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コワレフスカヤのコマ・量子力学?

イントロダクション

 コマの運動はほとんど解析的には解けない*1. 「ほとんど」というのは「重力下で一点を固定されている」という条件の下では例外的に次の場合に解けるから.

 重心が固定点に一致しているとき.

 対称コマかつ慣性モーメントの対称軸上に重心が位置するとき.

 長らく解が知られているのはこの2つの場合だけだったが, 1889年になって3つ目の場合が見つかる. 発見者はロシアの数学者ソフィア・コワレフスカヤ Sofia Kovalevskaya. 現在「コワレフスカヤのコマ」として知られた次の特殊な条件を持つコマである[1].

 {I_X=I_Y=2I_Z}かつ重心が\(X\)軸上に位置するとき.

 彼女はオイラーラグランジュのコマの解が楕円関数によって表されることに着目し, 特異点解析の理論からこの特殊な場合に解ける可能性を見出した[2]. さらに彼女は実際にこの場合に特殊な第一積分("コワレフスカヤ積分")を発見し, 2変数のリーマンの\(\vartheta\)関数によって解を表すことに成功した[3,4].

 さて, 気になるのはコワレフスカヤのコマの量子力学バージョンである. 水素原子や調和振動子の例があり, 古典で特殊なことが起こるなら量子でも何かが起こると期待してしまう.

 ...しかし少し考えるとすぐに「変な縮退」が起こることはあまり期待できなくなる. というのも, 量子力学バージョンの自由な非対称コマ=オイラーのコマで自明な部分以外の縮退が解けてしまうというのはよく知られた事実だから*2.

 ともあれ, 他の何かは起こるかもしれない. まずは数値的にでも解いてみよう.

計算

オイラー

 \(SO(3)\)から始めよう. リー代数の基底を次のようにとる.

\begin{align}
J_1=
\begin{pmatrix}
0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0
\end{pmatrix},\
J_2=
\begin{pmatrix}
0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0
\end{pmatrix},\
J_3=
\begin{pmatrix}
0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0
\end{pmatrix}
\end{align}

 交換関係は\(\lbrack J_1,J_2\rbrack = iJ_3\)と1,2,3の巡回置換. 任意の\(SO(3)\)の元は次のように表せることが知られている.

\begin{align}
O(\alpha,\beta,\gamma) &= e^{i\gamma J_3}e^{i\beta J_2}e^{i\alpha J_3}\\
&=\begin{pmatrix}
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\beta\cos\gamma\\
-\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma + \cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\gamma\\
\cos\alpha\sin\beta & \sin\alpha\sin\beta & \cos\beta
\end{pmatrix}
\end{align}

 \(\alpha,\beta,\gamma\)は\(zyz\)コンベンションのオイラーということになる. この行列を介して剛体に固定された\(XYZ\)系と空間に固定された\(xyz\)系の基底が次の関係で結ばれるとする.

\begin{align}
\Big(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\Big)O(\alpha,\beta,\gamma) = \Big(|x\rangle,|y\rangle,|z\rangle\Big)
\end{align}

 すると角速度\(\omega\)は

\begin{align}
\dot{O}O^{-1} =
\begin{pmatrix}
0 & -\omega_Z & \omega_Y\\\omega_Z & 0 & -\omega_X\\-\omega_Y & \omega_X & 0
\end{pmatrix}
\end{align}

の関係から

\begin{align}
\omega_X &= \phantom{-}\dot{\alpha}\sin\beta\cos\gamma-\dot{\beta}\sin\gamma\\
\omega_Y &= -\dot{\alpha}\sin\beta\sin\gamma-\dot{\beta}\cos\gamma\\
\omega_Z &= -\dot{\alpha}\cos\beta-\dot{\gamma}
\end{align}

と決まる.


古典力学での剛体

 ここから古典力学. 自由回転する剛体のラグランジアン

\begin{align}
L(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{i=X,Y,Z}\frac{I_i\omega_i^2}{2}
\end{align}

と表せる. \(I_i\)は慣性モーメント. 共役運動量は\(p_\theta = \partial L/\partial \dot{\theta}\ \ \ (\theta = \alpha,\beta,\gamma)\)から決まって, 角運動量はこれらを使って

\begin{align}
I_X\omega_X &= \frac{p_\alpha\cos\gamma}{\sin\beta} -p_\beta\sin\gamma -\frac{p_\gamma\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta} \\
I_Y\omega_Y &= -\frac{p_\alpha\sin\gamma}{\sin\beta} -p_\beta\cos\gamma + \frac{p_\gamma\cos\beta\sin\gamma}{\sin\beta}\\
I_Z\omega_Z &= -p_\gamma
\end{align}

と表せる.


