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PSL(2,13)指標表手作り体験記(1)――G2の有限部分群

イントロ:G2の有限部分群

 PSL(2,13)は例外型リー群\(G_2\)の有限部分群である.

 本記事はこの衝撃的な事実を確かめることを主目的とする.
 自分はこれを論文[1]で知った. そこでは複素化された\(G_2(\mathbb{C})\)の有限部分群を調べた論文[2]をもとに\(G_2\)の有限部分群が表にまとめられている.

\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\mbox{部分群}\,\Gamma \in G_2 & \mbox{タイプ} & |\Gamma| \\ \hline \hline
SU(2)\times SU(2), SU(3)\mbox{の有限部分群} & - & -\\ \hline
PSL(2,7) \cong GL(3,2) \cong \Sigma(168) \in SU(3) & {\rm I} & 168\\ \hline
PSL(2,7) \rtimes \mathbb{Z}_2^3 & {\rm I} & 1344 \\ \hline
PGL(2,7) & {\rm P} & 336\\ \hline
PSL(2,8) & {\rm P} & 504\\ \hline 
PSL(2,13) & {\rm P} & 1092\\ \hline
PU(3,3) \cong G_2(2)' & {\rm P} & 6048\\ \hline
G_2(2) & {\rm P} & 12096\\ \hline
\end{array}
\end{align}
表:\(G_2\)の有限部分群.

「タイプ」のPとIの記号はprimitive(P)とimprimitive(I)を意味する. それぞれ\(G_2\)の7次元表現への埋め込みが可約か既約かに対応.

 いずれは\(PSL(2,8)\)や\(G_2(2)\)も調べたいがまずは\(PSL(2,13)\). 7次元既約表現があることは\(PSL(2,p)\)の一般論から分かる. そしてたぶん実表現であることも. \(SO(7)\)に入るならいっそのこと\(G_2\)に入っていてくれたらいいな……と期待してしまう. そしてその通りなのである. すごい.

 なお本記事との直接的なつながりはないが以下の記事の記法をいくつか引き続き用いた.
PSL(2,11)指標表手作り体験記――Paley biplaneと正20面体 - Shironetsu Blog


PSL(2,13):基本的性質と13次元既約表現

共役類

前回の記事の記法を踏襲して, \(PSL(2,13)\)の9つある共役類に以下の記号を与える.
\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\mbox{共役類}&\mbox{代表元} & \mbox{大きさ} &\mbox{位数} \\ \hline
1A_1&\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
& 1 & 1 \\ \hline
91A_2&\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} =t
& 91 & 2 \\ \hline
182A_3&\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = st
& 182 & 3 \\ \hline
84A_{13}&\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s
& 84 & 13 \\ \hline
84B_{13}&\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s^2
& 84 & 13 \\ \hline
156A_7&\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^3t
& 156 & 7 \\ \hline
182A_6&\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^4t
& 182 & 6 \\ \hline
156B_7&\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^5t
& 156 & 7 \\ \hline
156C_7&\begin{bmatrix}
6 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^6t
& 156 & 7 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
合わせて位数は
\begin{align}
|PSL(2,13)|=1092.
\end{align}

置換表現と13次元既約表現

 共役類の各代表元の, \(P^1(\mathbb{F}_{13})=\mathbb{F}_{13}\cup\{\infty\}\)の14点への作用は以下の通り.
\begin{align}
PSL(2,13) &\hookrightarrow Sym(13)\\
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty)(1\ 12)(2\ 6)(3\ 4)(7\ 11)(9\ 10)\\
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 1)(2\ 7\ 12)(3\ 5\ 6)(8\ 9\ 11)\\
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11\ 12)\\
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ 2\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12\ 1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11)\\
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 3\ 7\ 1\ 2\ 9)(4\ 6\ 5\ 8\ 11\ 10\ 12)\\
\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 4\ 7\ 2\ 10)(1\ 3\ 8\ 12\ 5\ 9)\\
\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 5\ 10\ 1\ 4\ 8)(2\ 11\ 12\ 6\ 7\ 3\ 9)\\
\begin{bmatrix}
6 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 6\ 8\ 1\ 5\ 11)(2\ 12\ 7\ 4\ 9\ 3\ 10)
\end{align}
これで13次元表現の指標が得られる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{置換の型} &
\lbrack 1^{14}\rbrack &
\lbrack 1^22^6\rbrack &
\lbrack 1^23^4\rbrack &
\lbrack 1^113^1\rbrack &
\lbrack 1^113^1\rbrack &
\lbrack 7^2\rbrack&
\lbrack 1^26^2\rbrack&
\lbrack 7^2\rbrack&
\lbrack 7^2\rbrack \\ \hline
\mbox{指標}&13 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}


7次元既約表現とG2

 \(PSL(2,13)\)は7次元既約表現をもつ. どうやって作ろう. \(PSL(2,p)\)の\((p\pm 1)/2\)次元既約表現の構成に関する一般論がありそうなものだが, これを自分は知らない. \(4n+1\)型素数と\(4n+3\)型素数では様子が大きく異なるため\(PSL(2,7),\ PSL(2,11)\)でのやり方はそのまま通じないだろう. そこで\(PSL(2,5)\)の3次元既約表現, すなわち正20面体群を参考に試行錯誤することでなんとか次の表現を見つけ出した.
\begin{align}
s = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}
&\mapsto
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
b & . & . & -u & . & . & .\\
. & d & . & . & v & . & .\\
. & . & f & . & . & -w & .\\
u & . & . & b & . & . & .\\
. & -v & . & . & d & . & .\\
. & . & w & . & . & f & .\\
. & . & . & . & . & . & 2
\end{pmatrix}
=:S \\
t = \begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto
\frac{-1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e & f & \sqrt{2}\\
b & c & d & e & f & a & \sqrt{2}\\
c & d & e & f & a & b & \sqrt{2}\\
d & e & f & a & b & c & \sqrt{2}\\
e & f & a & b & c & d & \sqrt{2}\\
f & a & b & c & d & e & \sqrt{2}\\
\sqrt{2} & \sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
=:T
\end{align}
ただし,
\begin{gather}
\zeta = \exp\frac{2\pi\sqrt{-1}}{13},\\
a = \zeta + \zeta^{12},\ \ \
b = \zeta^6 + \zeta^7,\ \ \
c = \zeta^3+\zeta^{10},\\
d = \zeta^5 + \zeta^8,\ \ \
e = \zeta^4 + \zeta^9,\ \ \
f = \zeta^2 + \zeta^{11},\\
u = \frac{\zeta^6-\zeta^7}{\sqrt{-1}},\ \ \
v = \frac{\zeta^5-\zeta^8}{\sqrt{-1}},\ \ \
w = \frac{\zeta^2-\zeta^{11}}{\sqrt{-1}}.
\end{gather}
また, ドット(.)は0を意味する. このようにとると,
\begin{align}
S^{13} = T^2 = (TS)^3 = (S^2TS^7T)^3 = {\bf 1}
\end{align}
が満たされ, \(PSL(2,13)\)の表現となることが分かる.

 指標は次のように書ける.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&7 & -1 & 1 & -\alpha & -\beta & 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline
\end{array}\\
\alpha = \zeta + \zeta^3+\zeta^4+\zeta^9+\zeta^{10} + \zeta^{12}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\
\beta = \zeta^2+\zeta^5+\zeta^6+\zeta^7+\zeta^8+\zeta^{11}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}
\end{gather}
また, 共役類\(84A_{13}\)と\(84B_{13}\)を外部自己同型で入れ替えると同値でない既約表現になる.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&7 & -1 & 1 & -\beta & -\alpha & 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline
\end{array}
\end{gather}

 さて, 見ての通り, 行列\(S,T\)はともに成分がすべて実で, 特に行列式が1の直交行列となっている.
従って\(PSL(2,13)\subset SO(7)\)は明らか. ところがその間にもうひとつリー群がいて,
\begin{align}
PSL(2,13) \subset G_2 \subset SO(7)
\end{align}
となっているのだ.

八元数

 八元数\(\mathbb{O}\)の\(\mathbb{R}-\)基底と積を以下の通り定義する[3].

\begin{gather}
    \mathbb{O} = \left\{ \sum_{i=0}^7 x_ie_i \mid x_i\in \mathbb{R}\right\}\\
    e_0e_i = e_ie_0 = e_i,\ \ \ i=0,\cdots,7\\
    e_ie_j = -e_je_i = e_k\\
    (i,j,k)\in \left\{(1,2,3),(3,5,6),(6,7,1),(1,4,5),(3,4,7),(6,4,2),(2,5,7)\right\}
\end{gather}

f:id:shironetsu:20190322063723p:plain:w600
ファノ平面に配置した添え字. 矢印の順にサイクリックに読む.
\(e_0\)は\(1\)と同一視して実部, 他の7次元分を虚部と呼ぶ. 共役は,

\begin{align}
    x=x_0e_0 + \sum_{i=1}^7 x_ie_i \Rightarrow \overline{x} = x_0e_0 - \sum_{i=1}^7 x_ie_i.
\end{align}

内積は,
\begin{align}
(x,y) = {\rm Re}(\overline{x}y)
= \frac{1}{2}(\overline{x}y+\overline{y}x)
=\sum_{i=0}^7 x_iy_i
\end{align}
によって定義される.

例外型リー群 G2

 例外型リー群 \(G_2\)は八元数の自己同型群となる正則線形変換の全体として定義される.
\begin{align}
G_2 = {\rm Aut}(\mathbb{O})
= \{A \mid \forall x,y \in \mathbb{O},\ A(x)A(y) = A(xy)\}
\end{align}
実部\(e_0\)への作用について,
\begin{align}
A(e_0)A(x) = A(e_0x) = A(x)
\end{align}
がすべての\(x\in\mathbb{O}\)で成り立たなくてはならないことから,\(A(e_0)=e_0\). つまり実部を変えない. このことから, 共役と可換であることも分かる:\(\overline{A(x)} = A(\overline{x})\). また,

\begin{align}
    (A(x),A(y)) = {\rm Re}(\overline{A(x)}A(y)) = {\rm Re}(A(\overline{x}y)) = {\rm Re}(\overline{x}y) = (x,y)
\end{align}

から, 内積も変えない. 従って, 7次元の虚部に対する直交変換であることが分かる. 加えて行列式が1であることを事実として認めると*1 , \(G_2\in SO(7)\)が分かる.

 たとえば, 基底に対して以下のように定義される変換は八元数の積を保つので\(G_2\)の元.
\begin{align}
A(e_i) \mapsto \left\{
\begin{array}{cc}
-e_2 & i=1 \\
e_1 & i=2 \\
e_6 & i=5\\
-e_5 & i=6\\
e_i & {\rm else}
\end{array}
\right.
\end{align}
実際,
\begin{align}
A(e_1)A(e_2) &= -e_2e_1 = e_3 = A(e_3)=A(e_1e_2)\\
A(e_1)A(e_4) &= -e_2e_4 = e_6 = A(e_5)=A(e_1e_4)\\
A(e_4)A(e_5) &= e_4e_6 = -e_2 = A(e_1) = A(e_4e_5)
\end{align}
などが成り立つ. 「などが成り立つ」なんて言ったが, 実際ある行列式1の直交変換が八元数の積を保つかどうかチェックしようとすると, 基底のすべての組み合わせ21通りをチェックするしかない. しかも, \(SO(7)\)上の行列のなす群がたとえ\(G_2\)の部分群であったとしても, 「いまの八元数の積の定義」での\(G_2\)に入るとは限らない. たとえば, 次に挙げる変換\(A'\)は明らかに上の\(A\)と\(SO(7)\)上共役だが, 積は保たない.
\begin{gather}
A': e_i\mapsto = \left\{
\begin{array}{cc}
-e_2 & i=1 \\
e_1 & i=2 \\
e_5 & i=4\\
-e_4 & i=5\\
e_i & {\rm else}
\end{array}
\right.\\
A'(e_1)A'(e_4) = -e_2e_5 = -e_7 \neq A'(e_1e_4) = -e_4\\
\Rightarrow A' \not\in G_2
\end{gather}
そして残念ながら上で定義した行列\(S,T\)もそのままでは\(G_2\)の元とはならない.

相似変換

 ではどうすれば\(G_2\)の元に相似変換できるか? やはり試行錯誤するしかないが, \(S,T\)を非常に整った形で実現したことのご利益がここに現れる.
 
 まず\(S\)を見る. 三角関数を使って表すとこうなる.
\begin{align}
S = \begin{pmatrix}
\cos 6\delta & . & . & -\sin6\delta & . & . & .\\
. & \cos5\delta & . & . & \sin5\delta & . & .\\
. & . & \cos2\delta & . & . & -\sin2\delta & .\\
\sin6\delta & . & . & \cos6\delta & . & . & .\\
. & -\sin5\delta & . & . & \cos5\delta & . & .\\
. & . & \sin2\delta & . & . & \cos2\delta & .\\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix},\ \ \
\delta = \frac{2\pi}{13}.
\end{align}
3つの2×2回転行列の直和と不変な1次元. この不変な第7成分が\(e_7\)に対応するとしよう. 八元数の\((1,6,7),(3,4,7),(2,5,7)\)でそれぞれ四元数の虚部をなすので, \(e_7\)だけ固定して他2つを回転させる, というのは少なくとも独立には四元数の計算規則を守る. 頑張って計算すると次の変換が積を保つことが分かる.
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
S \begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos6\delta\,e_1 -\sin6\delta\,e_6\\
\cos5\delta\,e_5 + \sin5\delta\,e_2\\
\cos2\delta\,e_3 - \sin6\delta\,e_4\\
\sin6\delta\,e_1 + \cos6\delta\,e_6\\
-\sin5\delta\,e_5 + \cos5\delta\,e_2\\
\sin2\delta\,e_3 + \cos2\delta\,e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
=:\begin{pmatrix}
e_1'\\
e_5'\\
e_3'\\
e_6'\\
e_2'\\
e_4'\\
e_7'
\end{pmatrix}
\end{align}
たとえば,
\begin{align}
e_1'e_2' &= (\cos6\delta\,e_1 -\sin6\delta\,e_6)(-\sin5\delta\,e_5 + \cos5\delta\,e_2)\\
&=-\cos6\delta\sin5\delta e_1e_5 -\sin6\delta \cos5\delta e_6e_2\\
&\ \ \ +\cos6\delta \cos5\delta e_1e_2 +\sin6\delta \sin5\delta e_6e_5\\
&=-\cos6\delta\sin5\delta (-e4) -\sin6\delta \cos5\delta (-e_4)\\
&\ \ \ +\cos6\delta \cos5\delta e_3 +\sin6\delta \sin5\delta (-e_3)\\
&= \sin 11\delta\,e_4 +\cos 11\delta\,e_3\\
&= \cos 2\delta\,e_3 -\sin2\delta\,e_4\\
&= e_3'.
\end{align}
\(S\)が順序を入れ替えるだけで八元数の積を保てるようになることが分かった. しかし\(T\)はまだだめ. できれば\(S\)は崩したくない. そこで\(S\)と交換する行列による共役変換を試す.

 \(T\)を見る.
\begin{align}
T = \frac{-1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e & f & \sqrt{2}\\
b & c & d & e & f & a & \sqrt{2}\\
c & d & e & f & a & b & \sqrt{2}\\
d & e & f & a & b & c & \sqrt{2}\\
e & f & a & b & c & d & \sqrt{2}\\
f & a & b & c & d & e & \sqrt{2}\\
\sqrt{2} & \sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
\(\sqrt{2}\)がかたまっているのが嬉しくない. そこで次の行列\(P\)によって相似変換する.
\begin{align}
P = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & . & . & 1 & . & . & .\\
. & 1 & . & . & -1 & . & .\\
.& . & 1 & . & . & -1 & . \\
-1 & . & . & 1 & . & . & .\\
. & 1 & . & . & 1 & . & .\\
.& . & 1 & . & . & 1 & . \\
. & . & . & . & . & . & \sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
\(P\)は\(S\)と交換する. 一方,
\begin{align}
PTP^{-1}
&=\frac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
-a-d & . & . & . & -b-e & -c-f & -2\\
. & -c+f & a-d & b-e & . & . & . \\
. & a-d & b-e & c-f & . & . & . \\
. & b-e & c-f & -a+d & . & . & .\\
-b-e & . & . & . & -c-f & -a-d & -2\\
-c-f & . & . & . & -a-d & -b-e & -2\\
-2 & . & . & . & -2 & -2 & -1
\end{pmatrix}
=:T'
\end{align}
\(\sqrt{2}\)が消えた. この新たな行列\(T'\)による変換が八元数の積を保つ.
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
T' \begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\end{align}
たとえば...いや, ちょっと手計算する気がおきない.

 整理するため基底の順序を取り換えよう. 次の置換行列\(O\)を用意しておいて,
\begin{align}
O =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & 1 & . & . \\
. & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . \\
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & 1 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix},
\end{align}
新たに\(\mathcal{S},\mathcal{T}\)を定義する.
\begin{align}
\mathcal{S} &:= OPSP^{-1}O^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
\cos6\delta & . & . & . & . & -\sin6\delta\\
. & \cos5\delta & . & . & -\sin5\delta & . & . \\
. & . & \cos2\delta & -\sin2\delta & . & . & . \\
. & . &\sin2\delta & \cos2\delta & . & . & . \\
. & \sin5\delta & . & . & \cos5\delta & . & . \\
\sin6\delta & . & . & . & . & \cos6\delta & . \\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix}\\
\mathcal{T} &:= OPTP^{-1}O^{-1}\\
&=\frac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
-a-d & -b-e & . & -c-f & . & . & -2\\
-b-e & -c-f & . & -a-d & . & . & -2\\
. & . & b-e & . & a-d & c-f & .\\
-c-f & -a-d & . & -b-e & . & . & -2\\
. & . & a-d & . & -c+f & b-e & .\\
. & . & c-f & . & b-e & -a+d & .\\
-2 & -2 & . & -2 & . & . & -1
\end{pmatrix}
\end{align}
すると, これらによる線形変換:
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
{\mathcal S} \begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix},\ \ \
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
{\mathcal T} \begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\end{align}
は\(PSL(2,13)\)の生成元であり, \(G_2\)の元となるのである.

数値実験

 ほんとうに八元数の積を保つのか? 数値的に見てみるまでは安心できない. 実験してみよう. Pythonで.

from math import pi,sqrt,cos,sin
from cmath import exp
import numpy as np

八元数の積を定義. インデックスがゼロ始まりのため1つずれていることに注意.

def octo_prod(u,v):
       return np.array([u[1]*v[2]-u[2]*v[1] + u[3]*v[4]-u[4]*v[3] + u[5]*v[6]-u[6]*v[5],
                        u[2]*v[0]-u[0]*v[2] + u[5]*v[3]-u[3]*v[5] + u[4]*v[6]-u[6]*v[4],
                        u[0]*v[1]-u[1]*v[0] + u[4]*v[5]-u[5]*v[4] + u[3]*v[6]-u[6]*v[3],
                        u[6]*v[2]-u[2]*v[6] + u[4]*v[0]-u[0]*v[4] + u[1]*v[5]-u[5]*v[1],
                        u[0]*v[3]-u[3]*v[0] + u[5]*v[2]-u[2]*v[5] + u[6]*v[1]-u[1]*v[6],
                        u[6]*v[0]-u[0]*v[6] + u[3]*v[1]-u[1]*v[3] + u[2]*v[4]-u[4]*v[2],
                        u[0]*v[5]-u[5]*v[0] + u[2]*v[3]-u[3]*v[2] + u[1]*v[4]-u[4]*v[1]])

諸定数を設定. qが \deltaに, zが\zetaに対応.

q = 2*pi/13.0
z = exp(2j*pi/13.0)
a = z + z**12
b = z**6 + z**7
c = z**3 + z**10
d = z**5 + z**8
e = z**4 + z**9
f = z**2 + z**11

ふたつの行列を作る.

