てくる.

{\begin{align}
\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline
{\mbox 共役類}|C|&\lbrack1^6\rbrack&\lbrack1^33\rbrack&\lbrack3^2\rbrack&\lbrack1^22^2\rbrack&
\lbrack15\rbrack&\lbrack24\rbrack&\lbrack1^42\rbrack&\lbrack2^3\rbrack&\lbrack1^24\rbrack&
\lbrack123\rbrack&\lbrack6\rbrack\\ \hline
{|C|}&
1&40&40&45&144&90&15&15&90&120&120\\ \hline
{\bf 1}&
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
{\bf 1}'&
1&1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&-1\\
{\bf 5}{\rm I}&
5&2&-1&1&0&-1&3&-1&1&0&-1
\\
{\bf 5}{\rm I}'&
5&2&-1&1&0&-1&-3&1&-1&0&1\\
{\bf 5}{\rm I\hspace{-.1em}I}&
5&-1&2&1&0&-1&-1&3&1&-1&0\\
{\bf 5}{\rm I\hspace{-.1em}I}'&
5&-1&2&1&0&-1&1&-3&-1&1&0\\
{\bf 9}&
9&0&0&1&-1&1&3&3&-1&0&0\\
{\bf 9}'&
9&0&0&1&-1&1&-3&-3&1&0&0\\
{\bf 10}&
10&1&1&-2&0&0&2&-2&0&-1&1\\
{\bf 10}'&
10&1&1&-2&0&0&-2&2&0&1&-1\\
{\bf 16}&
16&-2&-2&0&1&0&0&0&0&0&0 \\ \hline
\end{array}
\end{align}}

 各既約表現は次元のボールド体と付加的な記号(I,II,プライム)によって区別する.

 {\frak{S}_6}に関する基本的な事実. 6の分割は11通り.

{\begin{align}
\lbrack 1,1,1,1,1,1\rbrack,\lbrack1,1,1,1,2\rbrack,\lbrack1,1,1,3\rbrack,\lbrack1,1,2,2\rbrack,\lbrack1,1,4\rbrack,\lbrack1,2,3\rbrack,\lbrack2,2,2\rbrack,\lbrack1,5\rbrack,\lbrack2,4\rbrack,\lbrack3,3\rbrack,
\end{align}}

それぞれ

{\begin{align}
\lbrack 1^6\rbrack,\lbrack1^42\rbrack,\lbrack1^33\rbrack,\lbrack1^22^2\rbrack,\lbrack1^24\rbrack,\lbrack123\rbrack,\lbrack2^3\rbrack,\lbrack15\rbrack,\lbrack24\rbrack,\lbrack3^2\rbrack,
\end{align}}

と略記. 各分割に置換の型が対応し, 同時に共役類にも対応するのでこれらを同じ記号で表す.

 既約表現は共役類の数に等しく11個. 各共役類の大きさ, 符号は表に書かれている通り. ヤング図形についてはほとんど触れないが, 既約表現の次元は対応する分割のヤング図形の標準盤の数に等しいことを述べておく[3,5].

 ここから各既約表現を見ていく.

*1:7/8追記. うっかり忘れていた. n=2ではもちろん自己同型群は自明な群.

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球面調和関数で正20面体をつくる(5) - クラインの不変式論

  • 再びSU(2)
  • 不変式
  • 正20面体群の恒等表現基底
    • 30次の場合
  • 課題
  • リファレンス

再びSU(2)

 {SU(2)}の扱いやすさの理由のひとつは, 2変数斉次多項式の張る線形空間が次数ごとに既約表現空間になっていて, 逆に既約表現はそれで尽くされるからだった.

 より正しく言うと, {\mathbb{C}}上の2変数多項式環{\mathbb{C}\lbrack z_1,z_2\rbrack}の元{f(z_1,z_2)}に対して,

{\begin{align}
D=\begin{pmatrix}a&-b^*\\ b&a^*\end{pmatrix}\in SU(2)
\end{align}}

の作用を

{\begin{align}
\rho(D)f(z_1,z_2)&=f((z_1,z_2)D)\\
&=f(az_1+bz_2,\ -b^*z_1+a^*z_2)
\end{align}}

 で定めると, {\rho}は表現になるが, {z_1,z_2}について{2j}次({j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\cdots})の斉次多項式の全体が最高ウェイト{j}の既約表現空間になり, {SU(2)}の既約表現はそのいずれかに同値になるということ.

 正規直交基底を

{\begin{align}
e^{\,j}_m(z_1,z_2)=\frac{z_1^{j+m}z_2^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}
\end{align}}

 と取ることでエルミート内積を定めると, 表現行列;ウィグナーのD行列はユニタリ行列になる.

