球面調和関数で正20面体をつくる(3) - l=28までの表

　球面調和関数でサッカーボールをつくる記事のつづき.
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　改めて, 「 ${SO(3)}$ の ${\ell}$ 次の既約表現( ${(2\ell+1)}$ 次元表現)の, 正20面体群 ${I}$ への制限を既約分解したときの恒等表現 ${A}$ の基底」を存在すれば ${| \ell A \alpha\rangle}$ で表すことにする. ${\alpha}$ は重複度に応じてつけるラベル. 一般に ${|\ell A \alpha\rangle}$ は

${ |\ell A\alpha\rangle = \sum_{m=-\ell}^\ell Q_{\ell m\alpha} |\ell m\rangle\\ Q_{\ell m\alpha}\in\mathbb{R},\ \ \ \sum_{m=-\ell}^\ell Q_{\ell m\alpha}^2=1 }$

で表せるが, 前回の記事でそうしたように ${C_5}$ 軸を ${z}$ 軸にとると ${m\equiv 0\ {\rm mod}5}$ 以外の係数はゼロになる. さらに ${C_2}$ 軸を ${y}$ 軸にとると,

${ Q_{\ell(-m)\alpha}=(-1)^{\ell+m}Q_{\ell m\alpha} }$

になる(従って ${\ell}$ が奇数のとき ${m=0}$ の係数はゼロ).

そして, 少なくとも ${\ell<29}$ では(重複度は1なので ${\alpha}$ は省く)

${ Q_{\ell m}=\pm \sqrt{\frac{c_{\ell m}}{N_\ell}}\\ N_\ell\in\mathbb{N},\ \ \ c_{\ell m}\in\mathbb{N}_0,\ \ \ {\rm gcd}(N_\ell, c_{\ell m})=1 }$

と, 既約分数の平方根になる. それらをまとめたのが下表.

その値は次のようにして得た:

(1) ${\ell=15}$ 同士の積表現が ${\ell=2,4,8,14}$ の基底を含まないことから ${|15A\rangle}$ が決定される.
(2)同時に ${\ell=30}$ 以下の偶数次数の表現が得られる.
(3) ${\ell=12,15}$ の積表現から ${\ell=21,25,27}$ (奇数次数)の基底が得られる*1

${Q}$ の符号は ${c}$ のほうにつけている. たとえば, ${N}$ の表から ${N_{10}=3\cdot5^4}$ で, ${c}$ の表での ${\ell=10,m=5}$ の欄に" ${-3\cdot11\cdot19}$ "とあるから,

${ Q_{10,5}=-\sqrt{\frac{c_{10,5}}{N_{10}}}=-\sqrt{\frac{3\cdot11\cdot19}{3\cdot5^4}}=-\frac{\sqrt{209}}{25} }$
と読む.

${N_\ell}$ の表
${ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \ell&0&6&10&12&15&16&18&20\\ \hline N_\ell&1 &5^2&3\cdot5^4 &5^5 &2^2\cdot5^5&2^2\cdot3\cdot5^7&5^7&5^9\\ \hline \end{array} }$
${ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \ell&21&22&24&25&26&27&28\\ \hline N_\ell &2\cdot5^7&2\cdot3\cdot5^{10}&5^{10}&2\cdot3\cdot5^{10} &2\cdot3\cdot5^{12} & 2^2\cdot3\cdot5^{10} & 2^2\cdot3\cdot5^{12}\\ \hline \end{array} }$