S = np.array([[cos(6*q),0,0,0,0,-sin(6*q),0],
              [0,cos(5*q),0,0,-sin(5*q),0,0],
              [0,0,cos(2*q),-sin(2*q),0,0,0],
              [0,0,sin(2*q),cos(2*q),0,0,0],
              [0,sin(5*q),0,0,cos(5*q),0,0],
              [sin(6*q),0,0,0,0,cos(6*q),0],
              [0,0,0,0,0,0,1]])

T = 1/sqrt(13)* \
    np.array([[-a-d,-b-e,0,-c-f,0,0,-2],
              [-b-e,-c-f,0,-a-d,0,0,-2],
              [0,0,b-e,0,a-d,c-f,0],
              [-c-f,-a-d,0,-b-e,0,0,-2],
              [0,0,a-d,0,-c+f,b-e,0],
              [0,0,c-f,0,b-e,-a+d,0],
              [-2,-2,0,-2,0,0,-1]])

ランダムにふたつの7次元ベクトルu,vをとる.

u = np.random.randn(7)
array([-1.46835478, -1.03908311,  0.65394529, -2.05879815, -0.11483368,
       -0.08945579,  0.07377853])
v = np.random.randn(7)
array([-1.57807514, -0.99362126, -0.14204158,  0.10899408, -2.31439725,
        1.05387586, -0.90875485])

Tで変換してから積を取ったとき.

octo_prod(T@u,T@v)

実行結果

array([ 1.70133359-5.48420585e-16j,  3.72400204-1.68083493e-15j,
       -4.88415011+1.50349806e-15j, -5.23957124+1.56565867e-15j,
        0.24141075+3.80155534e-16j,  2.15323515-9.12489113e-16j,
       -1.74509785+9.72757204e-16j])

積を取ってからTで変換したとき.

T@octo_prod(u,v)

実行結果

array([ 1.70133359-7.60250963e-16j,  3.72400204-1.41564237e-15j,
       -4.88415011+1.62978585e-15j, -5.23957124+2.08488620e-15j,
        0.24141075-1.95692483e-16j,  2.15323515-8.64069962e-16j,
       -1.74509785+0.00000000e+00j])

(厳密なことをいうと\(\mathcal{S,T}\)は既定の変換行列としたので成分はその転置で変換するが, 群をなすから同じこと.)
見たところ数値誤差の範囲で一致している. 安心. Sでやってもやはり一致する. どうやら正しいところに着地していたようだ.

 本当に\(PSL(2,13)\)は\(G_2\)の部分群なのだ.


14次元既約表現と随伴表現

 リー環\(\frak{g}_2\)の次元は14である. したがって随伴表現から14次元表現が得られる.
 
 \({\frak g}_2\)の元は以下のように与えられる[3].
 
 まず, \({\frak b}_3\)(\(SO(7)\)のリー環)の\(\mathbb{R}\)-基G_{ij}\ (1\leq i < j \leq 7)をとる.
\begin{align}
G_{ij}e_k = \left\{\begin{array}{cc}
-e_j& k=i \\
e_i & k=j \\
0 & {\rm else}
\end{array}\right.
\end{align}
すると, \({\frak g}_2\)の元は次の形の元たちの和で表される.
\begin{gather}
\begin{array}{r}
\lambda G_{23} + \mu G_{45} + \nu G_{67},\\
-\lambda G_{13} - \mu G_{46} + \nu G_{57},\\
\lambda G_{12} + \mu G_{47} + \nu G_{56},\\
-\lambda G_{15} + \mu G_{26} - \nu G_{37},\\
\lambda G_{14} - \mu G_{27} - \nu G_{36},\\
-\lambda G_{17} - \mu G_{24} + \nu G_{35},\\
\lambda G_{16} + \mu G_{25} + \nu G_{34},
\end{array}\\
\lambda,\mu,\nu \in \mathbb{R},\ \ \lambda+\mu+\nu = 0
\end{gather}
(\lambda,\mu,\nu)としてはたとえば,
\begin{align}
(\lambda_1,\mu_1,\nu_1)&=\left(\sqrt{\frac{1}{2}},-\sqrt{\frac{1}{2}},0\right),\\
(\lambda_2,\mu_2,\nu_2)&=\left(\sqrt{\frac{1}{6}},\sqrt{\frac{1}{6}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)
\end{align}
の2組を取ればよい. 内積
\begin{align}
(X,Y) = \frac{-1}{2}{\rm tr}(XY)
\end{align}
で定義しておくと\(G_{ij}\)は正規直交基底をなす. したがって, 次の\(K_{i} i=1,\cdots,14\)が\({\frak g}_2\)の\(\mathbb{R}\)-基をなす.
\begin{gather}
\begin{array}{ll}
K_1 = \lambda_1 G_{23} + \mu_1 G_{45} + \nu_1 G_{67}, &
K_8 = \lambda_2 G_{23} + \mu_2 G_{45} + \nu_2 G_{67},\\
K_2 = -\lambda_1 G_{13} - \mu_1 G_{46} + \nu_1 G_{57},&
K_9 = -\lambda_2 G_{13} - \mu_2 G_{46} + \nu_2 G_{57},\\
K_3 = \lambda_1 G_{12} + \mu_1 G_{47} + \nu_1 G_{56}, &
K_{10} = \lambda_2 G_{12} + \mu_2 G_{47} + \nu_2 G_{56},\\
K_4 = -\lambda_1 G_{15} + \mu_1 G_{26} - \nu_1 G_{37}, &
K_{11} = -\lambda_2 G_{15} + \mu_2 G_{26} - \nu_2 G_{37},\\
K_5 = \lambda_1 G_{14} - \mu_1 G_{27} - \nu_1 G_{36}, &
K_{12} = \lambda_2 G_{14} - \mu_2 G_{27} - \nu_2 G_{36}, \\
K_6 = -\lambda_1 G_{17} - \mu_1 G_{24} + \nu_1 G_{35}, &
K_{13} = -\lambda_2 G_{17} - \mu_2 G_{24} + \nu_2 G_{35}, \\
K_7 = \lambda_1 G_{16} + \mu_1 G_{25} + \nu_1 G_{34}, &
K_{14} = \lambda_2 G_{16} + \mu_2 G_{25} + \nu_2 G_{34}.
\end{array}\\
\end{gather}
\({\frak g_2}\)上での随伴表現\(\rho\)を
\begin{gather}
\rho(A) : D \mapsto ADA^{-1}\\
A\in G_2,\ D \in {\frak g}_2
\end{gather}
によって定義すると, 指標\(\chi\)は
\begin{align}
\chi(A) = \sum_{i=1}^{14} (\rho(A)K_i,K_i)
\end{align}
から決められる. これを計算して, 以下の\(PSL(2,13)\)の14次元表現の既約指標を得る.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&14 & -2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{gather}
14次元既約指標はもうひとつあって, どちらも指数14の極大部分群の1次元表現からの誘導表現として得られるが, \(G_2\)の随伴表現として出てくるのはこちらのほうなのだ.


まとめ

 \(PSL(2,13)\)の7次元既約表現を具体的に構成することで, この群が例外型リー群\(G_2\)の部分群であることを確かめた.

 リー群の有限部分群の分類はそもそもかなり難しい問題らしい[4]. それでも例外型リー群\(G_2,F_4,E_6,E_7,E_8\)の有限部分群はいろいろ調べられていて, 交代群だったり\(PSL(2,q)\)だったりがたくさん出てくる[5-7]. どういう原理があるのだろう?


リファレンス

[1] Evans, David Emrys and Pugh, Mathew J. 2018. Spectral measures for G2 II: finite subgroups. arXiv e-prints , 1404.1866.
https://arxiv.org/abs/1404.1866

[2] Arjeh M. Cohen & David B. Wales (1983) Finite subgroups of G2(C), Communications in Algebra, 11:4, 441-459.
https://doi.org/10.1080/00927878308822857

[3] 横田一郎, 2013, 『例外型単純リー群』, 現代数学社.
arXivで英語版が公開されている.
Ichiro Yokota, 2009, Exceptional Lie groups, arXiv e-prints, 0902.0431.
https://arxiv.org/abs/0902.0431

[4] Lie 群の有限部分群
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/finite_subgroup_of_Lie_group.html

[5] Cohen, A. M., & Wales, D. B. (1995). Finite simple subgroups of semisimple complex Lie groups : a survey. In
W. M. Kantor, & L. Di Martino (Eds.), Groups of Lie Type and their Geometries (Proceedings, Como, Italy, June
14-19, 1993) (pp. 77-96). (London Mathematical Society Lecture Note Series; Vol. 207). Cambridge: Cambridge
University Press.

[6] Arjeh M Cohen , Robert L Griess Jr. & Bert Lisser (1993) The group L(2,61) embeds in t h e Lie group of type E8 , Communications in Algebra, 21:6, 1889-1907.
https://doi.org/10.1080/00927879308824659

[7] Griess Jr, R. L., & Ryba, A. J. (2001). Embeddings ofPSL (2, 41) andPSL (2, 49) inE8 (C). Journal of Symbolic Computation, 31(1-2), 211-227.
https://doi.org/10.1006/jsco.1999.1000

*1:部分群\(SU(3)\)による剰余類が\(S^6\)になるため単連結であることから示されている[3].

PSL(2,11)指標表手作り体験記――Paley biplaneと正20面体

イントロ――ガロアの最後の手紙

 シュヴァリエへ宛てたガロアの最後の手紙[1]. モジュラー方程式との関係から彼が重要視し, 証明なしに与えた命題は現代的なことばで述べるとこうであった.
 
素数\(p\)に対して, \(PSL(2,p)\)が\(p\)点への忠実かつ推移的な作用を持つのは\(p=5,7,11\)のときに限られる.
 
 それぞれ正4面体群, 正8面体群, 正20面体群を部分群としてもつことから起こるこの現象. ADE分類, McKay対応の「例外的な三つ組」がここにも現れる.
 本記事では\(PSL(2,7)\)について調べた前回の記事に引き続き, \(PSL(2,11)\)の既約指標を求めつつ, ここで起こっている現象の理解を目標とする.

小さな非可換単純群 - PSL(2,p) - Shironetsu Blog
PSL(2,7)指標表手作り体験記(1) 3,3,8次元既約表現 - Shironetsu Blog
PSL(2,7)指標表手作り体験記(2)――ファノ平面・GL(3,2)・四元数・正8面体 - Shironetsu Blog

 なお, この記事を書くにあたってはKostantによる優れた解説[2]を大いに参考にした.

PSL(2,11):基礎事項

 一般に奇素数\(p\)について\(PSL(2,p)\)の位数は\((p^3-p)/2\). 従って,
\begin{align}
|PSL(2,11)| = 660.
\end{align}
 \(PSL(2,p)\)の共役類は「ほぼ」プラスマイナスを無視したトレースで決まる. 例外はトレースが±2の場合. 単位元のみからなる共役類, 位数\(p\)の元からなる2つの共役類の合わせて3つに分裂する.
 ここで角括弧はプラスマイナスを同一視する意味で用いる.
\begin{align}
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix},\
\begin{pmatrix}
-a & -b\\
-c & -d
\end{pmatrix}
\right\}\in PSL(2,p).
\end{align}

共役類とその代表元のリストは以下の通り.

\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\mbox{共役類}&\mbox{代表元} & \mbox{大きさ} &\mbox{位数} \\ \hline
1A_1&\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
& 1 & 1 \\ \hline
55A_2&\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} =t
& 55 & 2 \\ \hline
110A_3&\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = st
& 110 & 3 \\ \hline
60A_{11}&\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s
& 60 & 11 \\ \hline
60B_{11}&\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s^2
& 60 & 11 \\ \hline
132A_5&\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^3t
& 132 & 5 \\ \hline
132B_5&\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^4t
& 132 & 5 \\ \hline
110A_6&\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^5t
& 110 & 6 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
生成元\(s,t\)によって各代表元がどう表されるかも書いた. \(s\)と\(t\)の表現さえ得られれば全ての指標が分かることになる.


5次元既約表現

 \(PSL(2,7)\)の3次元既約表現を思い出しながら.
 11の平方剰余は1,3,4,5,9. 1の原始11乗根を\zetaとして, 11の平方剰余による\zetaのべき乗の和を\etaとする.

\begin{align}
    \eta = \zeta+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^5+\zeta^9.
\end{align}

\(-1\)が平方非剰余であることから,

\begin{align}
    \eta + \overline{\eta} = -1.
\end{align}

\etaの満たす2次方程式は,

\begin{align}
    \eta^2 &= \zeta^2 + \zeta^6+ \zeta^8+\zeta^{10} + \zeta^7\\
            &\hspace{10pt}+2(\zeta^4+\zeta^7+\zeta^9+\zeta^3 + \zeta^5+\zeta^8+\zeta^2+\zeta^6+\zeta + \zeta^{10})\\
            &= (-1-\eta) + 2\cdot(-1)\\
            &=-\eta-3.
\end{align}

これを解くと,

\begin{align}
    \eta = \frac{-1\pm\sqrt{-11}}{2}.
\end{align}

複号はプラスをとることにして, 以下の\(a,b,c,d,e\)を定義する.
\begin{align}
    a = \frac{\zeta-\zeta^{10}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    b = \frac{\zeta^4-\zeta^{7}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    c = \frac{\zeta^5-\zeta^{6}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    d = \frac{\zeta^9-\zeta^{2}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    e = \frac{\zeta^3-\zeta^{8}}{\sqrt{-11}}.
\end{align}

すべて実数であることに注意. 順序は,

\begin{align}
    a = \frac{\zeta-\zeta^{-1}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    b = \frac{\zeta^{4}-\zeta^{-4}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    c = \frac{\zeta^{4^2}-\zeta^{-4^2}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    d = \frac{\zeta^{4^3}-\zeta^{-4^3}}{\sqrt{-11}},\ \ 
    e = \frac{\zeta^{4^4}-\zeta^{-4^4}}{\sqrt{-11}}.
\end{align}

から来ている. これらを用いて, 次の5×5行列を定義する.
\begin{align}
T =
\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e\\
b & c & d & e & a\\
c & d & e & a & b\\
d & e & a & b & c\\
e & a & b & c & d
\end{pmatrix}.
\end{align}
行・列成分の順序は\(a,b,c,d,e\), 対角成分の順序は\(a,c,e,d,b\)となっていることに気付くだろう. 美しい.
f:id:shironetsu:20190317015733p:plain:w300
 トレース, 行列式はそれぞれ,

\begin{gather}
    {\rm tr}(T) = a+c+e+b+d = \frac{\eta-\overline{\eta}}{\sqrt{-11}}=1,\\
    \det(T) = 5abcde-a^5-b^5-c^5-d^5-e^5 = 1.
\end{gather}

 2乗すると,
\begin{align}
T^2 &=
\begin{pmatrix}
p & q & r & r & q\\
q & p & q & r & r\\
r & q & p & q & r\\
r & r & q & p & q\\
q & r & r & q & p
\end{pmatrix},
\end{align}
ここで,

\begin{align}
    p &= a^2+b^2+c^2+d^2+e^2,\\
    q &= ab+bc+cd+de+ea,\\
    r &= ac+ce+eb+bd+da.
\end{align}

なんとも都合の良いことに, \(p=1,\ q=r=0\)が成り立つ. すなわち,
\begin{align}
T^2 = {\bf 1}.
\end{align}
もうひとつ, 次の対角行列を定義する.
\begin{align}
    S=
    \begin{pmatrix}
        \zeta^5 & 0 & 0 & 0 & 0\\
        0 & \zeta^3 & 0 & 0 & 0\\
        0 & 0 & \zeta^4 & 0 & 0\\
        0 & 0 & 0 & \zeta^9 & 0\\
        0 & 0 & 0 & 0 & \zeta
    \end{pmatrix}
\end{align}

明らかに, \(S^{11} = {\bf 1}.\) そして(数式処理ソフトの力を借りて,
\begin{align}
(TS)^3 = (S^2TS^6T)^3 = {\bf 1}.
\end{align}
 これが何を意味するかというと,
\begin{align}
\langle S,T\rangle\cong PSL(2,11).
\end{align}
つまり\(S,T\)は\(PSL(2,11)\)の5次元表現の生成元[3].
\begin{align}
s= \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\mapsto S,\ \
t=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\mapsto T
\end{align}
によって表現になる. 指標は以下の通り.

\begin{align}
    \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
     \mbox{共役類}&1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
     \hline
     \mbox{指標}&5 & 1 & -1 & \eta & \overline{\eta} & 0 & 0 & 1 \\ \hline
    \end{array} 
\end{align}

 クラインの4次曲線のように, 4次元複素射影空間\(\mathbb{C}P^4=\{(x_1:x_2:x_3:x_4:x_5)\mid x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in \mathbb{C}\}\)でこの行列による射影変換で不変なものを探すとあっさり見つかって次のように書ける.
\begin{align}
x_1x_2^2+x_2x_3^2+x_3x_4^2+x_4x_5^2+x_5x_1^2=0.
\end{align}
特に, 左辺を\(f({\bf x})=f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\)とおくと
\begin{align}
f(S{\bf x})=f(T({\bf x}))=f({\bf x})
\end{align}
が成立して不変式となっている. 何が起こっているのかよく分からないがとにかくそうなっている.

 もうひとつの5次元既約表現は複素共役から得られる. あるいは, PGL(2,11)\backslash PSL(2,11)(行列式が平方非剰余)の元による外部自己同型写像によって\(60A_{11}\)と\(60B_{11}\)を入れ替えても複素共役と同値な表現になる.

 この5次元表現に関しては計算すると確かに表現になっている, 以上のことが言えない. 背景にあるのが何なのか分かっていない.


10次元既約表現その1

 本記事の主目標. \(PSL(2,11)\)は11点に推移的に作用する. 13以上の素数\(p\)で\(PSL(2,p)\)が\(p\)点に推移的に作用することはない. では\(PSL(2,11)\)が11点に推移的に作用できるのはなぜかというと正20面体群と同型な部分群を持つためである.