 これにより正20面体群不変な球面上の関数を構成する問題が, 2変数多項式環上の2項正20面体群の不変式環を定める問題に還元される.


不変式

 少なくともシュワルツ Karl Hermann Amandus Schwarzは2項正20面体群の不変式を既に求めていたらしい[1]. まず正20面体の頂点, 面の重心, 辺の中点を単位球面上に投影する. 1次分数変換として実現される2項正20面体群の作用によって各々の全体は不変である. 次に立体射影によってリーマン球面, 複素射影直線{\mathbb{C}P^1}上の点にそれらを対応付ける. {\mathbb{C}P^1}上の斉次座標で表される多項式で, その複素平面上の点たちを零点にもつものは2項正20面体群の作用によって不変になる.

 クライン Felix Kleinが気付いたのは, 頂点に対応する不変式さえ直接求めれば残り2つは簡単に決められることだった[1].

 シュワルツ・クラインと同じようにリーマン球面の斉次座標の多項式として議論してもよいが, 我々はスピノルを知っているのでその形式で考えることにする. 本質的には全く同じ.

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球面調和関数で正20面体をつくる(4) - 2項正20面体群とマッカイ対応

  • 2項正20面体群
    • 自然表現
    • 共役類
    • 指標表
  • マッカイ対応
  • リファレンス

2項正20面体群

 関連書をいくつか読む中で, この前まで「2重正20面体群」と呼んでいたものには「2項正20面体群」binary icosahedral groupという広く通用する名称があることが分かった. 記号についてはそれほど固く定まっているわけではないものの, 正20面体群をカリグラフィーの{\mathcal{I}}, 2項正20面体群はチルダをつけて{\widetilde{\mathcal{I}}}とする表記を見て[1], 都合が良いのでこの記事からそうすることにする(単なるIはフォントの都合で潰れがちという難がある).

{\widetilde{\mathcal{I}}/\{1,-1\}\cong \mathcal{I}}

 ついでにいわゆる黄金数{(1+\sqrt{5})/2}もこれまでは{\tau}で表していたが, ここからは{\phi}で表すことにする. 余計な記号の変更は本来避けるべきだが. (統一のためそのうち過去記事のほうを変更する)

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高坂海美呼称表手作り体験記

f:id:shironetsu:20180313184340j:plain:w400

 グリー版ミリオンライブ終了まで1週間を切った。悲しい。「思い出」にアクセスできる今しかできないことをやっておきたくて、高坂海美さんの他の人々に対する呼び名をまとめることにした。呼称表なんて太古から作られてきているものがインターネット上でいくらでも見られるけれど、ソースに直接あたることができるのはこの残されたわずかな期間だけ。自力でやってみたかった(ついでにスクショ作業の大変さを知っておきたかった)。下のほうに参考画像。

(五十音順。参考のため年齢を年上同い年(16歳)年下で付記)
(詳しくは下のほうに書いているが、ミリシタ及びコミカライズ「Blooming Clover」ソースも混在している。表中では括弧で注意を促す。特に注記の無いものはグリー版)

名前 年齢 呼び名 呼ばれ方
秋月律子 19 律子さん 海美※
天海春香 17 春香さん 海美ちゃん
伊吹翼 14 バサバサ 海美さん
エミリー 13
大神環 12 うみみ
春日未来 14 みらいっち 海美さん
我那覇響 16 海美
菊池真 17 まこっちゃん 海美※
如月千早 16 千早さん 高坂さん
北上麗花 20 麗花 海美ちゃん
北沢志保 14 しほり 海美さん
木下ひなた 14 ひなぴー(追記参照) 海美さん
高坂海美 16 私(うみみ、うみみん)
桜守歌織 23
佐竹美奈子 18 美奈子先生・みなちん(ミリシタ) 海美ちゃん
四条貴音 18 貴音さん 海美
篠宮可憐 16 可憐 海美ちゃん
島原エレナ 17 えれなん ウミ
ジュリア 16 ジュリア 海美
白石紬 17
周防桃子 11 ももちん 海美さん
高槻やよい 14 やよちゃん 海美さん
高山紗代子 17 さよちん 海美
田中琴葉 18 琴葉 海美ちゃん
天空橋朋花 15 朋花様 海美さん
徳川まつり 19 まつりん 海美ちゃん (ウミミ姫)※
所恵美 16 めぐみー 海美・うみみん(ミリシタオフショット)
豊川風花 22 ふーちゃん 海美ちゃん
中谷育 10 育りん 海美さん (海美お姉ちゃん(ミリオン女学園))
永吉昴 15 すばるん 海美
七尾百合子 15 ゆりりん 海美さん
二階堂千鶴 21 ちづるん 海美
野々原茜 16 茜っち ウミミン
萩原雪歩 17 雪歩さん 海美ちゃん※
箱崎星梨花 13 せりりん(BC) 海美さん
馬場このみ 24 このみちゃん 海美ちゃん
福田のり子 18 のりさん 海美
双海亜美 13 亜美 うみみん
双海真美 13 真美 うみみん
星井美希 15 ミキミキ 海美※
舞浜歩 19 海美
真壁瑞希 17 みずきん 高坂さん
松田亜利沙 16 ありりん 海美ちゃん
三浦あずさ 21 海美ちゃん※
水瀬伊織 15 いおりん 海美
宮尾美也 17 美也・(美也ちゃん) 海美ちゃん
最上静香 14 モガミン 海美さん
望月杏奈 14 もっちー 海美さん
百瀬莉緒 23 莉緒ねぇ 海美ちゃん
矢吹可奈 14 かなりん 海美ちゃん
横山奈緒 17 なおー(ミリシタ) 海美
ロコ 15 ロコロコ ウミ

