Shironetsu Blog

@shironetsuのブログ

直線の配置の数え上げ(1)―6本の直線が作る43通りの形

 ある数え上げの問題. 言葉で説明するよりちょっと観察してみるのが早い.

 4本の直線を引く. どの2本も平行ではなく, どの3本も同じ点で交わることはないとしよう.

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すると, どう引いても直線で囲まれた領域の「形」はいつも同じになる. 1つの4角形が隣り合う2つの辺で2つの3角形とつながった形.

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氷の塔を建てて隣の星へ――グレッグ・イーガン "Phoresis"

 昨年4月に刊行されたグレッグ・イーガンによるノヴェラPhoresis.

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https://subterraneanpress.com/phoresis

 コレクター向けに1000部限定でナンバリングされたハードカバー書籍として発売された本作は, 刊行後まもなくKindle電子書籍ストアでの取り扱いが始まり今では気軽に手に取れるようになっている. 発売から1年経ち, 新作Perihelion Summer(太陽系をブラックホールが通過するという何ともタイムリーな内容)の刊行も目前に迫っている. 以下ネタバレを大いに含む紹介.

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PSL(2,13)指標表手作り体験記(2)――PSL(2,q)の部分群

  • PSL(2,q)の部分群
  • PSL(2,13)の指標(続)
    • 14次元既約表現
    • 12次元既約表現
    • 指標表
  • まとめと課題
  • リファレンス

続き.
PSL(2,13)指標表手作り体験記(1)――G2の有限部分群 - Shironetsu Blog

PSL(2,q)の部分群

 ガロアシュヴァリエへ宛てた「最後の手紙」の中で述べた命題は現代的に解釈するとこうであった.

素数 \(p\) について, PSL(2,p) が \(p\) 点に推移的に作用するのは \(p=2,3,5,7,11\) の場合に限られる.

 ガロアが気付いていたのかどうかは不明だが, 実際にはこの定理はより一般の有限体に拡張できて, 9元体を加えて次のようになる.

素数冪 \(q\) について, 自明な作用を除いて \(PSL(2,q)\) が \(q\) 点以下に推移的に作用するのは \(q=2,3,5,7,9,11\) の場合に限られる.

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PSL(2,13)指標表手作り体験記(1)――G2の有限部分群

  • イントロ:G2の有限部分群
  • PSL(2,13):基本的性質と13次元既約表現
    • 共役類
    • 置換表現と13次元既約表現
  • 7次元既約表現とG2
    • 八元数
    • 例外型リー群 G2
    • 相似変換
    • 数値実験
  • 14次元既約表現と随伴表現
  • まとめ
  • リファレンス

イントロ:G2の有限部分群

 PSL(2,13)は例外型リー群\(G_2\)の有限部分群である.

 本記事はこの衝撃的な事実を確かめることを主目的とする.
 自分はこれを論文[1]で知った. そこでは複素化された\(G_2(\mathbb{C})\)の有限部分群を調べた論文[2]をもとに\(G_2\)の有限部分群が表にまとめられている.

\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\mbox{部分群}\,\Gamma \in G_2 & \mbox{タイプ} & |\Gamma| \\ \hline \hline
SU(2)\times SU(2), SU(3)\mbox{の有限部分群} & - & -\\ \hline
PSL(2,7) \cong GL(3,2) \cong \Sigma(168) \in SU(3) & {\rm I} & 168\\ \hline
PSL(2,7) \rtimes \mathbb{Z}_2^3 & {\rm I} & 1344 \\ \hline
PGL(2,7) & {\rm P} & 336\\ \hline
PSL(2,8) & {\rm P} & 504\\ \hline 
PSL(2,13) & {\rm P} & 1092\\ \hline
PU(3,3) \cong G_2(2)' & {\rm P} & 6048\\ \hline
G_2(2) & {\rm P} & 12096\\ \hline
\end{array}
\end{align}
表:\(G_2\)の有限部分群.

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PSL(2,11)指標表手作り体験記――Paley biplaneと正20面体

  • イントロ――ガロアの最後の手紙
  • PSL(2,11):基礎事項
  • 5次元既約表現
  • 10次元既約表現その1
    • Paley Biplane
    • アダマール行列
    • 2項正20面体群
    • 11元体上の正20面体たち
  • 10次元表現その2
  • 11次元表現
  • 12次元表現
  • 指標表
  • まとめとこれから
  • リファレンス

イントロ――ガロアの最後の手紙

 シュヴァリエへ宛てたガロアの最後の手紙[1]. モジュラー方程式との関係から彼が重要視し, 証明なしに与えた命題は現代的なことばで述べるとこうであった.
 
素数 p に対して, SL(2,p) が \(p\) 点への忠実かつ推移的な作用を持つのは \(p=5,7,11\) のときに限られる.
 
 それぞれ正4面体群, 正8面体群, 正20面体群を部分群としてもつことから起こるこの現象. ADE分類, McKay対応の「例外的な三つ組」がここにも現れる.
 本記事では \(PSL(2,7)\) について調べた前回の記事に引き続き, \(PSL(2,11)\)の既約指標を求めつつ, ここで起こっている現象の理解を目標とする.

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PSL(2,7)指標表手作り体験記(2)――ファノ平面・GL(3,2)・四元数・正8面体

  • イントロ――ファノ平面
  • ファノ平面の自己同型群とは
  • 2元体で考える
  • PSL(2,7)
  • 有限体係数の四元数
  • ファノ平面を探す
  • ふたたびGL(3,2)
  • 指標表
  • まとめとこれから
  • リファレンス

 過去ふたつの記事の続き.
小さな非可換単純群 - PSL(2,p) - Shironetsu Blog
PSL(2,7)指標表手作り体験記(1) 3,3,8次元既約表現 - Shironetsu Blog

イントロ――ファノ平面


 John Baezによる八元数の解説から[1].

 射影幾何は, ルネッサンス期の画家たちによる遠近法の研究に期限を持つ, 歴史ある分野だ. 平行な線たち――たとえば線路のような――は「無限遠点」で交わるかのように見える. 視点を変えると距離や角度は変わるが, 点は点のまま, 直線は直線のまま変わらない. この事実は, 点の集合, 直線の集合, そして点は直線の上に「のる」ことを基礎とした, 次に挙げる公理を満たした, ユークリッド平面幾何学の修正につながる :

  • 異なる2点について, 両方をのせているただ1つの直線が存在する.
  • 異なる2直線について, 両方にのるただ1つの点が存在する.
  • ある4つの点が存在して, どの3つをとっても同じ直線にのっていない.
  • ある4つの直線が存在して, どの3つをとっても同じ点をのせていない.

 これらの公理を満たす構造を射影平面と呼ぶ. この定義の魅力のひとつは, その「自己双対性」にある : 「点」と「直線」を, 「のる」と「のせる」を入れ替えても変わらないということだ.

引用終わり.

 射影平面は有限集合上にも定義される. そして最小の射影平面が, 次の図で表されるファノ平面である.

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