Paley Biplane

 11の平方剰余(0を除く)の集合を\(a\)とする.法を11として全ての元に1ずつ加えてゆき, 順に\(b,c,\cdots,k\) とする. ただし10はXで表す.
\begin{align}
a &= \{1,3,4,5,9\}\\
b &= \{2,4,5,6,{\rm X\!}\}\\
c &= \{0,3,5,6,7\}\\
d &= \{1,4,6,7,8\}\\
e &= \{2,5,7,8,9\}\\
f &= \{3,6,8,9,{\rm X\!}\}\\
g &= \{0,4,7,9,{\rm X\!}\}\\
h &= \{0,1,5,8,{\rm X\!}\}\\
i &= \{0,1,2,6,7\}\\
j &= \{1,2,3,7,8\}\\
k &= \{3,4,5,8,9\}
\end{align}
数を「点」, アルファベットを「直線」と呼び, それぞれのなす集合を\(P,L\)としよう.
\begin{align}
P &= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,{\rm X}\}\\
L &= \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k\}
\end{align}
よく観察すると, 異なる2つの「点」は2つの同じ「直線」にのり, 異なる2つの「直線」は2つの同じ「点」をのせている(2点で「交わる」)ことが分かる.
たとえば\(\{0,1\}\)は\(h,i\)に含まれ, \(a,b\)は\(\{4,5\}\)を含んでいる. 集合の言葉で記述すると,
\begin{gather}
\forall p,q \in P,{\rm s.t.}\ p\neq q,\ \ |\{\ell \in L \mid \{p,q\}\subset \ell\}| = 2, \\
\forall \ell,m \in L,{\rm s.t.}\ \ell\neq m,\ \ |\{p \in P \mid \{\ell,m\}\subset p\}| = 2.
\end{gather}
この組み合わせを, Paley Biplane*1という[4,5]. 名前は数学者Raymond Paleyから.
 また, ブロックデザインのことばでは\(2-(11,5,2)\)デザインとなる. ここで\(t-(v,k,\lambda)\)デザイン\(X,B\)の定義は以下の通り.

定義: ブロックデザイン
 \(v\)個の元からなる有限集合\(X\)に対して, 大きさ\(k\)の\(X\)の部分集合の全体を\(X^{(k)}\)とする.
\begin{gather}
    |X| = v\\
    X^{(k)} = \{A\subset X\mid |Y|=k\}
\end{gather}
\(X^{(k)}\)の部分集合\(B\)があって次の性質を満たす:
\(X\)の相異なる\(t\)個の元に対して, それらを含む\(B\)の元はちょうど\(\lambda\)個存在する.
\begin{gather}
    \forall x_1,x_2,\cdots, x_t,\ {\rm s.t.}\ x_i\neq x_j\ (1\leq i \lneq j\leq t),\\
    |\{b\in B\mid x_1,x_2,\cdots,x_t\in b\}| = \lambda.
\end{gather}

 いま, \(X\)は「点」の集合\(P\), \(B\)は「直線」の集合\(L\)に対応する. \(v=11\)点集合\(P\)の\(k=5\)点部分集合の集合\(L\)について, \(P\)の相異なる\(t=2\)個の元はちょうど\(\lambda=2\)個の\(L\)の元に含まれるため, Paley Biplaneは\(2-(11,5,2)\)デザイン.

アダマール行列

 Paley biplaneは位数\(n=3\)のアダマール型2-デザインとも呼ばれる. このデザインから\(4n=12\)次のアダマール行列が作られるのだ. アダマール行列とは, すべての成分が\(\pm 1\)の正方行列であって, それ自身の転置行列との積がスカラー行列になるもの.
 具体的な構成は次のようになる. \(12\times 12\)行列\(H\)について, 12行目と12列目成分はともにすべて1として, 他の行はa…kのアルファベットで, 列は0から始めて11までで指定することにする. 各マスをPaley biplneの組をなすなら1, そうでないなら\(-1\)で埋める. すると,
\begin{align}
H =
\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}
-1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\
-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right).
\end{align}
これが12次のアダマール行列になっている:
\begin{align}
HH^T = 12 I.
\end{align}
\(I\)は単位行列.
 ちなみに同じような方法で\(q\equiv 3 \mod 4\)なる素数冪\(q\)から\(q+1\)次のアダマール行列が作られる.
 12次のアダマール行列は11,12次のマシュー群との関係からもあまりに重要で, またたぶん別の機会に調べることになると思う.
 さて, このPaley Biplaneの自己同型群が\(PSL(2,11)\)と同型なのである. すなわち\(PSL(2,11)\)は\(P\)と\(L\)のどちらにも11点の置換として作用する. とはいえ, \(PSL(2,11)\)は1次変換の群. どこにPaley Biplaneがいるのだろう?

2項正20面体群

 \(SU(2)\)の部分群であった2項正20面体群を思い出そう. 詳しくは以前の記事を参照.

球面調和関数で正20面体をつくる(4) - 2項正20面体群とマッカイ対応 - Shironetsu Blog

\(xyz\)座標で正20面体の頂点として次の12個を取ることができる.
\begin{gather}
(\pm \phi,\pm1,0),\
(0,\pm\phi,\pm 1),\
(\pm 1,0,\pm\phi)\\
\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{gather}

f:id:shironetsu:20180210224315p:plain:w300

 \(\phi\)は\(\lambda^2-\lambda-1=0\)の正根. これらを四元数\(x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}\)に対応させると, これらを不変に保つ共役による作用を引き起こす4元数\((t,x,y,z)=t{\bf 1}+x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}\)の全体は, 以下の120個.
\begin{gather}
(\pm 1,0,0,0),\ (0,\pm 1,0,0),\ (0,0,\pm 1,0),\ (0,0,0\pm 1),\\
(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}),\\
(\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm \frac{\phi}{2},\pm\frac{1}{2},0),\
(\pm \frac{\phi}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2},0,\pm\frac{1}{2}),\
(\pm\frac{1}{2},0,\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm \frac{\phi}{2}),\
(0,\pm\frac{1}{2},\pm \frac{\phi}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2}),\\
(\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm\frac{1}{2},0,\pm \frac{\phi}{2}),\
(\pm\frac{\phi^{-1}}{2},0,\pm \frac{\phi}{2},\pm\frac{1}{2}),\
(0,\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\phi}{2}),\
(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm\frac{\phi}{2},0),\\
(0,\pm\frac{\phi}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2},\pm\frac{1}{2}),\
(\pm\frac{\phi}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2},0),\
(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\phi}{2},0,\pm\frac{\phi^{-1}}{2}),\
(\pm\frac{\phi}{2},0,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\phi^{-1}}{2}).
\end{gather}
なお下3行は成分の互いに成分の偶置換. これが2項正20面体群\(\widetilde{I}\)である.
 これを\(\mathbb{F}_{11}\)に移そう. \(1^2+3^2=-1\)から以下のようにとれる.
\begin{align}
{\bf i} =
\begin{pmatrix}
3 & 1\\
1 & -3
\end{pmatrix},\ \
{\bf j} =
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\ \
{\bf k} =
\begin{pmatrix}
1 & -3\\
-3 & -1
\end{pmatrix}.
\end{align}
5は11の平方剰余であるため, \(\sqrt{5}=7\)に固定して\(\mathbb{F}_{11}\)上で
\begin{align}
\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 4
\end{align}
とする. すると, 以下の120個が2項正20面体群と同型な群を\(SL(2,11)\)内でつくる.
\begin{gather}
(\pm 1,0,0,0),\ (0,\pm 1,0,0),\ (0,0,\pm 1,0),\ (0,0,0\pm 1),\\
(\pm 5,\pm 5,\pm 5,\pm 5),\\
(\pm 4,\pm 2,\pm 5,0),\
(\pm 2,\pm 4,0,\pm 5),\
(\pm 5,0,\pm 4,\pm 2),\
(0,\pm 5,\pm 2,\pm 4),\\
(\pm 4,\pm 5,0,\pm 2),\
(\pm 4,0,\pm 2,\pm 5),\
(0,\pm 4,\pm 5,\pm 2),\
(\pm 5,\pm 4,\pm 2,0),\\
(0,\pm 2,\pm 4,\pm 5),\
(\pm 2,\pm 5,\pm 4,0),\
(\pm 5,\pm 2,0,\pm 4 ),\
(\pm 2,0,\pm 5,\pm 4).
\end{gather}
これらが固定するのが次の6本の「対角線」(プラスマイナスを同一視する)の集合.
\begin{gather}
(\pm 4,\pm1,0),\
(0,\pm 4,\pm 1),\
(\pm 1,0,\pm 4)
\end{gather}
 \(A=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}\)と\(B=x'{\bf i}+y'{\bf j}+z'{\bf k}\)の内積はやはり
\begin{align}
(A,B)=\frac{-1}{2}{\rm tr}(AB) = xx'+yy'+zz'
\end{align}
で定義する.

11元体上の正20面体たち

 以下の観察を行う.
問題1. \(\,(4,1,0)\)と同じく自分自身との内積が\(4^2+1^2+0^2=6\)となるベクトルは何個あるか?
答え1. 132個.
\(x^2+y^2+z^2=6\)の解を数える. これらの集合を\(\mathcal{V}\)とする.
\begin{align}
\mathcal{V} = \{(x,y,z)\in (\mathbb{F}_{11})^3\mid x^2+y^2+z^2=6\}
\end{align}
プラスマイナスを同一視するとちょうど半分の66個.
\begin{align}
\lbrack x,y,z\rbrack = \left\{(x,y,z),(-x,-y,-z)\right\}
\end{align}
と表すことにして,
\begin{align}
\mathcal{D} = \{\lbrack x,y,z\rbrack\mid\lbrack x,y,z\rbrack\subset \mathcal{V}\}
\end{align}
を定義する. \(|\mathcal{D}|=66\). この\(\mathcal{D}\)が「対角線」の集合.

問題2. 「正20面体」\(\{\lbrack 4,\pm1,0\rbrack,\ \lbrack0,4,\pm 1\rbrack,\ \lbrack\pm 1,0,4\rbrack\}\) に対する\(SL(2,11)\)の共役による作用の軌道はどのようになるか?
答え2. 軌道-固定点定理から大きさは11. 以下に列挙する.
\begin{align}
{\bf 0} &:\{\lbrack1, 0, 4\rbrack, \lbrack1, 0, 7\rbrack, \lbrack0, 4, 1\rbrack, \lbrack0, 4, 10\rbrack, \lbrack4, 10, 0\rbrack, \lbrack4, 1, 0\rbrack\}\\
{\bf 1} &:\{\lbrack1, 9, 1\rbrack, \lbrack1, 4, 0\rbrack, \lbrack1, 9, 10\rbrack, \lbrack5, 8, 7\rbrack, \lbrack5, 6, 0\rbrack, \lbrack5, 8, 4\rbrack\}\\
{\bf 2} &:\{\lbrack3, 4, 6\rbrack, \lbrack2, 10, 10\rbrack, \lbrack4, 0, 1\rbrack, \lbrack3, 7, 6\rbrack, \lbrack5, 0, 6\rbrack, \lbrack2, 1, 10\rbrack\}\\
{\bf 3} &:\{\lbrack1, 2, 1\rbrack, \lbrack5, 3, 4\rbrack, \lbrack5, 3, 7\rbrack, \lbrack1, 7, 0\rbrack, \lbrack1, 2, 10\rbrack, \lbrack5, 5, 0\rbrack\}\\
{\bf 4}&:\{\lbrack3, 6, 4\rbrack, \lbrack2, 9, 8\rbrack, \lbrack4, 8, 6\rbrack, \lbrack3, 2, 2\rbrack, \lbrack2, 8, 2\rbrack, \lbrack5, 4, 3\rbrack\}\\
{\bf 5}&:\{\lbrack5, 0, 5\rbrack, \lbrack2, 1, 1\rbrack, \lbrack2, 10, 1\rbrack, \lbrack4, 0, 10\rbrack, \lbrack3, 7, 5\rbrack, \lbrack3, 4, 5\rbrack\}\\
{\bf 6}&:\{\lbrack0, 5, 5\rbrack, \lbrack1, 10, 9\rbrack, \lbrack4, 5, 3\rbrack, \lbrack0, 1, 7\rbrack, \lbrack1, 1, 2\rbrack, \lbrack4, 6, 8\rbrack\}\\
{\bf 7}&:\{\lbrack2, 9, 3\rbrack, \lbrack4, 8, 5\rbrack, \lbrack2, 8, 9\rbrack, \lbrack5, 4, 8\rbrack, \lbrack3, 6, 7\rbrack, \lbrack3, 2, 9\rbrack\}\\
{\bf 8}&:\{\lbrack4, 6, 3\rbrack, \lbrack1, 1, 9\rbrack, \lbrack0, 5, 6\rbrack, \lbrack4, 5, 8\rbrack, \lbrack1, 10, 2\rbrack, \lbrack0, 1, 4\rbrack\}\\
{\bf 9}&:\{\lbrack3, 5, 4\rbrack, \lbrack2, 3, 2\rbrack, \lbrack4, 3, 6\rbrack, \lbrack3, 9, 2\rbrack, \lbrack5, 7, 3\rbrack, \lbrack2, 2, 8\rbrack\}\\
{\bf \rm X}&:\{\lbrack2, 3, 9\rbrack, \lbrack4, 3, 5\rbrack, \lbrack3, 5, 7\rbrack, \lbrack5, 7, 8\rbrack, \lbrack3, 9, 9\rbrack, \lbrack2, 2, 3\rbrack\}
\end{align}
これらの集合を\(\mathcal{P}\)とする. 「対角線」はちょうど1つの\(\mathcal{P}\)の「正20面体」に含まれる.

問題3. 「正20面体」はいくつ存在するか?
答え3. 22個.
「正20面体」とは互いの内積が\(\pm 4\)の「対角線」6本の集合のこと.
\(\mathcal{P}\)に加えて次の11個が存在.
\begin{align}
a &: \{\lbrack1, 10, 9\rbrack, \lbrack1, 1, 9\rbrack, \lbrack1, 0, 4\rbrack, \lbrack5, 0, 6\rbrack, \lbrack5, 7, 8\rbrack, \lbrack5, 4, 8\rbrack\}\\
b &: \{\lbrack1, 9, 1\rbrack, \lbrack0, 4, 1\rbrack, \lbrack0, 5, 6\rbrack, \lbrack1, 2, 10\rbrack, \lbrack4, 3, 6\rbrack, \lbrack4, 8, 5\rbrack\}\\
c &: \{\lbrack2, 9, 8\rbrack, \lbrack2, 3, 9\rbrack, \lbrack3, 7, 6\rbrack, \lbrack4, 5, 8\rbrack, \lbrack3, 9, 2\rbrack, \lbrack5, 8, 4\rbrack\}\\
d &: \{\lbrack3, 5, 4\rbrack, \lbrack2, 1, 1\rbrack, \lbrack4, 10, 0\rbrack, \lbrack3, 5, 7\rbrack, \lbrack5, 5, 0\rbrack, \lbrack2, 1, 10\rbrack\}\\
e &: \{\lbrack0, 5, 5\rbrack, \lbrack1, 2, 1\rbrack, \lbrack4, 3, 5\rbrack, \lbrack0, 4, 10\rbrack, \lbrack4, 8, 6\rbrack, \lbrack1, 9, 10\rbrack\}\\
f &:\{\lbrack3, 6, 4\rbrack, \lbrack2, 10, 10\rbrack, \lbrack4, 1, 0\rbrack, \lbrack2, 10, 1\rbrack, \lbrack5, 6, 0\rbrack, \lbrack3, 6, 7\rbrack\}\\
g &:\{\lbrack4, 0, 1\rbrack, \lbrack1, 4, 0\rbrack, \lbrack0, 1, 7\rbrack, \lbrack1, 7, 0\rbrack, \lbrack4, 0, 10\rbrack, \lbrack0, 1, 4\rbrack\}\\
h &:\{\lbrack3, 4, 6\rbrack, \lbrack5, 3, 4\rbrack, \lbrack4, 6, 8\rbrack, \lbrack3, 2, 2\rbrack, \lbrack2, 8, 9\rbrack, \lbrack2, 2, 8\rbrack\}\\
i &: \{\lbrack4, 6, 3\rbrack, \lbrack5, 3, 7\rbrack, \lbrack2, 8, 2\rbrack, \lbrack3, 4, 5\rbrack, \lbrack2, 2, 3\rbrack, \lbrack3, 2, 9\rbrack\}\\
j &:\{\lbrack5, 0, 5\rbrack, \lbrack1, 1, 2\rbrack, \lbrack1, 10, 2\rbrack, \lbrack5, 7, 3\rbrack, \lbrack5, 4, 3\rbrack, \lbrack1, 0, 7\rbrack\}\\
k &: \{\lbrack2, 3, 2\rbrack, \lbrack2, 9, 3\rbrack, \lbrack4, 5, 3\rbrack, \lbrack5, 8, 7\rbrack, \lbrack3, 7, 5\rbrack, \lbrack3, 9, 9\rbrack\}
\end{align}
これらの集合を\(\mathcal{L}\)とする. 「対角線」はちょうど1つの\(\mathcal{L}\)の「正20面体」に含まれる.

 \(PSL(2,7)\)のときからの類推で, \(\mathcal{P}\)が「点」に, \(\mathcal{L}\)が「直線」に, それぞれ対応付けられることが期待できる. というか既にもう答えを書いた. ただ対応の仕方が少し変わっている.

 \(\mathcal{P}\)の元\({\bf 0}\)を見よう.
\begin{align}
{\bf 0} : \{\lbrack1, 0, 4\rbrack, \lbrack1, 0, 7\rbrack, \lbrack0, 4, 1\rbrack, \lbrack0, 4, 10\rbrack, \lbrack4, 10, 0\rbrack, \lbrack4, 1, 0\rbrack\}
\end{align}
\({\bf 0}\)に含まれる6つの元は, \(\mathcal{L}\)の\(a,b,d,e,f,j\)に分かれて1つずつ入っている.
\begin{align}
a &: \{\lbrack1, 10, 9\rbrack, \lbrack1, 1, 9\rbrack, \underline{\lbrack1, 0, 4\rbrack}, \lbrack5, 0, 6\rbrack, \lbrack5, 7, 8\rbrack, \lbrack5, 4, 8\rbrack\}\\
b &: \{\lbrack1, 9, 1\rbrack, \underline{\lbrack0, 4, 1\rbrack}, \lbrack0, 5, 6\rbrack, \lbrack1, 2, 10\rbrack, \lbrack4, 3, 6\rbrack, \lbrack4, 8, 5\rbrack\}\\
d &: \{\lbrack3, 5, 4\rbrack, \lbrack2, 1, 1\rbrack, \underline{\lbrack4, 10, 0\rbrack}, \lbrack3, 5, 7\rbrack, \lbrack5, 5, 0\rbrack, \lbrack2, 1, 10\rbrack\}\\
e &: \{\lbrack0, 5, 5\rbrack, \lbrack1, 2, 1\rbrack, \lbrack4, 3, 5\rbrack, \underline{\lbrack0, 4, 10\rbrack}, \lbrack4, 8, 6\rbrack, \lbrack1, 9, 10\rbrack\}\\
f &:\{\lbrack3, 6, 4\rbrack, \lbrack2, 10, 10\rbrack, \underline{\lbrack4, 1, 0\rbrack}, \lbrack2, 10, 1\rbrack, \lbrack5, 6, 0\rbrack, \lbrack3, 6, 7\rbrack\}\\
j &:\{\lbrack5, 0, 5\rbrack, \lbrack1, 1, 2\rbrack, \lbrack1, 10, 2\rbrack, \lbrack5, 7, 3\rbrack, \lbrack5, 4, 3\rbrack, \underline{\lbrack1, 0, 7\rbrack}\}
\end{align}
\(a,b,d,e,f,j\)はPaley biplaneにおいて「点」\({\bf 0}\)がのっていない6つの「直線」である. 逆に補集合\(\mathcal{L}\backslash\{a,b,d,e,f,j\}=\{c,g,h,i,k\}\)は「点」0がのっている5つの「直線」.