 高坂さんの呼び方がかなり不規則なのは認識していたものの、改めて調べると本当に複雑。あだ名は本名に「りん」を付けるパターンだけではないし、本名で呼ぶ場合も「さん」「ちゃん」の付け方(または付けないか)が年齢の上下だけからは決まらない。高坂海美研究者はこの背後にある法則を見つけているのだろうか。(あだ名に関しては亜美真美・茜ちゃんと一部重複してはいる)

 印象的なところでは、豊川風花さんを「ふーちゃん」と呼んでいるのがかわいい。少し年上の親戚のお姉さんくらいの気持ちで接しているのを想像。馬場このみさんを「このみちゃん」と呼んでいるのも全く純粋な感覚からそうしていそうで良い。同じく大人組の二階堂千鶴さん・百瀬莉緒さんは「女子力」の手本として慕っているところがあってまた良い。
 
 意外だったのが箱崎星梨花さんの名前を呼んでいる場面が見つからなかったこと。Blooming Cloverではあんなに一緒にいるのに。他にエミリー・スチュアートさん、木下ひなたさん、佐竹美奈子さん追記参照)の呼び名が分からない。三浦あずささんは「ミリオン女学園」で「あずさお姉さま」、「アイドルヒーローズ」で「あずささん」と呼んでいるが、素の状態での呼び名ははっきりしない。横山奈緒さんはミリシタのPBAコミュ第4話から(グリー版にもある?)。宮尾美也さんの呼び方には「美也」「美也ちゃん」で揺れがあった(ただしミリシタ以降は「美也」のみ)。

 桜守歌織さんと白石紬さんの呼び名はまだ分からない。中の人の上田麗奈さんと南早紀さんが事務所の先輩後輩ということで、白石紬さんとはMEG@TON VOICE!で小芝居みたいなことをやっていた気もするけど記録を残していないし特に台本の無い即興芸だったはず。

 これをまとめている最中、ミリシタに高坂海美さん中心のメインコミュ18話「ひろがる気持ち☆」が追加された。ココロ☆エクササイズ。あの世界一かわいいファイティングポーズがたくさん見られる。

(3/14追記 
アイドル呼称一覧 - ミリオンライブWiki
 ミリオンライブwiki呼称表佐竹美奈子さんは「美奈子先生」らしい。2015年の誕生日のやりとりから。
高坂海美 - ミリオンライブWiki
 これ以外の空欄箇所は自分が作成したものと同じ。最上静香さんの欄の「静香ちゃん」が気になる。

 木下ひなたさんについては@superfroggestさんから「木下ひなたwiki」の呼称一覧を教えていただいた。
呼称表 - 木下ひなたwiki
 「ひなぴー」らしい。亜美真美と同じ。ただしソースは3周年記念ドラマCD(BLOG│THE IDOLM@STER OFFICIAL WEB | バンダイナムコエンターテインメント公式サイト 応募者全員が貰えたそうだがその頃自分は初めてまもなかった…)だそうで、自力で確認ができない。

 エミリーさんについては未だ分からず。「えみりん」がしっくりくるけど案外「エミリー」そのままかも。バレエと日本舞踊という伝統舞踊を習っていた点での共通点があったりするのでそのうち絡んではくれそう。ミリシタでの属性も同じPrincessなのでそう遠くはないかも。

 とか言っていたらこんな会話があったことに気付いた。

f:id:shironetsu:20180318163137j:plain:w300

 プロデューサーの「苦手なダンスは?」という問いに対して「動きがゆっくりだから!私、落ち着いてるのって苦手だしね☆」とのこと(ネクストプロローグ編Lv2)
「バレエなら次のステップとか、姿勢を維持するのに集中しちゃってるけど…。ま、やってみたら違うかもしれないから、わからないけどねーっ。」