${c_{\ell m}}$ の表
${ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \ell\backslash m & 0 & 5 & 10 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 11 & 7 & 0 \\ 10 & 13\cdot19 & -3\cdot11\cdot19 & 11\cdot17 \\ 12 & 3^2\cdot7\cdot17 & 2\cdot11\cdot13 & 3\cdot13\cdot19 \\ 15 & 0 & -5\cdot23\cdot29 & 2\cdot3\cdot11\cdot29 \\ 16 & 2^6\cdot5\cdot19\cdot31 & -3\cdot5\cdot13\cdot17\cdot31 & -2\cdot7\cdot17\cdot23\cdot31 \\ 18 &5\cdot11\cdot17\cdot23 & 2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19 & 3\cdot7\cdot11\cdot19 \\ 20 & 5\cdot7\cdot23\cdot29 & -2\cdot11\cdot17\cdot19\cdot29 & 17\cdot19\cdot41^2 \\ 21 & 0 & -29\cdot31\cdot41 & -2^2\cdot13\cdot41\\ 22 & 2^2\cdot3\cdot5\cdot11\cdot19\cdot31\cdot37 & -7\cdot13\cdot23\cdot31\cdot37 & -2\cdot7\cdot17\cdot23\cdot29\cdot37 \\ 24 & 5\cdot7^2\cdot13\cdot23\cdot29 & 2^3\cdot3\cdot11\cdot59^2 & 2\cdot19^3\cdot31 \\ 25 & 0 & -7^2\cdot31\cdot37\cdot43& 2\cdot3\cdot7\cdot11\cdot19\cdot37\cdot43\\ 26 & 2^2\cdot3^3\cdot13\cdot29\cdot31\cdot41 & -5\cdot7\cdot11\cdot23^3\cdot41 & 2^7\cdot5\cdot7\cdot19\cdot23\cdot41 \\ 27 & 0 &-17\cdot19\cdot37\cdot41\cdot47& -2\cdot41^3\cdot47\\ 28 & 2^8\cdot3^2\cdot7\cdot31\cdot37\cdot43 & -5\cdot11\cdot13\cdot29\cdot37\cdot43 & -2\cdot3\cdot5\cdot13\cdot17\cdot23\cdot29\cdot43 \\ \hline \end{array} }$
${ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \ell\backslash m&15 & 20 & 25 \\ \hline 15 &7\cdot11\cdot13 & 0 & 0\\ 16 & 3^2\cdot17\cdot23\cdot29 & 0 & 0\\ 18 & 19\cdot29\cdot31 & 0 & 0 \\ 20 & -2^3\cdot11\cdot19\cdot31& 11\cdot13\cdot31\cdot37 & 0\\ 21 &3\cdot13\cdot17\cdot41 & 17\cdot19\cdot37 & 0\\ 22 & -23\cdot29\cdot103^2 & 13\cdot19\cdot23\cdot29\cdot41 & 0 \\ 24 & 2^2\cdot3^2\cdot11\cdot31\cdot37 & 31\cdot37\cdot41\cdot43 & 0\\ 25 & -7^2\cdot43\cdot61^2 & 3^2\cdot7^2\cdot11\cdot41 & 2\cdot5\cdot11\cdot23\cdot41\cdot47 \\ 26 & 3\cdot5\cdot23\cdot37\cdot139^2 & -5\cdot37\cdot43\cdot89^2 & 2\cdot7^2\cdot17\cdot37\cdot43\cdot47 \\ 27 & 2\cdot3\cdot17\cdot19\cdot47 & 2^6\cdot17\cdot19\cdot23\cdot43 & 5\cdot7\cdot13\cdot19\cdot23\cdot43\\ 28 & -2\cdot5\cdot23\cdot29^3\cdot41 & -2^3\cdot3^2\cdot5\cdot13\cdot29\cdot41\cdot47 & 7\cdot17\cdot29\cdot41\cdot47\cdot53 \\ \hline \end{array} }$

　せっかくなので球面調和関数の重ね合わせとして視覚化しておく.
${\ell=25}$
f:id:shironetsu:20180220215132g:plain:w500

${\ell=27}$
f:id:shironetsu:20180220215222g:plain:w500

${\ell=28}$
f:id:shironetsu:20180220215314g:plain:w500

　表を観察して気になること.
　まずこの範囲で ${N_\ell}$ は2,3,5しか因数に持たない. 理由が分からない.
${c_\ell}$ の因数も小さい素数ばかり並んでいる. 今の構成法ではこれは自明ではない. 単に直和分解するだけなら, 3j記号の閉じた形を考えると大きな素数は出てこないが, 今は規格化も含んでいるため.つまり和が ${N_\ell}$ である. たとえば, ${\ell=24}$ の欄から
${ (5\cdot7^2\cdot13\cdot23\cdot29)+2\cdot(2^3\cdot3\cdot11\cdot59^2)\\ +2\cdot(2\cdot19^3\cdot31)+2\cdot(2^2\cdot3^2\cdot11\cdot31\cdot37)+ 2\cdot(31\cdot37\cdot41\cdot43)=5^{10} }$
が分かる*2. 大げさかもしれないが数論的にはどう解釈すべきなのだろう.

　以前の記事で見た限り, ${x,y,z}$ 軸を ${C_2}$ 軸にとってもおそらく同じように係数は有理数の平方根になり, 分母の因数は2を多く含むと予想される. ${z}$ 軸を ${C_3}$ 軸, ${y}$ 軸を ${C_2}$ 軸にとるとそれは ${3}$ になるだろう(要検証).

　そして重複度が2以上になったときの基底の効率的な決定が分からない. 一応すでに ${\ell=15}$ どうしの合成から ${\ell=30}$ の基底のひとつが得られているが, 280485761という大きな素数が突然現れた. 直交する基底を自然に取り出す方法があってほしい.

　今の構成法は正20面体群対称な球面上の関数が積と和について閉じることを利用している. 積としての作用が球面調和関数を基底とする空間上の線形変換になり, 欠ける次数( ${\ell=1,2,3,4,5,7,\cdots,29)}$ がそれを特徴づけている.適切な解釈が分からない.

(2/21追記)
　せっかくなので ${\ell=15}$ のテンソル積から得られる ${\ell=30}$ のA基底のひとつも書いておく. ${\ell=30}$ ではA表現の重複度は2になるため, 最初の取り決めに従えば2つの空間を分けるラベルがいるがここでは無視する.

${N_{30}=5^{10}*467*280485761}$
${ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline m & 0 & 5 & 10 & 15 \\ \hline c_{30,m} &13\cdot5323^2\cdot9377^2 &-2^4\cdot3\cdot11\cdot17\cdot29\cdot31\cdot 5003^2 &5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37\cdot1429^2 &-3^5\cdot5\cdot11\cdot13\cdot23\cdot29^3\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43 \\ \hline \end{array} }$
${ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline m&20 & 25 & 30\\ \hline c_{30,m} &2\cdot7\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43\cdot47\cdot1451^2 &2\cdot3^3\cdot11\cdot13\cdot17\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43\cdot47\cdot53 &7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43\cdot47\cdot53\cdot59\\ \hline \end{array} }$