 「点」と「直線」の双対性からこれらの語を入れ替えても同じことが言える. \(\mathcal{L}\)の元\(a\)を見よう.
\begin{align}
a : \{\lbrack1, 10, 9\rbrack, \lbrack1, 1, 9\rbrack, \lbrack1, 0, 4\rbrack, \lbrack5, 0, 6\rbrack, \lbrack5, 7, 8\rbrack, \lbrack5, 4, 8\rbrack\}
\end{align}
\(a\)に含まれる6つの元は, \(\mathcal{P}\)の\({\bf 0,2,6,7,8,{\rm X}}\)に分かれて1つずつ入っている.
\begin{align}
{\bf 0} &:\{\underline{\lbrack1, 0, 4\rbrack}, \lbrack1, 0, 7\rbrack, \lbrack0, 4, 1\rbrack, \lbrack0, 4, 10\rbrack, \lbrack4, 10, 0\rbrack, \lbrack4, 1, 0\rbrack\}\\
{\bf 2} &:\{\lbrack3, 4, 6\rbrack, \lbrack2, 10, 10\rbrack, \lbrack4, 0, 1\rbrack, \lbrack3, 7, 6\rbrack, \underline{\lbrack5, 0, 6\rbrack}, \lbrack2, 1, 10\rbrack\}\\
{\bf 6}&:\{\lbrack0, 5, 5\rbrack, \underline{\lbrack1, 10, 9\rbrack}, \lbrack4, 5, 3\rbrack, \lbrack0, 1, 7\rbrack, \lbrack1, 1, 2\rbrack, \lbrack4, 6, 8\rbrack\}\\
{\bf 7}&:\{\lbrack2, 9, 3\rbrack, \lbrack4, 8, 5\rbrack, \lbrack2, 8, 9\rbrack, \underline{\lbrack5, 4, 8\rbrack}, \lbrack3, 6, 7\rbrack, \lbrack3, 2, 9\rbrack\}\\
{\bf 8}&:\{\lbrack4, 6, 3\rbrack, \underline{\lbrack1, 1, 9\rbrack}, \lbrack0, 5, 6\rbrack, \lbrack4, 5, 8\rbrack, \lbrack1, 10, 2\rbrack, \lbrack0, 1, 4\rbrack\}\\
{\bf \rm X}&:\{\lbrack2, 3, 9\rbrack, \lbrack4, 3, 5\rbrack, \lbrack3, 5, 7\rbrack, \underline{\lbrack5, 7, 8\rbrack}, \lbrack3, 9, 9\rbrack, \lbrack2, 2, 3\rbrack\}
\end{align}
\({\bf 0,2,6,7,8,{\rm X}}\)はPalay biplaneにおいて「直線」\(a\)がのせていない6つの「点」である. 逆に補集合\(\mathcal{P}\backslash\{{\bf 0,2,6,7,8,{\rm X}}\}=\{1,3,4,5,9\}\)は「直線」\(a\)がのせている5つの「点」.

 かくしてPaley biplaneが見つかった. Palay biplaneの自己同型群「全体」であるというには少し足りないが, \(PSL(2,11)\)の元が自己同型として作用することは言えた(実際Paley biplaneのフルの対称性が\(PSL(2,11)\)である.).

 この埋め込み\(PSL(2,11)\hookrightarrow Sym(11)\)によって生成元は以下のように写される.
\begin{align}
s = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}
&\mapsto ({\bf 029867315{\rm X}4}) = (a\,h\,b\,g\,k\,i\,e\,f\,d\,c\,j)\\
t = \begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto ({\bf 13})({\bf 49})({\bf 68})({\bf 7{\rm X}}) = (b\,e)(c\,h)(d\,f)(i\,k).
\end{align}

各共役類の代表元についても,
\begin{align}
st = \begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto {\bf (029)(35{\rm X})(487)} = (a\,h\,j)(b\,f\,c)(e\,g\,k)\\
s^2 = \begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix}
&\mapsto {\bf (0963542871{\rm X})} = (a\,b\,k\,e\,d\,j\,h\,g\,i\,f\,c)\\
s^3t = \begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto {\bf (081{\rm X}5)(26347)} = (a\,g\,e\,i\,f)(b\,c\,k\,d\,j)\\
s^4t = \begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto {\bf (06143)(27985)} = (a\,k\,c\,i\,d)(b\,j\,g\,f\,h)\\
s^5t = \begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto {\bf (078{\rm X}41)(23)(596)} = (a\,i\,c\,e\,f\,b)(d\,h\,g)(j\,k)
\end{align}
と写る. 11次対称群の10次元既約表現の制限によって指標は以下のようになる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
\hline
\mbox{置換の型}
& \lbrack1^{11}\rbrack
& \lbrack1^32^4\rbrack
& \lbrack1^23^3\rbrack
& \lbrack 11\rbrack
& \lbrack 11\rbrack
& \lbrack1,5^2\rbrack
& \lbrack1,5^2\rbrack
& \lbrack2,3,6\rbrack
\\ \hline
\mbox{指標}&10 & 2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}


10次元表現その2

 5次元既約表現の反対称積から得られる. 一般に, 表現空間を\(V\)とする群\(G\)の表現(指標は\(\chi_V\)とする)の反対称テンソル表現\wedge^2 Vの指標\chi_{\wedge^2 V}は,

\begin{align}
    \chi_{\wedge^2 V}(g) = \frac{1}{2}\left(\chi_V(g)^2-\chi_V(g^2)\right),\ \ 
    g\in G
\end{align}

で得られるから, 指標は次の通り.
\begin{align}
\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
\hline
\mbox{指標}&10 & -2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}


11次元表現

 \(\mathbb{F}_{11}\)上の射影直線\(P^1(\mathbb{F}_{11})\)への作用から12次交代群の11次元表現に埋め込む. 作用を各共役類の代表元に対して列挙しよう. なお, 10だけXで表す.
\begin{align}
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &= (0\infty)(1{\rm X})(25)(37)(48)(69)\\
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &= (0\infty 1)(26{\rm X})(385)(497)\\
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} &= (0123456789{\rm X})\\
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} &= (02468{\rm X}13579)\\
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &= (0\infty 3{\rm X}4)(12876)\\
\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &= (0\infty 413)(29{\rm X}56)\\
\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &= (0\infty 5789)(142{\rm X}63)
\end{align}
置換の型さえ分かれば, 固定点\(-1\)から指標が得られる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
\hline
\mbox{置換の型} &
\lbrack 1^{11}\rbrack &
\lbrack 2^6\rbrack &
\lbrack 3^4\rbrack &
\lbrack 1,11\rbrack &
\lbrack 1,11\rbrack &
\lbrack 1^2\,5^2\rbrack&
\lbrack 1^2\,5^2\rbrack&
\lbrack 6^2\rbrack \\ \hline
\mbox{指標}&11 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}


12次元表現

 一般に, \(G=PSL(2,p)\)の\(P^1(\mathbb{F}_p)=\mathbb{F}_p\cup\{\infty\}\)への作用において, \(\infty\)の固定部分群\(B\)は(プラスマイナスを同一視した)上三角行列の全体になる. 指数は(p+1)で位数は(p^2-p)/2.
\begin{align}
B = \left\{
\begin{bmatrix}
\alpha & \beta\\
0 & \alpha^{-1}
\end{bmatrix}\in PSL(2,p)
\mid
\alpha\in\mathbb{F}_p^{\times}, \beta\in\mathbb{F}_p
\right\}.
\end{align}
\(B\)による\(G\)の左剰余類の完全代表系\(R\)は次のように与えられる.
\begin{gather}
R = \left\{t_i \mid i \in P^1(\mathbb{F}_p)\right\},\\
t_\gamma =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
\gamma & 1
\end{bmatrix},\ \
t_\infty =
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix},\ \
\gamma \in \mathbb{F}_p.
\end{gather}
\(B\)は対角成分が1の行列全体からなる位数\(p\)の正規部分群\(N\)をもつ. 位数は\(p\).
\begin{align}
N = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & c\\
0 & 1
\end{bmatrix}\in PSL(2,p)
\mid
c\in\mathbb{F}_p
\right\}.
\end{align}
\(B\)の\(N\)による剰余群は巡回群と同型になることが簡単な計算から確かめられる.
\begin{align}
B/N \cong \mathbb{Z}_{(p-1)/2}.
\end{align}
従って\(B\)には(忠実でない)既約な1次元表現が(p-1)/2個ある. この表現による誘導表現から\(G\)の(既約とは限らない)(p+1)次元表現が得られる.

 \(B\)の1次元表現\(\rho\)による\(G\)の誘導表現\(\pi\)の表現行列は具体的に次のように得られる. まず, 部分群の表現を次のように\(G\)全体に拡張して\(\widetilde{\rho}\)とする.
\begin{align}
\widetilde{\rho}(g)=\left\{
\begin{array}{cc}
\rho(g) & {\rm if\ } g\in B\\
0 & {\rm else\ if\ } g\not\in B
\end{array}
\right.
\end{align}
左剰余類\(G/B\)の完全代表系\(R=\{t_i\mid i\in P^1(\mathbb{F}_p)\}\)によって,\(\,(ij)\)成分を
\begin{align}
\lbrack\pi(g)\rbrack_{ij} = \widetilde{\rho}(t_i^{-1}gt_j)
\end{align}
とすれば\(G\)の表現になる. 指標は
\begin{align}
\chi_\pi(g) = \sum_{i\in\mathbb{F}_p}\chi_{\widetilde{\rho}}(t_i^{-1}gt_i)
\end{align}
 ここから\(p=11\). \(B/N \cong \mathbb{Z}_5\)であり, \(B\)には次の5通りの互いに同値でない既約な1次元表現\(\rho_i\ (i=0,1,2,3,4)\)が存在する.
\begin{align}
\begin{array}{|c|ccccc|}\hline
b\in B &
\begin{bmatrix}
1 & *\\
0 & 1
\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
2 & *\\
0 & 6
\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
3 & *\\
0 & 4
\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
4 & *\\
0 & 3
\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
5 & *\\
0 & 9
\end{bmatrix}\\\hline
\rho_0(b)&1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\rho_1(b)&1 & \xi & \xi^3 & \xi^2 & \xi^4\\
\rho_2(b)&1 & \xi^2 & \xi & \xi^4 & \xi^3\\
\rho_3(b)&1 & \xi^3 & \xi^4 & \xi & \xi^2\\
\rho_4(b)&1 & \xi^4 & \xi^2 & \xi^3 & \xi\\ \hline
\end{array}
\end{align}
ただし\(\xi\)は1の原始5乗根.

 \(\rho_0\)による誘導表現は, \(B\)の共役な部分群たちに対する置換表現にほかならず, 既に得られた\(1+11\)次元に分解するため無視. 他の誘導表現を得るため, \(G\)の共役類に対して\(R\)による共役を黙々と計算する.
\begin{align}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
-\gamma & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
\gamma & 1
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
a-\gamma & -1\\
\gamma^2-a\gamma+1 & \gamma
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & a
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
-\gamma & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & b\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
\gamma & 1
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1+b\gamma & b\\
-b\gamma^2 & 1-b\gamma
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & b\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
-b & 1
\end{bmatrix}
\end{align}
\(\rho_i\ (i=1,2,3,4)\)による誘導表現\(\pi_i\)の指標を\(\chi_i\)で表すと, 以下の表のようになる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
\hline
\chi_1 &12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi+\xi^4 & \xi^2+\xi^3 & 0 \\ \hline
\chi_2 &12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi^2+\xi^3 & \xi+\xi^4 & 0 \\ \hline
\chi_3 &12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi^2+\xi^3 & \xi+\xi^4 & 0 \\ \hline
\chi_4 &12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi+\xi^4 & \xi^2+\xi^3 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\(\pi_1\)と\(\pi_4\), \(\pi_2\)と\(\pi_3\)の組み合わせがそれぞれ同値, すべて既約であることが分かる. 12次元既約表現を2つ得た.


指標表

 以上の結果を指標表としてまとめる. 各表現を次元と順に下添え字で区別.
\begin{align}
    \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline
          &1A_1 & 55A_2 & 110A_3 & 60A_{11} & 60B_{11} & 132A_5 & 132B_5 & 110A_6\\
     \hline
     {\bf 1}&1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
     {\bf 5}_1 & 5 & 1 & -1 & \eta & \overline{\eta} & 0 & 0 & 1 \\ \hline
     {\bf 5}_2 & 5 & 1 & -1 & \overline{\eta} & \eta  & 0 & 0 & 1 \\\hline
     {\bf 10}_1 & 10 & 2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ \hline
     {\bf 10}_2 & 10 & -2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
     {\bf 11}&11 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ \hline
     {\bf 12}_1&12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi+\xi^4 & \xi^2+\xi^3 & 0 \\ \hline
     {\bf 12}_2 &12 & 0 & 0 & 1 & 1 & \xi^2+\xi^3 & \xi+\xi^4 & 0 \\ \hline
    \end{array} \\
    \eta = \frac{-1+\sqrt{-11}}{2},\ \xi = \exp\frac{2\pi\sqrt{-1}}{5}.
    \end{align}


まとめとこれから

 \(PSL(2,11)\)は11点に推移的に作用する. このことは正20面体群が部分群として存在することが原因である. また, \(PSL(2,11)\)はPaley biplaneと呼ばれる11点集合上のブロックデザインの自己同型群と同型になる. これら2つの事実を結びつけるため, 11元体係数の四元数上に定義される「正20面体」どうしの構造の中にPaley biplaneを発見した.
 また, 全ての既約表現の具体的な構成法も示した. ただ, 5次元既約表現については背景にある現象(代数幾何学的な?)を掴めていない. 種数70のbuckyball surface(切頂正20面体型のC60分子, バックミンスターフラーレンに由来)へPaley biplaneを埋め込めるらしい[6]が......

 \(PSL(2,11)\)は11次のマシュー群\(M_{11}\)の12点への作用における1点の固定部分群である. また, \(p=5,7,11\)のような性質こそないものの, 散在型単純群の部分群として重要な役割を担う射影特殊線形群は数多くあり, それらについてもここでの考察が役に立つだろう.


リファレンス

[1]Galois' last letter – neverendingbooks
http://www.neverendingbooks.org/galois-last-letter

[2]Kostant, B., "The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois." , 1995, Notices of the AMS, 42(9), 959-968.
https://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf
%https://en.wikipedia.org/wiki/Raymond_Paley

[3]Behr, Helmut, and Jens Mennicke. "A presentation of the groups PSL (2, p)." Canadian Journal of Mathematics 20 , 1968, 1432-1438.
A Presentation of the Groups PSL(2, p) | Canadian Journal of Mathematics | Cambridge Core

[4]Block design - Wikipedia

[5]Paley graph - Wikipedia

[6]Martín, P., & Singerman, D. (2012). The geometry behind Galois’ final theorem. European Journal of Combinatorics, 33(7), 1619-1630.
The geometry behind Galois’ final theorem - ScienceDirect

*1:Biplaneを訳すとすれば双平面だろうか. 使用例が見られなかったためそのまま英語を使う. ちなみに 普通の辞書を引くとbiplaneは複葉機の意味になる.

PSL(2,7)指標表手作り体験記(2)――ファノ平面・GL(3,2)・四元数・正8面体

 過去ふたつの記事の続き.
小さな非可換単純群 - PSL(2,p) - Shironetsu Blog
PSL(2,7)指標表手作り体験記(1) 3,3,8次元既約表現 - Shironetsu Blog

イントロ――ファノ平面


 John Baezによる八元数の解説から[1].

 射影幾何は, ルネッサンス期の画家たちによる遠近法の研究に期限を持つ, 歴史ある分野だ. 平行な線たち――たとえば線路のような――は「無限遠点」で交わるかのように見える. 視点を変えると距離や角度は変わるが, 点は点のまま, 直線は直線のまま変わらない. この事実は, 点の集合, 直線の集合, そして点は直線の上に「のる」ことを基礎とした, 次に挙げる公理を満たした, ユークリッド平面幾何学の修正につながる :

  • 異なる2点について, 両方をのせているただ1つの直線が存在する.
  • 異なる2直線について, 両方にのるただ1つの点が存在する.
  • ある4つの点が存在して, どの3つをとっても同じ直線にのっていない.
  • ある4つの直線が存在して, どの3つをとっても同じ点をのせていない.

 これらの公理を満たす構造を射影平面と呼ぶ. この定義の魅力のひとつは, その「自己双対性」にある : 「点」と「直線」を, 「のる」と「のせる」を入れ替えても変わらないということだ.

引用終わり.

 射影平面は有限集合上にも定義される. そして最小の射影平面が, 次の図で表されるファノ平面である.

f:id:shironetsu:20190312213850p:plain:w400

 1から7までの「点」が線分, および円周上にそれぞれ3つずつ載っている. ここでいう線分と円周が抽象的な意味での「直線」である. これを集合のことばで記述すると次のようになる:

 7点集合P=\{1,2,3,4,5,6,7\}に対して,「点」を3つずつ含む部分集合;「直線」が7つ存在する.
\begin{align}
a &: \{2,4,6\}\\
b &: \{1,4,5\}\\
c &: \{3,4,7\}\\
d &: \{1,2,3\}\\
e &: \{2,5,7\}\\
f &: \{1,6,7\}\\
g &: \{3,5,6\}
\end{align}
これらの直線たちの集合を\(L=\{a,b,c,d,e,f,g\}\)とする.

 これが射影平面の公理を満たしていることを見よう.

  • 2点\(1,2\)は直線\(d\)にのみともに含まれる.
  • 2直線\(a,b\)は点\(4\)のみを共有する.
  • \(P\backslash a = \{1,3,5,7\}\)は, 「どの3つをとっても同じ直線にのっていない」4点の例である.
  • \(L\backslash \{b,d,f\} = \{a,c,e,g\}\)は, 「どの3つをとっても同じ点をのせていない」4直線の例である.

証明にはなっていないが, うまくいっていそうなことはこれでだいたい分かる.

 ちなみに7の平方剰余である\(\{1,2,4\}\)に, 7を法としてそれぞれ1ずつ加えていくことでもファノ平面は得られる(ラベル付けは異なる).
\begin{align}
\begin{array}{c}
\{1,2,4\}\\
\{2,3,5\}\\
\{3,4,6\}\\
\{0,4,5\}\\
\{1,5,6\}\\
\{0,2,6\}\\
\{0,1,3\}
\end{array}
\end{align}
(では上の図で採用したラベル付けはどうすれば得られるかというと, この後分かる.)