 それにしても「ふーちゃん」かぁ……「ふーちゃん」……ちょっと甘えのある感じがなんとも愛おしい……。ゲーム内の絡みが予想外に多かったが、LIVE THE@TER FORWAD(LTF) 03 Starlight Melody「MC03~その頃舞台裏では」にも会話がある。「永遠の花」を歌うにあたってまだ不安の残る豊川さんを「ふーちゃん、がんばってね!」と送り出す高坂さんの優しい声……。そしてミリシタTHE@TER BOOST!「超ビーチバレー」で新入生役高坂海美、キング役豊川風花として共演が決まっていることを思い出して動揺した。ミリシタで「ふーちゃん」を聞ける日も遠くない。
(3/14追記終わり)

(3/16追記 センパイが来てくれない。
 昨日のミリシタのアップデートで過去のホワイトボードが見られるようになったので眺めていたら、中谷育さんの誕生日のホワイトボードに高坂さんが書き込んでいたことを思い出した。

佐竹美奈子・中谷育(ミリシタ2017/12/16中谷育誕生日ホワイトボード)
f:id:shironetsu:20180316034703j:plain:w300

 自画像が可愛すぎる。それはともかくここでも佐竹美奈子さんのことを「美奈子先生」と呼んでいたので画像を追加。
 しかしこの「美奈子先生」呼びは背景にある色々があまりに魅力的ですね。厨房で手際よく料理を作る佐竹さんをキラキラした尊敬の眼差しで見ているんだろうな~とか。
(3/16追記終わり)

(3/30追記) 福田のり子さんお誕生日おめでとうございます。
 f:id:shironetsu:20180330080036p:plain:w400
 むむ…「のり子さん」…これからミリシタでもまたあだ名で呼ぶ仲になるのかどうか。

と、この記事を見直していたら桜守歌織さんを「香織」と書いていて泡を吹いた(修正済)。いちばんやっちゃいけないやつだぞ。
(3/30追記終わり)

(6/9追記
 人生って楽しいーー!!!
5thライブで発表された閃光☆HANABI団(高山紗代子高坂海美佐竹美奈子横山奈緒福田のり子)、他の4人全員を高坂さんはあだ名で呼ぶ。「美奈子先生」を聞けるか…!見るからに熱い面々(脳筋プリンセス……)なので今から楽しみ。超ビーチバレーも。人生って楽しい~~~~~
 ところで上に書いた「のり子さん」はいつかの時点で修正されていたらしい。よかったよかった。
f:id:shironetsu:20180609203345p:plain:w600
 ミリシタといえばメインコミュ20話の「朋花様」でざわついていたのも記憶に新しい。
f:id:shironetsu:20180609203756p:plain:w600
(6/9追記終わり)

(6/16追記
 「呼ばれ方」を追加。最初の作成時にある程度はまとめていたものの、「呼び名」に比べると確認する範囲がどうしても多くなってしまって書けなかった。しかしどうせ「呼称表」とするなら双方向にすべきだろうと今更ながらに思い立ち……。※付きはアイドル呼称一覧 - ミリオンライブWikiからの引用。その他はソース画像が無いが、ほとんど「呼び名」が分かる場面のすぐ近くの会話中に出てきた。「呼び名」に比べるとトリッキーなところは少ないが、

  • 日常的に「うみみ」/「うみみん」/「ウミミン」と呼ぶのは大神環さん/双海姉妹/野々原茜さん だけ
  • のはずだがミリシタの「オフショット」で所恵美さんが「うみみん」と呼んだりしている
  • 矢吹可奈さんが年上を直接「ちゃん」付けで呼ぶのは比較的珍しい(他に七尾百合子・ロコ)

あたりは特筆。
(6/16追記終わり)

(6/21追記折よく佐竹さんSSRをお迎えできました。
 閃光☆HANABI団イベントが始まりましたね。1万ptまで走りぬけてイベントコミュを見ました。
f:id:shironetsu:20180621012907p:plain:w600
(イベントコミュ第2話「ドドンとレッスン開始!」)
 うおーー……。
(6/21追記終わり)

(7/8追記アキバの閃光☆HANABI団グッズを買えなかった
f:id:shironetsu:20180708225207p:plain:w600
(イベントコミュエピローグ「エンドレスなサマー」)
 やったーー!!

 ………「ふーちゃん」に至るまでのやつもやってほしい………。
(7/8追記終わり)

 以下ソース画像。

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