 ファノ平面の自己同型群が\(PSL(2,7)\)と同型になるという驚くべき事実が本記事の主題である.


ファノ平面の自己同型群とは

 まず「ファノ平面の自己同型群」とは何か. 暗黙の裡に7点集合\(P\)に対して置換としてはたらく群であることは仮定されている. その中でも, 「直線」の集合\(L\)を変えないものの全体に「ファノ平面の自己同型群」としての資格が与えられる.
 たとえば,\sigma = (12) (置換の巡回記法を使う)はどうか. 「直線」たちがどう変化するか見よう. 置換は「点」のそれぞれに作用するとして,

 \begin{align}
     \sigma(a) &= \{1,4,6\}\not\in L\\
     \sigma(b) &= \{2,4,5\}\not\in L\\
     \sigma(c) &= c\\
     \sigma(d) &= d\\
     \sigma(e) &= \{1,5,6\}\not\in L\\
     \sigma(f) &= \{2,6,7\}\not\in L\\
     \sigma(g) &= g
 \end{align}

\(L\)が\(L\)自身に移らないためこれはだめ.
 では\tau = (12)(56)ではどうか.

\begin{align}
     \tau(a) &= \{1,4,5\} = b\\
     \tau(b) &= \{2,4,6\} = a\\
     \tau(c) &= \{3,4,7\} = c\\
     \tau(d) &= \{2,1,3\} = d\\
     \tau(e) &= \{1,6,7\} = f\\
     \tau(f) &= \{2,5,7\} = e\\
     \tau(g) &= \{3,6,5\} = g.
 \end{align}

今度はうまくいった. \tauは\(L\)への作用としては\((a\,b)(e\,f)\)であることも分かった.

 しかし生のままの集合はいかにも扱いにくい. 求められる「構造」が集合と分離して記述されているところが厄介. 何か, 集合に対して構造が自然にコードされるような方法があると嬉しい.


2元体で考える

 そこで役に立つのが2元体\(\mathbb{F}_2\)である. 2元体上の3次元ベクトル空間\(\,(\mathbb{F}_2)^3\)にはファノ平面の構造が備わっているのである.
 まず\(\,(\mathbb{F}_2)^3\)の非零ベクトルは,
\begin{gather}
{\bf 1} = \left(\!\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\!\right),\
{\bf 2} = \left(\!\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\!\right),\
{\bf 3} = \left(\!\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\!\right),\
{\bf 4} = \left(\!\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\!\right),\\
{\bf 5} = \left(\!\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\!\right),\
{\bf 6} = \left(\!\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\!\right),\
{\bf 7} = \left(\!\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\!\right)
\end{gather}
の\(2^3-1=7\)つ. \(xyz\)の順に並べて2進法で読むとそれぞれの数に対応するようになっている.
これらが「点」である. では「直線」は何かというと, \(\,(\mathbb{F}_2)^3\)に含まれる2次元部分空間から零ベクトルを除いた部分集合である. \(\,(\mathbb{F}_2)^3\)の要素を\(\,(x,y,z)^T\)で表すと, そのような部分集合は次の7つ.
\begin{align}
\begin{array}{ccc}
a = \{010,100,110\} = \{\bf{2,4,6}\}\ :&z = 0\\
b = \{001,100,101\} = \{\bf{1,4,5}\}\ :&y = 0\\
c = \{011,100,111\} = \{\bf{3,4,7}\}\ :&y+z = 0\\
d = \{001,010,011\} = \{{\bf 1,2,3}\}\ :&x = 0\\
e = \{010,101,111\} = \{{\bf 2,5,7}\}\ :&x+z = 0\\
f = \{001,110,111\} = \{{\bf 1,6,7}\}\ :&x+y = 0\\
g = \{011,101,110\} = \{{\bf 3,5,6}\}\ :&x+y+z=0
\end{array}
\end{align}
 \(\,(\mathbb{F}_2)^3\)に舞台を移すことの利点は次の事実にある:

 \(P\)の置換がこのファノ平面の自己同型写像であるとき, それは 正則線形変換でなくてはならない.

 これを説明する. 勝手な異なる2つの「点」 \(u,v\in P\)に対して,

\begin{align}
    \ell = \{u,v,u+v\}
\end{align}

は「直線」であり\(L\)に含まれる. \sigmaがファノ平面の自己同型写像であるとき,

\begin{align}
    \sigma(\ell) = \{\sigma(u),\sigma(v),\sigma(u+v)\}
\end{align}

はまた「直線」でなくてはならないため,

\begin{align}
    \sigma(u)+\sigma(v) = \sigma(u+v)
\end{align}

が成り立っている. 零ベクトルは零ベクトルに移るものと決めてやると, これは正則線形変換であることを意味する*1. 逆に正則線形変換ならファノ平面の自己同型写像となることも同じように分かる. 従って, \(\,(\mathbb{F}_2)^3\)の中にあるファノ平面の自己同型群は正則変換の全体, すなわち一般線形群\(GL(3,2)\)なのである. GLはGeneral Linear, 3は次元, 2は2元体の2.

 この群に含まれる3×3行列を数えよう.

 1行目と2行目には\(P\)から異なる2つのベクトル\(u,v\)を取る. 3行目には\(u,v,u+v\)以外のベクトルを\(P\)から取る. 従ってその数は,
\begin{gather}
7\cdot 6 \cdot(7-3) = 168. \\
\therefore |GL(3,2)| = 168.
\end{gather}
 ファノ平面の自己同型群が\(GL(3,2)\)であることは分かった. では\(PSL(2,7)\)がファノ平面の自己同型群であるとはどういうことか. これは
\begin{align}
PSL(2,7)\cong GL(3,2)
\end{align}
という同型対応が成り立つということに他ならない[2,3].


PSL(2,7)

 しかし思い出してほしい. \(PSL(2,7)\)は7元体上の射影直線\(P^1(\mathbb{F}_7)\)に対して作用するのだった.
\begin{align}
P^1(\mathbb{F}_7) = \{0,1,2,3,4,5,6,\infty\}
\end{align}
 点の数は0から6に無限遠点をくわえて8つである. 7つではない. ところが\(PSL(2,7)\)は7次交代群の部分群なのである.
\begin{align}
PSL(2,7)\subset Alt(7)
\end{align}
 7点に対する置換としてはたらくことができるということ. 実はこれはかなり例外的な現象であって, 素数\(p\)について, 次の事実が知られている[4,5].
\begin{align}
PSL(2,p)\left\{
\begin{array}{cc}
\cong Sym(3) & p=2\\
\cong Alt(4) & p=3\\
\cong Alt(5) & p=5\\
\subsetneq Alt(p) & p=7,11\\
\not\subset Alt(p) & p\geq 13
\end{array}
\right.
\end{align}
13以上の素数\(p\)に対して, \(PSL(2,p)\)は\(p\)点に対して非自明な置換として作用できないということ. これはガロアの最後の手紙に書かれていたことであった[6,7].

\(p=5,7,11\)のときこういう現象が起きることは次の事実からきている.
\begin{align}
\mathcal{T} &\subset PSL(2,5),\ \ |PSL(2,5):\mathcal{T}| = 5\\
\mathcal{O} &\subset PSL(2,7) ,\ \ |PSL(2,7):\mathcal{O}| = 7\\
\mathcal{I} &\subset PSL(2,11),\ \ |PSL(2,11):\mathcal{I}| = 11
\end{align}
\(\mathcal{T,O,I}\)はそれぞれ正4面体群, 正8面体群, 正20面体群. これら指数\(p\)の「例外的に大きな」部分群に対する共役による作用が, \(p\)点の置換になるのである.

 一方, \(p\geq 13\)の場合には指数\(p\)以下の部分群はそれ自身以外には存在しないためこういうことが起こらない.

 では, 正多面体群が含まれるのはなぜか. そのよい説明は四元数を利用することで与えられる.


有限体係数の四元数

 \mathbb{F}_p\ (p:\mbox{奇素数})上の2次正方行列は,\(\mathbb{F}_p\)係数の四元数と同一視できる. つまり次の性質を満たす都合の良い基底\(\langle{\bf 1,i,j,k}\rangle\)が存在する.
\begin{gather}
{\bf i}^2 = {\bf j}^2 = {\bf k}^2 = -{\bf 1}\\
{\bf i}{\bf j} = -{\bf j}{\bf i} = {\bf k},\ \
{\bf j}{\bf k} = -{\bf k}{\bf j} = {\bf i},\ \
{\bf k}{\bf i} = -{\bf i}{\bf k} = {\bf j}.
\end{gather}
\({\bf 1}\)は単位行列. これらは具体的に次のようにとることができる.

――\(\mathbb{F}_p\)上――
\begin{align}
{\bf i} =
\begin{pmatrix}
\beta & \alpha\\
\alpha & -\beta
\end{pmatrix},\
{\bf j} =
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\
{\bf k} =
\begin{pmatrix}
\alpha & -\beta\\
-\beta & -\alpha
\end{pmatrix}.
\end{align}
ただし, \(\alpha^2+\beta^2 = -1, \alpha\neq \beta\).
 \(p\equiv 1\mod 4\)なら-1が平方剰余であるため\(\beta=0\)にとることができる. \(p\equiv -1\mod 4\)の場合でもこのような\(\alpha,\beta\)は必ず存在する. 基底をこのようにとると,
\begin{align}
M = t\,{\bf 1} + x\,{\bf i} + y\,{\bf j} + z\,{\bf k}
\end{align}
に対して,
\begin{gather}
\det(M) = t^2+x^2+y^2+z^2\\
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} (t\,{\bf 1} - x\,{\bf i} - y\,{\bf j} - z\,{\bf k})
\end{gather}
等が成り立ちとても嬉しい.

 ここで\(\mathbb{C}\)上の場合を思い出そう. ここから\(\mathbb{C}\)↓

――\(\mathbb{C}\)上――
\begin{align}
{\bf i} =
\begin{pmatrix}
0 & -\sqrt{-1}\\
-\sqrt{-1} & 0
\end{pmatrix},\
{\bf j} =
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\
{\bf k} =
\begin{pmatrix}
-\sqrt{-1} & 0\\
0 & -\sqrt{-1}
\end{pmatrix}.
\end{align}
とすると,
\begin{align}
SU(2)=\{t\,{\bf 1} + x\,{\bf i} + y\,{\bf j} + z\,{\bf k}\mid t^2+x^2+y^2+z^2=1,\ t,x,y,z\in\mathbb{R}\}
\end{align}
であった. そしてこの中に2項正多面体群が含まれる. 2項正20面体群について述べた以下の記事参照.

球面調和関数で正20面体をつくる(4) - 2項正20面体群とマッカイ対応 - Shironetsu Blog

 いまは正8面体だけに注目する. 基底\(\langle{\bf 1,i,j,k}\rangle\)に対して,次の\(48=2\cdot24\)本のベクトルが2項正8面体群\(\widetilde{O}\)をなすのだった.
\begin{gather}
(\pm 1,0,0,0),\ (0,\pm 1,0,0),\ (0,0,\pm 1,0),\ (0,0,0,\pm 1),\\
(\pm\sqrt{\frac{1}{2}},\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0,0),\
(\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0),\
(\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0,0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}}),\\
(0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}},\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0),\
(0,0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}},\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0),\
(0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}},0,\pm\sqrt{\frac{1}{2}}),\\
(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}).
\end{gather}
これらのうち\(-1\)倍で移り合うものを同一視すれば正8面体群になる.

 ここまで\(\mathbb{C}\)↑.

 \(p=7\)の場合に絞って\(\mathbb{F}_7\)の場合に戻ろう. \(2^2+3^2=-1\)から\(\alpha=2,\beta=3\)をとることができるので,
\begin{align}
{\bf i} =
\begin{pmatrix}
3 & 2\\
2 & -3
\end{pmatrix},\
{\bf j} =
\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\
{\bf k} =
\begin{pmatrix}
2 & -3\\
-3 & -2
\end{pmatrix}.
\end{align}
を基底に取ればよい. \(\mathbb{F}_7\)においては\(\pm\sqrt{1/2} = \pm 2 \)であったことに注意すると, 次の組み合わせで2項正8面体群が\(SL(2,7)\)内に作られる.
\begin{gather}
(\pm 1,0,0,0),\ (0,\pm 1,0,0),\ (0,0,\pm 1,0),\ (0,0,0,\pm 1),\\
(\pm 2,\pm 2,0,0),\ (\pm 2,0,\pm 2,0),\ (\pm 2,0,0,\pm 2),\\
(0,\pm 2,\pm 2,0),\ (0,\pm 2,0,\pm 2),
(0,0,\pm 2,\pm 2),\\
(\pm 3,\pm 3,\pm 3,\pm 3)
\end{gather}
中心で割ると, つまりプラスマイナスを同一視すると正8面体群になる. これが\(PSL(2,7)\)の部分群として存在する正8面体群である.

  • \(PSL(2,7)\)は正8面体群を部分群に持つ.
  • この部分群は位数24, 指数\(168/24=7\)である.
  • \(PSL(2,7)\)は単純群,7は素数であるため共役部分群は7つある.
  • この正8面体群に同型な共役部分群たちの置換として\(PSL(2,7)\)は7点に推移的に作用する.

 かくして\(PSL(2,7)\subset Alt(7)\)が示された*2.


ファノ平面を探す

 しかしファノ平面はどこへ? 7点に推移的に作用することは分かったものの, 「ファノ平面の自己同型群」であることは出てこなかった. 射影平面の構造はどこに備わっているのか? 何が射影平面上の「直線」に対応するのだろう?

 ファノ平面を見つけ出すため, \(SL(2,7)\)の部分群として組み立てられた2項正8面体群に違う見方を与えてみよう.

 そもそも正8面体群とはなんであったか. 正8面体の対角線の自己同型写像となるような回転の全体である.

 \(SU(2)\)でそうであったように, \(SL(2,p)\)は\(\langle{\bf i,j,k}\rangle\)の張る3次元部分空間\(V\)に対して, 共役によって直交変換として作用する. \(V\)はトレースレスの行列全体であるから, \(M\in SL(2,p)\)に対して,
\begin{gather}
A\in V \Rightarrow MAM^{-1} \in V.\\
\because {\rm tr}(MAM^{-1}) = {\rm tr}(A) = 0.
\end{gather}
また, \(V\)の内積を,
\begin{gather}
(A,B) = -\frac{1}{2}{\rm tr}(AB) = xp+yq+zr,\\
A = x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k},\
B = p\,{\bf i}+q\,{\bf j}+r\,{\bf k}.
\end{gather}
によって決めると,
\begin{align}
(MAM^{-1},MBM^{-1}) = -{\rm tr}(MAM^{-1}MBM^{-1}) = -{\rm tr}(AB) = (A,B).
\end{align}
よって共役による作用は直交変換である.

 この内積のもとで, \(\langle{\bf i,j,k}\rangle\)は\(V\)の正規直交基底となる. そして, 「正8面体の3本の対角線」\(\{\pm{\bf i},\pm{\bf j},\pm{\bf k}\}\)の自己同型写像となるような\(SL(2,7)\)の部分群が2項正8面体群である.

f:id:shironetsu:20190312220311p:plain:w400

 ではこの2項正8面体群に含まれない\(SL(2,7)\)の元による作用はどこへ行くのか? 共役による変換を
\begin{align}
{\bf i}' &= M{\bf i}M^{-1},\\
{\bf j}' &= M{\bf j}M^{-1},\\
{\bf k}' &= M{\bf k}M^{-1}
\end{align}
とすると,\({\bf i}' ,{\bf j}' ,{\bf k}' \)は相変わらず四元数の規則を満たし, 順に正規直交基底をなす. 軌道-固定点定理から分かるように, もとの\(\{\pm{\bf i},\pm{\bf j},\pm{\bf k}\}\)を含めて7通りの「正8面体の3本の対角線」に移る.

 ここで順に次の観察を行おう.

問題1. \(V\)は単位ベクトルをいくつ含むか?

答え:42本. \(x^2+y^2+z^2=1\)の解を数えればよい.
 42本……!
\((x,y,z)\)と\((-x,-y,-z)\)を同一視すれば21組.0 このプラスマイナスを同一視した組を「対角線」と呼ぶことしよう.
21といえば\(7\cdot 6/2\)である. ひょっとするとプラスマイナスを同一視した単位ベクトルたちを, 7点集合の2点部分集合と対応付けられるかもしれない.

問題2. \(V\)は「正8面体の3本の対角線」をいくつ含むか.

答え:14こ. 「対角線」はプラスマイナスのうち片方だけを書くことにして以下に列挙する.
\begin{align}
1 &: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\\
2 &: (2, 0, 5), (3, 2, 3), (3, 5, 3)\\
3 &: (2, 0, 2), (3, 2, 4), (3, 5, 4)\\
4 &: (0, 2, 2), (2, 3, 4), (2, 4, 3)\\
5 &: (0, 2, 5), (2, 3, 3), (2, 4, 4)\\
6 &: (2, 2, 0), (3, 4, 2), (3, 4, 5)\\
7 &: (2, 5, 0), (3, 3, 2), (3, 3, 5)\\
8 &: (2, 4, 3), (3, 4, 2), (3, 5, 3)\\
9 &: (0, 2, 2), (0, 2, 5), (1, 0, 0)\\
10 &: (2, 3, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 5)\\
11 &: (0, 1, 0), (2, 0, 2), (2, 0, 5)\\
12 &: (2, 3, 3), (3, 2, 3), (3, 3, 2)\\
13 &: (0, 0, 1), (2, 2, 0), (2, 5, 0)\\
14 &: (2, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 5, 4)
\end{align}
 この3つ組が決まればそのまま正8面体が作られるので, もう「正8面体の3本の対角線」をそのまま「正8面体」と呼んでしまおう. 「正8面体」は14個存在するのである. しかし\(SL(2,7)\)の作用で移り合った「正8面体」は7個なのであった. ちょうど半分. 「正8面体」たちをじっと睨むと, どの「対角線」もちょうど2つの「正8面体」に入っていることが分かる.

 この関係を図にまとめよう. 「対角線」を頂点に配した3角形を「正8面体」として……

f:id:shironetsu:20190312220519p:plain:w600

 このようになる. 上の番号8…14をa…fに置き換えた. 実は1…7が\(SL(2,7)\)の共役による作用で移り合う7個の「正8面体」なのである. 対してa…fもそれぞれ同じ作用で移り合う. 1…7とa…fは混ざらない.

 頂点:「対角線」どうしは直交すれば結ばれ, そうでなければ結ばれない, という関係があるためこのグラフ的性質は直交変換によって崩れない. 青の三角形(1…7)はちょうど3つの赤の三角形(a…f)とのみ接し, また赤の三角形はちょうど3つの青の三角形とのみ接する. 青の三角形を「点」, 赤の三角形を「直線」とみなせば, これはまさにファノ平面の性質だ.

 グラフとして取り出すと下図のようになる.

f:id:shironetsu:20190313161719p:plain:w600

 このグラフには5色定理の証明で有名な数学者Percy John Heawoodにちなんでヒーウッドグラフの名が付いている.

 Heawood graph - Wikipedia

 ただし今は2-彩色されている. 無色であれば自己同型群はPGL(2,7) だが, 彩色されることでその対称性は半分, \(PSL(2,7)\)になる.

 ようやく明らかになった. ファノ平面はここに入っていたのだ. 「対角線」は7点集合の2点ではなく, 「点」とそれをのせている「直線」のペア21個に対応するのである. 上の図の「対角線」は頂点を共有する2つの三角形, 「点」と「直線」から指定することができて, 次のようになる:
\begin{align}
\begin{array}{ccc}
1b : (1,0,0) &
1d : (0,1,0) &
1f : (0,0,1)\\
2a : (3,5,3) &
2d : (2,0,5) &
2e : (3,2,3)\\
3c : (3,2,4) &
3d : (2,0,2) &
3g : (3,5,4)\\
4a : (2,4,3) &
4b : (0,2,2) &
4c : (2,3,4)\\
5b : (0,2,5) &
5e : (2,3,3) &
5g : (2,4,4)\\
6a : (3,4,2) &
6f : (2,2,0) &
6g : (3,4,5)\\
7c : (3,3,5) &
7e : (3,3,2) &
7f : (2,5,0)
\end{array}
\end{align}
同じ数字, またはアルファベットの「対角線」3つを集めれば「正8面体」となり, 逆に「正8面体」は必ずそのような組み合わせから作られる.

 これを使うと, \(PSL(2,7)\)とファノ平面上の置換の生成元の対応は以下のように計算できる.
\begin{align}
\begin{bmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{bmatrix}
&\mapsto (45)(67)=(a\,e)(c\,g)\\
\begin{bmatrix}
1&1\\
0&1
\end{bmatrix}
&\mapsto (1645372) = (a\,b\,g\,c\,e\,d\,f)\\
\begin{bmatrix}
3&0\\
0&5
\end{bmatrix}
&\mapsto (154)(267)=(a\,f\,e)(c\,d\,g)
\end{align}
共役類と置換の型の対応関係を見るためにもうひとつだけ.
\begin{align}
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&= \begin{bmatrix}
1&1\\
0&1
\end{bmatrix}^3
\begin{bmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{bmatrix}\\
&\mapsto(1573)(24)=(b\,e\,c\,d)(f\,g)
\end{align}

 こうして\(PSL(2,7)\)はファノ平面の自己同型群として7次交代群に埋め込まれた.


ふたたびGL(3,2)

 逆に, 7点に作用していた\(GL(3,2)\)を8点に推移的に作用させるにはどうすればよいか?これは以前の記事でやったことがヒントになる.

なぜ8次交代群は2元体上の4×4一般線形群と同型か - Shironetsu Blog

 28個の行列を8点集合の2点部分集合に対応させる, というアイデアは共通だがその構造はかなり異なっていて, 以下のようになる*3.

 \(GL(3,2)\)は対称行列を28個含む. この空間を,
\begin{align}
\mathcal{S} = \{X\in GL(3,2) \mid X^T = X\}
\end{align}
とする. \(GL(3,2)\)は,
\begin{gather}
\rho_A : X \mapsto AXA^T,\\
A\in GL(3,2),\ X\in \mathcal{S}
\end{gather}
によって\(X\)に作用し, これは推移的である.

\(\mathcal{S}\)は次のように表される部分集合をちょうど8個もつ.
\begin{align}
\{U,\ V,\ W,\ U+V,\ V+W,\ U+W,\ U+V+W\}
\end{align}
ファノ平面である. これらの「ファノ平面」に1から8まで番号を振ると, \(\mathcal{S}\)の元はちょうど2つのファノ平面に含まれるため, duad:8点集合の2点部分集合に対応付けられる. たとえば次の通り:
\begin{align}
12 &: \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
&
13 &: \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0
\end{pmatrix}
&
14 &: \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}
&
15 &: \begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\\
16 &: \begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&0&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
&
17 &: \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
&
18 &: \begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&1&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
&
23 &: \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
\\
24 &: \begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
&
25 &: \begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}
&
26 &: \begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&1&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
&
27 &: \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
\\
28 &: \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&0&1\\
1&1&0
\end{pmatrix}
&
34 &: \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
&
35 &: \begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&1&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
&
36 &: \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&0&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}
\\
37 &: \begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
&
38 &: \begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
&
45 &: \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
&
46 &: \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\\
47 &: \begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&1&1\\
1&1&0
\end{pmatrix}
&
48 &: \begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
&
56 &: \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&1\\
1&1&0
\end{pmatrix}
&
57 &: \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\\
58 &: \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&0&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
&
67 &: \begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
&
68 &: \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
&
78 &: \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}
\end{align}


指標表

 ここまで見てしまうと指標を計算するのは容易い. \(n\)次対称群の\(n-1\)次元既約表現に埋め込むと, 指標は\(\mbox{固定点の数}-1\)であったことに注意すると, 次のようになる:

\begin{align}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
         \mbox{代表元} 
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&0\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
        & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         0&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         3&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         \\ \hline
         \mbox{位数}
         & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & 4
         \\ \hline
         \sharp\mbox{共役類}
         & 1 & 21 & 56 & 24 & 24 & 42
         \\ \hline
         \mbox{置換の型}(Alt(7))
         & \lbrack 1^7\rbrack & \lbrack 1^3\,2^2\rbrack& \lbrack 1\,3^2 \rbrack& \lbrack 7 \rbrack& \lbrack 7 \rbrack& \lbrack 1\,2\,4\rbrack \\ \hline
         \mbox{指標(6次元)}
         & 6 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ \hline
         \mbox{置換の型}(Alt(8))
         & \lbrack 1^8\rbrack & \lbrack 2^4 \rbrack& \lbrack 1^2\,3^2 \rbrack& \lbrack 1\,7\rbrack & \lbrack 1\,7 \rbrack& \lbrack 4^2\rbrack\\ \hline
         \mbox{指標(7次元)}
         & 7 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ \hline
    \end{array}
\end{align}

6次元と7次元の既約表現の指標が得られた. 前回の分もまとめると, 指標表全体は次のようになる.

\begin{align}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
         \mbox{代表元} 
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&0\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
        & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         0&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         3&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         \\ \hline
         \mbox{位数}
         & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & 4
         \\ \hline
         \sharp\mbox{共役類}
         & 1 & 21 & 56 & 24 & 24 & 42
         \\ \hline
         {\bf 1}
         & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
         {\bf 3} 
         & 3 & -1 & 0 & \sigma & \overline{\sigma} & 1\\ \hline
         \overline{{\bf 3}}
         & 3 & -1 & 0 & \overline{\sigma} & \sigma & 1\\ \hline
         {\bf 6}
         & 6 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ \hline
         {\bf 7}
         & 7 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ \hline
         {\bf 8}
         & 8 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\ \hline
    \end{array}\\
    \sigma = \frac{-1+\sqrt{-7}}{2}
\end{align}


まとめとこれから

「ファノ平面の自己同型群」として\(GL(3,2)\), \(PSL(2,7)\)が7点集合にどのように作用するか調べた. 有限体上の2次正方行列に四元数の構造が入っていること, \(PSL(2,7)\)が正8面体群を部分群に持つことから, \(PSL(2,7)\)が作用するファノ平面を発見した.
 \(PSL(2,11)\)を調べるための指針は立った. これは正20面体群を部分群に持つ. それだけではなく, マシュー群\(M_{11},M_{12}\)がすぐそばにあり, 幾何学的にかなり奇妙な構造が見えてくる.
 ところで八元数の自己同型群である\(G_2\)は\(SU(3)\)を部分群として持っていて, \(SU(3)\)はファノ平面の自己同型群である\(PSL(2,7)\)を部分群に持つ, という事実がちょっと気になっている. 何か深い意味はあるのかないのか.


リファレンス

[1] John Baez, "The Octonions" Chap.3 "Octonionic Projective Geometry", 2001
Octonionic Projective Geometry

[2]Brown, Ezra, and Nicholas Loehr. "Why is PSL (2, 7)≅ GL (3, 2)?.", 2009, The American Mathematical Monthly 116.8 : 727-732.
https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.4169/193009709X460859?casa_token=StnQGLFSFN4AAAAA:AaKyM_fKhplEnuXBFlODwnrVZhqafiogQZ5jWIMJGCBseL7WHxWRjS_-lbgJ3lKQ8OyOwoKXlE9Bmg
8元体上の変換としてPSL(2,7)からの準同型写像をエレガントに構成した論考.

[3] Philippe Caldero, and Jérôme Germoni. “Equilateral Triangles and the Fano Plane.” The American Mathematical Monthly, vol. 123, no. 8, 2016, pp. 789–801.
http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/caldero-germoni.pdf
 後になって見つけたが本質的な部分で本記事とかなり似ている気がする. 複素平面とのアナロジーで有限体上に「正三角形」を考えられるという.
 シュタイナーシステム, Heawood graphからの観点も.

[4] Kostant, B., "The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois." , 1995, Notices of the AMS, 42(9), 959-968.
https://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf

[5] 橋本義武 "クライン「正20面体と5次方程式」を読む", 2006
https://web.archive.org/web/20061002162030/http://math01.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/Klein.pdf

[6] Galois' last letter – neverendingbooks
http://www.neverendingbooks.org/galois-last-letter

[7] https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100

*1:2元体上ではスカラー倍は0か1しかないこと, 1+1=0となることに注意.

*2:単純群であるため奇置換は含まない.

*3:これを見つけるために次のようなことをした. まず\(GL(3,2)\)の位数21の部分群\(H\)を見つける. \(H\)による作用でちょうど軌道が8つとなるような\(\mathcal{S}\)の元を見つける.

PSL(2,7)指標表手作り体験記(1) 3,3,8次元既約表現

イントロ:ある行列と群

問題:次の形の行列{A}が2乗すると単位行列になるための条件は何か?
\begin{align}
A =
\begin{pmatrix}
\lambda & \nu & \mu\\
\nu & \mu & \lambda\\
\mu & \lambda & \nu
\end{pmatrix} \in SL(3,\mathbb{C})
\end{align}

答え:実際に2乗すると,
\begin{gather}
A^2 =
\begin{pmatrix}
p & q & q\\
q & p & q\\
q & q & p
\end{pmatrix},\\
p = \lambda^2 + \mu^2 +\nu^2,\ q = \lambda\mu + \mu \nu + \nu\lambda,
\end{gather}また,
\begin{align}
\det(A) = 3\lambda \mu \nu-\lambda^3-\mu^3-\nu^3 = (\lambda+\mu+\nu)(q-p)
\end{align}
から, \(\lambda +\mu + \nu=-1,\ \lambda\mu+\mu\nu+\nu\lambda=0\)であればよい.\(\lambda \mu\nu=r\)とすると,これは\(\lambda,\mu,\nu\)が
\begin{align}
t^3+t^2-r=0
\end{align}
の根となることと同値. (終)

 \(r=0\)の場合は簡単.\(t=0,0,-1\)である. そして,
\begin{align}
(34)\mapsto \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&0&-1\\
0&-1&0
\end{pmatrix},\
(234)\mapsto \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{pmatrix},\
(13)(24)\mapsto \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align}
によって4次対称群の3次元既約表現, 正8面体群が生成される.

 さらに\(r = 1/8\)の場合もよく知っている. \(t=1,-\phi/2, \phi^{-1}/2\). ただし,\(\phi\)は\(s^2-s-1=0\)の正根で,
\begin{align}
\phi &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 2\cos\frac{\pi}{5}\\
\phi^{-1} &= \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 2\cos\frac{2\pi}{5}.
\end{align}
これを使うと, 以下の対応で5次交代群の3次元既約表現, 正20面体群が生成される.
\begin{align}
(12)(34)\mapsto \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-1&\phi^{-1}&-\phi\\
\phi^{-1}&-\phi&-1\\
-\phi&-1&\phi^{-1}
\end{pmatrix},\
(345)\mapsto \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{pmatrix},\
(23)(45)\mapsto \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
\end{align}
 これから注目するのは\(r=1/7\)の場合. 3つの解が1の7乗根によって表される.
 まず\tauを1の原始7乗根とする.すなわち,

\begin{align}
    \tau+\tau^2+\tau^3+\tau^4+\tau^5+\tau^6 = 1.
\end{align}

\sigma = \tau+\tau^2+\tau^4とする(1,2,4は7の平方剰余である)と,

\begin{align}
    \sigma^2 &= \tau^2+\tau^4+\tau^8 + 2(\tau^3+\tau^6+\tau^5)\\
             & = \sigma + 2(-\sigma-1)\\
             &=-\sigma -2\\
    \therefore \sigma &= \frac{-1\pm\sqrt{-7}}{2}.
\end{align}

複号は\(+\)のほうをとることにすると,

\begin{align}
    \sigma &= \tau + \tau^2+\tau^4 = \frac{-1+\sqrt{-7}}{2},\\
    \overline{\sigma} &= \tau^6 + \tau^5 + \tau^3 = \frac{-1-\sqrt{-7}}{2}.
\end{align}

いま,

\begin{align}
    \lambda = \frac{\tau^6-\tau}{\sqrt{-7}},\ 
    \mu = \frac{\tau^5-\tau^2}{\sqrt{-7}},\ 
    \nu = \frac{\tau^3-\tau^4}{\sqrt{-7}}
\end{align}

とすると, これらは上の関係を満たす:

\begin{gather}
    \lambda+\mu+ \nu = \frac{\overline{\sigma}-\sigma}{\sqrt{-7}}=-1,\\
    \lambda \mu+\mu \nu + \nu\lambda = 0.
\end{gather}

そして,

\begin{align}
    \lambda \mu \nu = \frac{\overline{\sigma}-\sigma}{\sqrt{-7}^3} = \frac{1}{7}.
\end{align}

 \(r=1/7\)のとき, この\lambda,\mu,\nuが\(t^3+t^2-r=0\)の解となっていることが分かった.

 さて, こんな行列の何が面白いかというと, 今度は

\begin{align}
    A=\begin{pmatrix}
        \lambda & \nu & \mu\\
        \nu & \mu & \lambda\\
        \mu & \lambda & \nu
    \end{pmatrix},\ 
    B=\begin{pmatrix}
        0 & 1 & 0\\
        0 & 0 & 1\\
        1 & 0 & 0
    \end{pmatrix},\ 
    C=\begin{pmatrix}
        \tau & 0 & 0\\
        0 & \tau^2 & 0\\
        0 & 0 & \tau^4
    \end{pmatrix}
\end{align}

によって\(PSL(2,7)\)の3次元既約表現が生成されるのだ[1].

 有限素体上の射影特殊線形群\(PSL(2,p)\)に関する基本的な性質は以下の記事を参照.
小さな非可換単純群 - PSL(2,p) - Shironetsu Blog


3次元既約表現

試み : C^3への作用

 このことはどう理解できるだろう?\(\mathbb{C}^3\)に住む何かに作用していると嬉しい. 計算してみよう.
 まず, \(A,B,C\)の位数はそれぞれ2,3,7である.
\begin{align}
A^2 = B^3 = C^7 ={\bf 1}.
\end{align}
簡単に確認できる関係としては,
\begin{align}
AB^k = B^{2k}A,\ \
BC^k = C^{2k}B,\ \
(BC^k)^3 = {\bf 1},\ \
k\in \mathbb{N}
\end{align}
がある. また, 次の関係を列挙しておく.

\begin{align}
    \tau \lambda + \tau^2 \mu + \tau^4 \nu &= \overline{\sigma}\\
    \tau^2 \lambda + \tau^4 \mu + \tau \nu &= 1\\
    \tau^4 \lambda + \tau \mu + \tau^2 \nu &= 0\\
    \tau \lambda + \tau^4 \mu + \tau^2 \nu &= \sqrt{-7}\,\tau^6 \nu^2 =: \xi\\
    \tau^4 \lambda + \tau^2 \mu + \tau \nu &= \sqrt{-7}\,\tau^5 \lambda^2 =: \eta\\
    \tau^2 \lambda + \tau \mu + \tau^4 \nu &= \sqrt{-7}\,\tau^3 \mu^2 =: \zeta.
\end{align}

これらをつかって次のベクトルへの作用を考えよう.
\begin{align}
u = \left(\!\begin{array}{cc}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\!\right).
\end{align}
\(u\)は\(A,B\)の固有ベクトルである. Au = -u,\ \ Bu = u.

 まず,
\begin{gather}
C^2u = BCu,\
C^3u = B^2 \overline{Cu},\\
C^4u = B^2Cu,\
C^5u = B\overline{Cu},
C^6u = \overline{Cu}
\end{gather}
が分かる. 次に,

\begin{align}
    ACu = \left(\!\begin{array}{cc}
         \xi \\
         \eta \\
         \zeta
    \end{array}\!\right)
    =: v
\end{align}

と定義すると,

\begin{align}
    ACv &= 
            \sqrt{-7}\,\left(\!\begin{array}{cc}
                  \lambda \nu^2 + \nu\lambda^2 + \mu^3\\
                 \nu^3 + \lambda^2\mu + \lambda\mu^2 \\
                 \mu\nu^2 + \lambda^3 + \mu^2\nu
            \end{array}
            \!\right)\\
          &=
            \sqrt{-7}\,\left(\!\begin{array}{cc}
                  -2\mu^2-\mu \\
                  -2\nu^2-\nu \\
                  -2\lambda^2-\lambda
            \end{array}
            \!\right)\\
          &=
            -2\left(\!\begin{array}{cc}
                  \tau^4 \zeta \\
                  \tau \xi \\
                  \tau^2 \eta
            \end{array}
            \!\right)
            -\left(\!\begin{array}{cc}
                  \tau^5 \\
                  \tau^3 \\
                  \tau^6
            \end{array}
            \!\right)
            +\left(\!\begin{array}{cc}
                  \tau^2 \\
                  \tau^4 \\
                  \tau
            \end{array}
            \!\right)\\
          &= -2 B^2C v - C^5 u + C^2 u.
\end{align}

 ウーーーン………

 \(A,B,C\)の生成する群が有限なら\(v\)の行き先も当然有限になるので, そのベクトルたちへの作用から何か言えることを期待したもののちょっと計算が煩雑すぎる. 168の真の約数であれば都合がよかったが,どうも168本ありそうだ. それでは勝手なベクトルに作用させるのと変わらない.

 これが正20面体群なら6本のequiangular lines(正20面体の中心を通る対角線)[3]の自己同型群であることが言えて旨味があるのだが. 振り返ってみると, このことは1本の対角線の固定化部分群が5次の2面体群\(D_5\)で, 正20面体群(ここでは5次交代群の3次元既約表現のこと)への埋め込みが不変部分空間をもつことからきていたのだった. 一方\(PSL(2,7)\)の場合, 極大部分群である位数21の非可換群*1の埋め込みとしての表現は既約となってしまう. また, 同じく極大部分群である位数24の非可換群(というのは4次対称群のことでこのことの重要性はあとでまた述べる)もまた既約.

......ということがこの方法の困難の由来だとみている.

 話はそれるがequiangular linesの自己同型群もおもしろそう[4]. 7次元では28本詰め込むことができて, その自己同型群は\(Sp(6,2)\). でかい.

群の表示

 こうなるとこだわらずに群の表示に頼るのが手っ取り早い. 実は一般に\(PSL(2,p)\)(\(p\)は奇素数)は2つの元から生成されて次の表示をもつ[5].
\begin{align}
PSL(2,p)\cong \langle S,T\mid S^p = T^2 = (TS)^3 = (S^2TS^{(p+1)/2}T)^3 = 1\rangle.
\end{align}

PSL(2,p)の生成元

 そもそも, \(PSL(2,p)\)はどのような生成元を持っていたか. いまは一次分数変換とみるのがいい. \(P^1(\mathbb{F}_7) = \mathbb{F}_7\cup\{\infty\}\)上の一次分数変換\(f(x)=(ax+b)/(cx+d)\ (ad-bc=1)\)について, 単純な式変形から次のことが分かる.
\begin{align}
f(x)
= \left\{ \begin{array}{cc}
\displaystyle{\frac{a}{c} + \frac{1}{c^2}\frac{-1}{x+d/c}} & c\neq 0 \\
a^2x+ab & c=0
\end{array}\right..
\end{align}
このことから,

\begin{align}
    f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}
         s^{a/c}\,u^{-\log_gc}\,t\,s^{d/c}& c\neq 0 \\
          s^{ab}\,u^{\log_ga} & c=0 
          \end{array}\right.
\end{align}

と表せる. ただし,
\begin{align}
s(x) = x+1,\ \
t(x) = \frac{-1}{x},\ \
u(x) = g^2 x \in PSL(2,p),
\end{align}
\(g\)は\(\mathbb{F}_7^\times\)の生成元で, \(\log\)は離散対数.

 従って\(PSL(2,p)\)は\(s,t,u\)から生成される. ところが実は\(u\)はいらないのだ. つまり\(s,t\)によって表せる. というのも,
\begin{align}
u = s^{-g}\,t\,s^{-1/g}\,t\,s^{-g}\,t
\end{align}
が成り立つため. 結局\(PSL(2,p)\)は\(s,t\)のふたつによって生成される. そしてこの\(s,t\)がそれぞれ群の表示における\(S,T\)に対応する. これを踏まえ, \(p=7\)に限定して3次行列たち\(A,B,C\)を見直す. うえの表示において,
\begin{align}
S \mapsto C^4=:\tilde{S},\ \ T\mapsto A=:\tilde{T}
\end{align}
とするとうまくいくかもしれない. まず, \(\tilde{S}^7 = \tilde{T}^2 = {\bf 1}\)だし,

\begin{align}
    {\rm Tr}(\tilde{T}\tilde{S}) =     \tau^4 \lambda + \tau \mu + \tau^2 \nu = 0 = 1+\omega + \omega^2
\end{align}

(\(\omega\)は1の原始3乗根)が成り立つ.

 根気よく計算すると,

...というのは嘘で数式処理ソフトに任せた. \tauを変数\(x\)に置き換えて\(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)の剰余をとるというやりかた. 拡大体を手軽に扱えたらいいのだけど.

\begin{align}
(\tilde{T}\tilde{S})^3 = (\tilde{S}^2\tilde{T}\tilde{S}^4\tilde{T})^3 = {\bf 1}
\end{align}
が確かめられる. 参考のため書いておくと,

\begin{align}
    \tilde{S}^2\tilde{T}\tilde{S}^4\tilde{T}
    =\frac{1}{7}
     \begin{pmatrix}
        2\tau^5+\tau^4+4\tau^3+4\tau^2 + \tau + 2 
        & -\tau^5+3\tau^3+\tau^2+\tau+3
        & \tau^5+3\tau^4-\tau^3+3\tau^2+\tau\\
        \tau^5+4\tau^4+2\tau^3+2\tau^2+4\tau+1
        & -4\tau^5-2\tau^3-3\tau^2-3\tau-2
        & -3\tau^5-2\tau^4-4\tau^3-2\tau^2-3\tau\\
        4\tau^5 + 2 \tau^4 +\tau^3 + \tau^2 +2\tau + 4
        & -2\tau^5 -\tau^3+2\tau^2+2\tau-1
        & 2\tau^5 -\tau^4 -2\tau^3 -\tau^2 + 2 \tau
     \end{pmatrix}.
\end{align}

あきらかにトレースは0. 期待した通りであった.

 論理を整理すると次のようになる.

  • まず, 行列\(A,C\)によって生成される群\(G\)は, \(S\mapsto C^4, T\mapsto A\)によって, 次の自由群\(F\):

\begin{align}
    \langle S,T\mid S^7 = T^2 = (TS)^3 = (S^2TS^4T)^3 = 1\rangle.
\end{align}

の表現となる.

  • \(F\)は\(PSL(2,7)\)と同型であり, 単純群である.
  • \(G\)は明らかに自明な群ではないため, この表現は忠実である.

 結局, 次の関係:
\begin{align}
\tilde{S}^3T\tilde{S}^5T\tilde{S}^3\tilde{T} = B
\end{align}
から, \(PSL(2,7)\)の表現として,
\begin{align}
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\mapsto A,\ \
\begin{bmatrix}
4 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}
\mapsto B, \ \
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\mapsto C
\end{align}
であったことが分かる. なおここでは角括弧\(\lbrack\rbrack\)で囲った行列は\(\pm\)を同一視する意味で使う.

指標表

 顕な表現と生成元から任意の元を表す方法を得たので指標表は簡単に書ける.

3次元既約表現の指標表
\begin{align}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
         \mbox{代表元} 
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&0\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
        & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         0&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         3&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         \\ \hline
         \mbox{位数}
         & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & 4
         \\ \hline
         \sharp\mbox{共役類}
         & 1 & 21 & 56 & 24 & 24 & 42
         \\ \hline
         \mbox{指標}
         & 3 & -1 & 0 & \sigma & \overline{\sigma} & 1\\ \hline
    \end{array}
\end{align}

 指標の2乗和について,

\begin{align}
    1\cdot 3^2 + 21 \cdot(-1)^2+56\cdot 0^2 + 24\cdot\sigma^2 24\cdot\overline{\sigma}^2 + 42\cdot 1^2
    = 168
\end{align}

から, 既約. さらに, \sigma虚数なのでこの複素共役表現は同値でない3次元既約表現.

 あまりすっきりしない. 群の表示から同型を示す方法は強力だが幾何学的ではない. しかも肝心なところで数式処理ソフトに頼らなくてはならないほど計算が複雑になってしまった.

クラインの4次曲線

 故意に無視した事実. この3次元表現は以下の式で表される\(P^2(\mathbb{C})\)上のクラインの4次曲線の自己同型群である.
\begin{align}
xy^3+yz^3+zx^3=0
\end{align}
この曲面は種数\(g=3\)で, フルヴィッツの定理により決まるリーマン面の自己同型群の位数の上限 (Hurwitz bound) \(84(g-1)=168\)を実現する, ということが起こっているらしい[6-8]. 幾何学的な本質はここにあるのだろう.


8次元既約表現

 ここまで考えてきたふたつの互いに共役な3次元既約表現は, \(SU(3)\)の部分群として実現されていた. 従って\(SU(3)\)の随伴表現として8次元表現が構成される.

 具体的な計算方法はValentiner群について調べた記事を参照. ここでは構成できることに言及するにとどめる.
ヴァレンティナー群と6次交代群の8次元表現 - Shironetsu Blog

 指標表の計算は簡単で, ふたつの互いに共役な3次元既約表現の積から1引けばよい.

8次元既約表現の指標表
\begin{align}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
         \mbox{代表元} 
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&0\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
        & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         0&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         1&-1\\
                         0&1
                         \end{bmatrix}}
         & \displaystyle{\begin{bmatrix}
                         3&-1\\
                         1&0
                         \end{bmatrix}}
         \\ \hline
         \mbox{位数}
         & 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & 4
         \\ \hline
         \sharp\mbox{共役類}
         & 1 & 21 & 56 & 24 & 24 & 42
         \\ \hline
         \mbox{指標}
         & 8 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\ \hline
    \end{array}
\end{align}

 これを見て気になることがある. 指標がすべて-1以上の整数. まるで9次対称群の8次元既約表現(\(A_8\)型ルート系のワイル群として実現)への既約な埋め込みを持つかのように見える. 指標+1=固定点の数となることと位数に整合するように置換の型を考えると次のようにそれぞれ対応付けられる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\mbox{位数}
& 1 & 2 & 3 & 7 & 7 & 4
\\ \hline
\mbox{指標+1}
& 9 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1\\ \hline
\mbox{置換の型?}
& 1^9 & 1\ 2^4 & 3^3 & 1^2\ 7 & 1^2\ 7 & 1\ 4^2\\ \hline
\end{array}
\end{align}
 しかし9点への推移的な作用は持たない. これを偶然と片付けるかどうするか.

6,7次元既約表現

残るふたつの非自明な既約表現は6,7次元である. それぞれ7,8次対称群への埋め込みから構成できる. 以前の記事でも述べた通り, 「7次対称群への埋め込みを持つ」という特殊性がこの群を一層興味深いものとしている. 詳細は次の記事にまわす.

まとめ

 \(PSL(2,7)\)は3次元既約表現をもつ. このことを, ある形を持った位数2の行列\(A\)が, \(SL(3,\mathbb{C})\)の有限部分群によく現れる*2, という事実に注目して調べ始めた.
 \(\mathbb{C}^3\)への作用を素朴に調べる方法はあまりうまくいかなかったが, 群の表示から確かに\(A,B,C\)が\(PSL(2,7)\)を生成することを見た.

リファレンス

[1] Klein, F.,Über dir Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Math. Annalen 14, 1869, 13-75.
 英訳[2]あり. On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions (translated by Silvio Levy)

[2] Levy, Silvio, ed. The eightfold way: the beauty of Klein's quartic curve. Vol. 35. Cambridge university Press, 2001.
http://library.msri.org/books/Book35/

[3] Equiangular lines - Wikipedia

[4] Lemmens, Petrus WH, Johan J. Seidel, and J. A. Green. "Equiangular lines." Geometry and Combinatorics. Academic Press, 1991, 127-145.
Equiangular lines - ScienceDirect

[5] Behr, Helmut, and Jens Mennicke. "A presentation of the groups PSL (2, p)." Canadian Journal of Mathematics 20 , 1968, 1432-1438.
A Presentation of the Groups PSL(2, p) | Canadian Journal of Mathematics | Cambridge Core

[6] John Baez, 2013 Klein's Quartic Curve

[7]Greg Egan, "Klein’s Quartic Curve" ,2005
Klein’s Quartic Curve — Greg Egan

[8] Hurwitz's automorphisms theorem - Wikipedia

*1:位数21の群は同型を除いて2つあって, ひとつは巡回群でもうひとつは非可換.

*2:もちろん位数2の3次正方行列は相似を除いてその中にひとつしかないので, 偶数位数なら必ずこのような行列を含むようにできる. いまは可能な限り「きれいに」(きわめてあいまいだが)表された場合を考える.

デレステFascinateイベントコミュのタイトルはSF小説

 VelvetRose。黒埼ちとせと白雪千夜。 2019年2月26日に突如デレステの予告に登場しあらゆる話題を掻っ攫っていった2人。

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 驚きどころには尽きないが、自分はこれで敗北してしまった。
 イベントコミュのタイトルがSF小説のタイトルから採られているのだ。

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f:id:shironetsu:20190302214345j:plain:w600

 サブタイトルにSF小説のタイトルを付けるやつに人類は勝てない……。
 それぞれの基となった小説(原著は英語だがすべて邦訳がある)を簡単にまとめる*1

オープニング "Inherit the Stars"

James P. Hogan, Inherit the Stars (1977, Del Rey Books)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/d/d8/Inherit-Stars.jpg
Giants (series) - Wikipedia

邦訳
ジェームズ・P・ホーガン(池 央耿訳)『星を継ぐもの』(1980、東京創元社
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51GMQM4MC4L._SX335_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/448866301X


第1話 "Tonight We Steal the Stars"

John Jakes, Tonight We Steal the Stars (1969, Ace Books)
http://www.isfdb.org/wiki/images/6/68/TWSTSTWW1969Both.jpg
Publication: Tonight We Steal the Stars / The Wagered World

邦訳
ジョン・ジェイクス野田昌宏訳)『今宵われら星を奪う』(1979、早川書房
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51AJa5XITwL._SX347_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/B000J8DQTU

 他のタイトルに比べて圧倒的にマイナー*2。全3作のスペースオペラのシリーズものだがひとつは未訳。ストーリーが先にあって"steal", "star"のキーワードなんかで見つけたのではないかと想像している。


第2話 "Brightness falls…"

James Tiptree Jr., Brightness Falls from the Air (1985, Tor Books)
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Brightness_Falls_from_the_Air_1st_edition.jpghttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/9/9b/Brightness_Falls_from_the_Air_1st_edition.jpg
Brightness Falls from the Air - Wikipedia

邦訳
ジェイムズ・ティプトリー・ジュニア浅倉久志訳)『輝くもの天より堕ち』(2007、早川書房
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/41zWL-qoS4L._SX354_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4150116237

 Brightness Falls というタイトルの小説もあるらしいが、SF小説縛り、知名度を考えると明らかに"..."でfrom the Airが省略されているのだけだとおもう。
Brightness Falls - Wikipedia


第3話 "If the Stars Are Gods"

Gregory Benford and Gordon Eklund, If the Stars Are Gods (1977, Berkley Books)
http://www.isfdb.org/wiki/images/c/ca/FTHSTRSRGD1977.jpg
Publication: If the Stars Are Gods

邦訳
グレゴリイ・ベンフォード&ゴードン・エクランド(宮脇孝雄訳)『もし星が神ならば』(1988、早川書房
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/516BpMcRwuL._SX345_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4150108021

 知名度ではやや劣る(しかも絶版状態)が、とても好きなSFタイトルなのでこうして使われるのをみると本当に嬉しくなってしまう。鋭い人はオープニングのタイトルでSF小説からタイトルを採っていることに気付けたはずだが、自分はこの"If the Stars Are Gods"が表示されたときにようやく気付いた。


第4話 "Moon is a Harsh Mistress"

Robert A. Heinlein, The Moon Is a Harsh Mistress (1966, G. P. Putnam's Sons)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/c0/The_Moon_Is_A_Harsh_Mistress_%28book%29.jpg
The Moon Is a Harsh Mistress - Wikipedia

邦訳
ロバート・A・ハインライン矢野徹訳)『月は無慈悲な夜の女王』(1969、早川書房
https://images-fe.ssl-images-amazon.com/images/I/41RyO7hWdJL.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/B00DM4ZH3Q


第5話 "Lights in the Sky Are Stars"

Fredric Brown, The Lights in the Sky Are Stars (1953, E. P. Dutton)
http://www.isfdb.org/wiki/images/5/5e/THLGHTSNTB1953.jpg
Publication: The Lights in the Sky Are Stars


フレドリック・A・ブラウン(田中融二訳)『天の光はすべて星』(1964年、早川書房
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/41aC26ASCEL._SX348_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4150116792

 ちなみにこのほぼ直訳の邦題が付く前に『星に憑かれた男』の題でも出版されていた。
天の光はすべて星 - Wikipedia



さて、見てのとおりタイトルの共通点は星と月(第2話のbrightnessもだいたい天体だと辻褄合わせをして)。星と月……?

f:id:shironetsu:20190302220706j:plain

 「昏き星、遠い月」は約1年前に公開されたアイドルマスターミリオンライブ!シアターデイズの楽曲とゲーム内ドラマ。こちらもヴァンパイアもの。黒埼ちとせの前髪は「昏き星、遠い月」歌唱ユニット「夜想令嬢」のひとり、百瀬莉緒に似ているということでも話題になった。
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f:id:shironetsu:20190302222849j:plain:w300

 そもそもなぜSF小説から採ったのか。『月は無慈悲な夜の女王』『天の光はすべて星』などは「すてきな小説のタイトル」として普段から話題になるくらいもともと強いのでSFであること自体にそれほど深い理由はないだろう。まあライターがSFを好きでないとこんなことはしないはずで、なんにせよ嬉しい。
 ストーリーの内容と照らし合わせてみると実はそこそこうまくそのタイトルがあてられた理由付けができそうなので、starとmoonが指すものに注意しながら考えてみるのも一興かもしれない。


エンディングについて

 イベントコミュにはまだあと1話、イベント終了後に解放されるエンディングが残っている。
 何になるだろう? 短編になるが最強クラスSFタイトルであるラリイ・ニーヴンの『無常の月』(Inconstant Moon)が使われたらちょうどいいなと思う。これは黒埼ちとせに付き従ってきて、自分の輝きを知らなかった白雪千夜が変わり始める物語なので……。
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51F6dMScTNL._SX335_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4150121737
(長らく絶版状態だったが最近新しい訳が出た。読もう。)


エンディング "The End of Eternity"

(3月9日追記)
 LIVE Groove Visual burst "Fascinate"イベントは3月7日に終了。翌3月8日にエンディングが公開。
f:id:shironetsu:20190309090137j:plain

Isaac Asimov, The End of Eternity (Doubleday, 1955)
http://www.isfdb.org/wiki/images/4/47/THNDFTRNTD1955.jpg
http://www.isfdb.org/cgi-bin/pl.cgi?214833

アイザック・アシモフ深町眞理子訳) 『永遠の終り』 (1977、早川書房
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51iHqyuLz1L._SY498_BO1,204,203,200_.jpg
https://www.amazon.co.jp/dp/4150102694

 永遠の終り……そうきたか……。星でも月でもなかった。
 それにしても「変化」を「永遠の終り」と表現するところにこのふたりの在り方が象徴されている。

*1:原著の画像は初版を選んだ。邦訳はとくに拘らなかったが、だいたい文庫化された最新の版になっているはず。と言っても現在書店で手に入るのは『星を継ぐもの』・『月は無慈悲な夜の女王』・『天の光はすべて星』の3つで『輝くもの天より堕ち』はやや怪しい。『今宵われら星を奪う』・『もし星が神ならば』は古本でしか手に入らない。

*2:と思っていたが後々調べてみるとタイトルの良いSFとして結構知られていたらしいことが検索するとうかがわれる。シリーズ第1作『星界の王死すとき』に載っている訳者:野田昌宏によるあとがきには「私が、ジョン・ジェイクスの<第二銀河系シリーズ>にはじめて眼をつけたのは、この作品群――といっても三冊しかないのだが――のタイトルのカッコよさであった」とある。

よい本 1

畑将貴右利きのヘビ仮説――追うヘビ、逃げるカタツムリの右と左の共進化』東海大学出版会、2012年)

http://www.press.tokai.ac.jp/cover_image/01845.jpeg
東海大学出版部|書籍詳細>右利きのヘビ仮説

 カタツムリの殻の巻き方には右巻きと左巻きの2通りある。尖ったほうを上にして殻の口を正面に向くようにしたとき、その口が右にくれば右巻きで左なら左巻き。実は大部分のカタツムリは右巻きの殻を持っている。まれに突然変異で左巻きの個体が生まれるが、交尾の都合で子孫を残しにくいというハンディキャップを負うため左巻きの遺伝子はなかなか広がらない。ところが、琉球列島の一部には種全体で左巻きが多数派を占めるカタツムリがいる。左巻きが生存に有利になるような淘汰圧、たとえば右巻きのカタツムリの捕食に特化したヘビがいるのではないか……という学部生時代の着想から著者の研究が始まる。
 その「右利きのヘビ仮説」を論文として出版するに至るプロセスがいきいきと語られているのがこの本。実際に著者の最初のアイデアは検証されて裏付けを得るのだが、このひとつのアイデアを確かめるための道のりのなんと長いことだろう。まず初めに別々の文献にあった「左巻きのカタツムリ」と「カタツムリ食のヘビ」に関する記述が頭のなかで結びつく。そのヘビ、イワサキセダカヘビが実際に左右非対称な顎をもつことを図で確かめ、骨格標本で観察し、同じセダカヘビ科のヘビの標本をたくさん取り寄せて自力でX線撮像をして統計をとり……というのはまだ序の口。生きたイワサキセダカヘビを捕獲するため西表島に渡る。そこでの調査の様子がまた面白い。言わずと知れたイリオモテヤマネコをはじめ固有種に満ち満ちた亜熱帯の森で、虫にたかられ毒蛇サキシマハブを避けながらただ一種イワサキセダカヘビを探す。中には陸生のホタルの幼虫もいて林床で発光しているとか。夜間調査のためのノウハウ(建設業向けの長靴がよいとか)も書かれていてこのフィールドワークの様子が鮮明に浮かび上がる。
 持ち帰ったヘビとペットショップで買ったヘビ(絶滅危惧種の売買にあたるが「なりふり構っていられなかった」と振り返る)を使って実験室で行うのはカタツムリを捕食する姿のビデオ撮影。右巻きと左巻きのカタツムリを用意することや撮影環境などに四苦八苦しながらも、ついに「右利きのヘビは左巻きのカタツムリを食べるのが不得意である」ということの数値的統計的な裏付けを得る。
 本書の副題は「追うヘビ、逃げるカタツムリの右と左の共進化」。「右利きのヘビ仮説」を通して見えるのは進化。左巻きのカタツムリは右利きのヘビから逃げやすいという事実から見えるのはあくまでその一端だけれど、確固としたデータを基に左巻きのカタツムリが進化してきた理由の解明に近付いた。その素晴らしさよ。
 著者はコラムの中でジョナサン・ワイナー『フィンチの嘴』早川書房/2001年/原著1994年)を紹介している。『フィンチの嘴』で主役となるのは、ガラパゴス諸島のフィンチの嘴の長さ・形をはじめ餌の種類や量などを計測しつづけたグラント夫妻。執念深いまでに集められた数値的なデータを基に、ともすれば机上の理論になりかねない「進化」に裏付けを与え、その実態を浮かび上がらせてゆく。『フィンチの嘴』を読むと、改めて『右利きのヘビ仮説』で行われた観測や行動実験の数々の意義が理解できる。進化は数値で示すものだと。

 『右利きのヘビ仮説』のエッセンスは以下の記事でも読める。
『右利きのヘビ』で解く,左巻きタツムリの謎
https://www.sbj.or.jp/wp-content/uploads/file/sbj/9303/9303_index.pdf

 著者ウェブサイト
Hoso's Website

 余談。自分はこの本を神保町の本祭りの東海大出版の屋台で買った。定価2000円+税のところ600円。以前から気になっていた本だったが、ようやく買って読んでみると心から感動して生物本への関心が再燃した結果このブログ記事を書いている。いちばんおすすめしたい本。今すぐ手に入れて読んでほしい。


千葉聡『歌うカタツムリ――進化とらせんの物語』(岩波書店、2017年)

https://www.iwanami.co.jp//images/book/287504.jpg
歌うカタツムリ - 岩波書店

 「秘島探検 東京ロストワールド 第1集 南硫黄島」で「コダマ」と呼ばれる陸貝:コダマキバサナギガイを探していた研究者がこの本の著者。

NHKスペシャル | 秘島探検 東京ロストワールド第1集南硫黄島

あの1時間足らずの番組では物足りないな~~と思っていたら首都大学東京の刊行物で詳しく報告されていた。

小笠原研究 No.44 > 和田慎一郎, 千葉 聡「南硫黄島の陸産貝類群集の多様性」(pp.315-330)
2018 | 小笠原研究委員会

 それはともかく、この『歌うカタツムリ』は進化論がその黎明期から今に至るまでいかにカタツムリを利用しながら発展してきたかを落ち着いた筆致で語った本。ある一群の生物種(ここではカタツムリ)の観察をもとに進化の実際に迫り理論を組み立てていく、という点でやや『フィンチの嘴』に趣が似ている。
 自然選択は考え方としてはわかりやすいものだけれど、定量的に論じるにはやはり数学が必要になる。集団遺伝学の創始者であるフィッシャー・ホールデンや、著書『ワンダフル・ライフ』や断続平衡説で有名なグールド、中立説の木村資生がその流れの中に位置づけられる。その理論の着想・検証のためには、数が多い・捕まえやすい・殻の形状を定量化しやすい・収集が楽しいカタツムリや、あるいは化石種の貝がモデルとして都合がよかった、ということらしい。
 本書のタイトルはハワイ島の「歌うカタツムリ」の伝承から来ている。ハワイ島の固有種であったハワイマイマイたちは森の中で歌うような音をあげると信じられていた。しかし現在その真偽を確かめる術はもうない。というのも、アフリカマイマイ駆除のために導入されたカタツムリ食のカタツムリ、ヤマヒタチオビに滅ぼされてしまったから。
 歴史あるカタツムリによる進化研究の現在側の端で、小笠原諸島を中心に陸貝の研究を続ける著者たちグループの研究にたどり着く。小笠原諸島にも外来種の脅威は訪れており、陸生の肉食プラナリアニューギニアヤリガタリクウズムシによって父島の陸貝はほぼ野生絶滅してしまった。このことは簡潔に書かれているだけだけれど、種を滅ぼしてしまうことで失われたものがいかに大きいか、改めて知る。


大場裕一『恐竜はホタルを見たか――発光生物が照らす進化の謎』(岩波書店、2016年)

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恐竜はホタルを見たか - 岩波書店

 めちゃくちゃいいタイトルだ……。「恐竜はホタルを見たか。」今と同じ風景を、やがて滅んでしまう恐竜たちも知っていたか、というどこかうら寂しさを感じさせる問い……。
 結論からいうと「おそらく見ていた」で、これはホタル科を対象とした分子系統解析から、その誕生が白亜紀にまで遡るという著者たちの研究成果からきている。また、ホタルルシフェリンを酸化して発光反応を引き起こす酵素ホタルルシフェラーゼについて、広く生物が持つ脂肪酸分解酵素がその由来であろうと特定している。
 「光る生物」として真っ先に思い浮かべられるのはそのホタルだが、実は比率でいうと大半の光る生物は海にいる。2008年のノーベル化学賞を受賞した下村脩博士の研究で有名なオワンクラゲもそのひとつ。ちょっとびっくりすることに、オワンクラゲは自力でルシフェリンを作れないらしい。酵素のルシフェラーゼは生合成できるが、基質であるルシフェリンは外部から取り入れないと光れないということ。そのクラゲも使っているルシフェリンであるセレンテラジン(ルシフェリンは総称)は他にもたくさんの海の発光生物が採用していて、ほとんどが自力合成できない。では誰が作っているかというと、微小な甲殻類プランクトンであるコペポーダ(カイアシ類)がその候補に挙がる。そしてたどり着くのは、海の生き物にとってありふれた栄養源であるコペポーダが光るからこそ、海では生物発光がありふれたものになったのだろうという仮説。系統樹上のいろいろな位置にみられる生物発光を概観するところから始まって、結構マニアックな話の一端に触れられて楽しい。


上村佳孝『昆虫の交尾は、味わい深い…。』(岩波書店、2017年)

https://www.iwanami.co.jp//images/book/308210.jpg
昆虫の交尾は,味わい深い…. - 岩波書店

 岩波化学ライブラリー3冊目。2017年のイグノーベル賞を受賞したトリカヘチャタテの研究グループの一人による著書。受賞理由は「ある洞窟棲昆虫の雌ペニス、雄ヴァギナの発見。」ちょうどこの本を読んでいたときに続報があった(ちなみにこの掲載誌eLifeはフリー)。
トリカヘチャタテのメスはペニスの他にコックも持つ-切替弁を持つ生物を世界で初めて発見-:[慶應義塾]
A biological switching valve evolved in the female of a sex-role reversed cave insect to receive multiple seminal packages | eLife

 昆虫の交尾器(ゲニタリア)といえばとにかく複雑な形をしているが、種を判別するための唯一の手段がその小さな交尾器を見分けることであったりして研究者泣かせらしい。しかし世代を繋ぐための最重要器官である以上その形にも意味があって、しかも種間での変異が大きく解き明かすべき謎は尽きない。
 たとえばトンボの雄は雌が前に交尾した雄から受け取った精子を掻き出すための物騒なトゲだらけの性器を持っている。昆虫では雌は一度受け取った精子を貯めて使うため。しかし雄は対抗手段も発達させていて、雌が再び交尾しないようガードするための副性器も持っている。
 著者が最初の研究のターゲットとしたのはハサミムシ。ハサミムシの雄は長い挿入器を、雌の細長い受精嚢に詰まった他の雄の精子を掻き出すために発達させていることを突き止める。種によって左右に対で持っていたり、一方だけだったり、中央に一本だけになっていたりと、ここでも「右利き・左利き」の話題が出てくる。
 トコジラミもまた左右対称性が破れている昆虫の一例。このトコジラミ、雄が鋭い交尾器を雌の脇腹に刺して体内に精子を注入し、雌の血液を介して卵巣に向かわせるという異常な交尾形態を持つ。その際雌が最初に精子を貯めるのが右脇腹に持つスーパーマリッジと呼ばれる腔で、大半の雌は左脇腹には持たない。しかし稀に両側に持つ個体がおり、著者はその右スーパーマリッジが正しく機能することを証明したものの、そのようなコストを抱える意義を未解明のまま残す。
 交尾器は見た目が面白いばかりでなく、機能や形態に単に配偶子をやりとりするだけではない雌雄間の競争が現れる。そういうところが味わい深いようだ。


細川貴弘『カメムシの母が子に伝える共生細菌―必須相利共生の多様性と進化― 』(共立出版、2017年)

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カメムシの母が子に伝える共生細菌 ―必須相利共生の多様性と進化― / 細川 貴弘 著 辻 和希 コーディネーター | 共立出版

 アブラムシのついた植物がベトベトになるのはなぜか?あれは植物から啜った篩管液のうち過剰な糖分を排出しているのだ。実は篩管液は肝心の必須アミノ酸が非常に乏しい。この「栄養の偏った食糧」から必要な栄養を得るため、アブラムシはブフネラという共生細菌に必須アミノ酸の合成を任せている。アブラムシに限らず共生細菌による栄養の合成は様々な昆虫で見られ、セミ-ホジキニア、ツェツェバエ-ウィグルスワーシア、トコジラミ-ボルバキア……等、それぞれ違った組み合わせで昆虫-細菌間の共生関係が結ばれている。昆虫側は細菌なしでは生きられないほどに依存していて、細菌側も昆虫の体内という安全な環境から抜け出せなくなっている。これを必須相利共生と呼ぶ。
 カメムシもまた細菌との共生関係を結んだ昆虫のひとつ。しかし他の昆虫たちとは異なる特徴を持っている。それは母から子へ共生細菌を受け渡す過程にある。普通、宿主昆虫は共生細菌を宿した「菌細胞」から直接、つまり体内で卵に共生細菌を分け与えることで次世代に繋いでいる(垂直伝播)が、カメムシは産み落とされた段階の卵の中には共生細菌が入っていないのだ。従って子は母親の体外で共生細菌を貰わなくてはならないが、その方法が種ごとに異なっている。
 たとえば、マルカメムシ類は卵塊とともに黒い粒を産み落とす。この黒い粒に共生細菌が詰まっており、幼虫は孵化後にこれに口吻を突き刺してなかから共生細菌を吸う。孵化するまで卵の世話をすることで知られるベニカメムシは、孵化直前に共生細菌の混ざった白い粘液を卵塊にかける。
 面白いのは受け渡しの方法だけではない。体外で共生細菌のやりとりをするため、たとえば抗生物質を使って細菌を除去したり、本来の共生細菌とは違った細菌に入れ替えたりすることができるのだ。著者はそのような実験を試すなかで、共生関係がいかに進化してきたかを調べようとしている。
 著者ウェブサイトでは本書にも引用されている動画が見られる。子カメムシがかわいい。
Hosokawa Takahiro - 研究内容


青木重孝『兵隊を持ったアブラムシ』(丸善出版、2013年)

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兵隊を持ったアブラムシ - 丸善出版 理工・医学・人文社会科学の専門書出版社

 昆虫の社会性がハチ・シロアリ類だけではなくアブラムシにもみられることを発見したのがこの本の著者。昆虫の社会性……色々イマジネーションが刺激されて良い。
 アブラムシの分類学者を目指していた著者は、ある日採集したワタムシ(ふわふわしたワックスをまとうアブラムシの仲間)の中に、奇妙な幼虫を見つける。それは普通の幼虫に比べて短い口吻と長くて太い前脚を持つ一令幼虫だった。試行錯誤の末、この「短吻型幼虫」が外敵に対する攻撃を専門とした不妊の個体であることが判明する。
 アブラムシの仲間には虫癭(虫こぶ、ゴール)を作るものもいる。台湾に生息する、ウラジロエゴノキに巣を作るウラジロエゴノキアブラムシは、人が近づくと落下して刺すらしい。そんな記述を目にし、著者は実際に確かめにゆく。そしてやはり兵隊であった二令幼虫がこの攻撃に携わっていることを突き止める。
 こうしてさまざまなアブラムシ種の兵隊幼虫と社会性を見つけていくとともに、データを集めながらこのような分業制を説明するために数理モデルを構築していく。

 最初の研究は40年前に遡り、この本も元々どうぶつ社から1984年に出版され絶版となっていたものの復刊。社会性アブラムシに関してはその後色々面白いことが分かってきているらしい。
ツノアブラムシのゴール、社会性、生活環 | 公益財団法人 藤原ナチュラルヒストリー振興財団
アブラムシが持つ表面加工技術 | 東京大学
産総研:兵隊アブラムシの攻撃毒プロテアーゼ



太田悠造『海のクワガタ採集記―昆虫少年が海へ―』(裳華房、2017年)

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<書籍紹介> 海のクワガタ採集記(太田悠造 著)【生物学】

 「ウミクワガタ」この表紙に描かれているやつがそれ。素晴らしく単純明快なネーミングだ。ただしクワガタムシのような顎を持っていても昆虫(六脚亜門)ではなく甲殻類(甲殻亜門)、特にダンゴムシやオオグソクムシ、タイノエなどと同じ等脚目の仲間。
 大きな顎を持つのはやはりクワガタムシと同じく雄の成体だけ。雌雄ともに幼生の間は魚類の体液を吸う寄生者。成体になって繁殖期に入ると魚から離れて何も食べずにつがう。
 著者は琉球大学在籍時にこの研究を始める。沖縄の海に潜ったり、砂浜を掘ったりしながらこの小さなウミクワガタを探す日々。「見過ごされた動物」と言うだけあって、見つかっていなかった種が非常に多く、新種発見の喜びを著者の記録から感じ取ることができる。体長数ミリの新種掲載のために正確なスケッチをする様子もおもしろい。
 ただ、こういうマニアックな生物の研究にはやはり金銭的な過酷さがつきもののようで、著者自身の体験が生々しく記述されている。


塚谷裕一『森を食べる植物――腐生植物の知られざる世界』(岩波書店、2016年)

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森を食べる植物 - 岩波書店

 日の当たらないじめじめとした林床にひっそりと生える奇妙な形をした透き通った植物……というとビジュアルがなんとなくわかると思うが、この本のテーマである「腐生植物」がそれ。「森を食べる」というのは彼らが光合成をやめ、菌類に寄生していることから。根を通してキノコから栄養を奪っているのである。だから動物の遺骸から栄養を得ているかのような印象を与える「腐生植物」というのは誤解を招く呼び名で、「菌寄生植物」とするべきらしい。
 この本を読むまで知らなかったことだが、蘭は蘭菌と呼ばれる菌類と共生して栄養を得ているらしい。そのような菌への依存が極限まで進んだのがこの腐生植物たち。ただし、ラン科に限らず色々なグループでこの腐生植物化は起こっている。
 光合成色素の緑色を捨てたことで得た透き通った白さだけではなく、一風変わった形をとる花が非常に神秘的。ちなみにこの本の写真はすべてカラー。
 ボルネオでの新種発見のいきさつも書かれており、こう言ってしまって良いものか、「高尚な道楽」っぽさがすごい。

コワレフスカヤのコマ・量子力学?

イントロダクション

 コマの運動はほとんど解析的には解けない*1. 「ほとんど」というのは「重力下で一点を固定されている」という条件の下では例外的に次の場合に解けるから.

 重心が固定点に一致しているとき.

 対称コマかつ慣性モーメントの対称軸上に重心が位置するとき.

 長らく解が知られているのはこの2つの場合だけだったが, 1889年になって3つ目の場合が見つかる. 発見者はロシアの数学者ソフィア・コワレフスカヤ Sofia Kovalevskaya. 現在「コワレフスカヤのコマ」として知られた次の特殊な条件を持つコマである[1].

 {I_X=I_Y=2I_Z}かつ重心が\(X\)軸上に位置するとき.

 彼女はオイラーラグランジュのコマの解が楕円関数によって表されることに着目し, 特異点解析の理論からこの特殊な場合に解ける可能性を見出した[2]. さらに彼女は実際にこの場合に特殊な第一積分("コワレフスカヤ積分")を発見し, 2変数のリーマンの\(\vartheta\)関数によって解を表すことに成功した[3,4].

 さて, 気になるのはコワレフスカヤのコマの量子力学バージョンである. 水素原子や調和振動子の例があり, 古典で特殊なことが起こるなら量子でも何かが起こると期待してしまう.

 ...しかし少し考えるとすぐに「変な縮退」が起こることはあまり期待できなくなる. というのも, 量子力学バージョンの自由な非対称コマ=オイラーのコマで自明な部分以外の縮退が解けてしまうというのはよく知られた事実だから*2.

 ともあれ, 他の何かは起こるかもしれない. まずは数値的にでも解いてみよう.

*1:「解析的」も「解ける」も可積分系の言葉で言い表すべきだが恥ずかしながらそれらの術語を正しく使える自信がない...

*2:量子化学の本で回転遷移について論じているものを見れば載っている.

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