量子力学での剛体

 ここから量子力学. \(p_\theta \rightarrow -i\hbar\,\partial/\partial\theta\ (\theta=\alpha,\beta,\gamma)\)の正準量子化の手続きによって量子力学バージョンの剛体の運動方程式が得られる(以下\(\hbar=1\)). この置き換えによって角運動量は\(I_i\omega \rightarrow \hat{J}_i\ (i=X,Y,Z)\)と変換されるとする.

\begin{align}
\hat{J}_X &= i\left(-\frac{\cos\gamma}{\sin\beta} \frac{\partial}{\partial \alpha} +\sin\gamma\frac{\partial}{\partial \beta} +\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta} \frac{\partial}{\partial \gamma}\right)\\
\hat{J}_Y &=i\left(\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial \alpha} +\cos\gamma\frac{\partial}{\partial \beta} - \frac{\cos\beta\sin\gamma}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial \gamma}\right)\\
\hat{J}_Z &= i\frac{\partial}{\partial \gamma}
\end{align}

 すると, (不思議なことに)これらは正しく\({\frak{so}}(3)\)代数をなす. ではこの微分演算子は何かというと, 実は\(SO(3)\)上の関数に対する左作用の無限小変換である*3. すなわち, \(SO(3)\)上の関数\(f(g)\ (g=O(\alpha,\beta,\gamma))\)に対して左作用を\(\rho_{\rm L}(h):f(g)\mapsto f(h^{-1}g)\)で定義すると,

\begin{align}
\left.\frac{d}{d\lambda} \rho_{\rm L}(e^{i\lambda J_K})f(g) \right|_{\lambda = 0} = i\hat{J}_Kf(g) \ \ \ (K=X,Y,Z)
\end{align}

ということ. 当然右作用\(\rho_{\rm R}(h):f(g)\mapsto f(gh)\)に対しても考えることができて, 対応するのは次の3つ.

\begin{align}
\hat{J}_x &= i\left(\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}+\sin\alpha\frac{\partial}{\partial\beta}-\frac{\cos\alpha}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial\gamma}\right)\\
\hat{J}_y &= i\left(\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}-\cos\alpha\frac{\partial}{\partial\beta}-\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\frac{\partial}{\partial\gamma}\right)\\
\hat{J}_z &= -i\frac{\partial}{\partial\alpha}
\end{align}

 左作用と右作用は交換するので\(\lbrack J_k, J_K\rbrack = 0\ (k=x,y,z, K=X,Y,Z).\) しかし2乗和は一致する.

\begin{align}
{\bf \hat{J}}^2 := \hat{J}_X^2+\hat{J}_Y^2+\hat{J}_Z^2 = \hat{J}_x^2 + \hat{J}_y^2+\hat{J}_z^2
=\frac{-1}{\sin^2\beta}\left(\frac{\partial^2}{\partial\alpha^2}+\frac{\partial^2}{\partial\gamma^2}-2\cos\beta\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial\gamma}+\sin\beta\frac{\partial}{\partial\beta}\sin\beta\frac{\partial}{\partial\beta}\right)
\end{align}

 交換する3つの演算子,\(\hat{J}_Z,\hat{J}_z, {\bf \hat{J}}^2\)の固有関数がウィグナーD関数(以下"D関数"). *4である. \(I_X=I_Y\)なる対称こまのハミルトニアン

\begin{align}
\hat{H}=\frac{\hat{J}_X^2+\hat{J}_Y^2}{I_X}+\frac{\hat{J}_Z^2}{I_Z} = \frac{{\bf \hat{J}}^2}{I_X}+\left(\frac{1}{I_Z}-\frac{1}{I_X}\right)\hat{J}_Z^2
\end{align}

であるから, D関数はその固有状態を表すことになる.


ウィグナーD関数

 ここではD関数を以下で定義する.

\begin{align}
\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{ik\gamma}d^j_{km}(\beta)e^{im\alpha}\\
\end{align}

ただし,
\begin{align}
d^j_{km}(\beta) := \sum_{s={\rm max}\{0,k-m\}}^{{\rm min}\{j+k,j-m\}}
&(-1)^{-k+m+s}\frac{\sqrt{(j+k)!(j-k)!(j+m)!(j-m)!}}{s!(j+k-s)!(-k+m+s)!(j-m-s)!}\\
&\left(\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)^{2j+k-m-2s}\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)^{-k+m+2s}.
\end{align}

 詳しくは以前の記事を参照.
shironetsu.hatenadiary.com

 固有値は次のようになる.

\begin{align}
\hat{J}_Z\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma) &= -k\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma) \\
\hat{J}_z\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma) &= m\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma)\\
\hat{\bf J}^2\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma) &= j(j+1)\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma)
\end{align}

 重要な関係は, \(j=1\)の場合に\(SO(3)\)の行列とユニタリ変換で結ばれること.

\begin{align}
U=\begin{pmatrix}-1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\-i/\sqrt{2} & 0 & -i/\sqrt{2}\\0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}

\begin{align}
O(\alpha,\beta,\gamma)=U\begin{pmatrix}
\mathcal{D}^{1}_{11} & \mathcal{D}^{1}_{10} & \mathcal{D}^{1}_{1-1}\\
\mathcal{D}^{1}_{01} & \mathcal{D}^{1}_{00} & \mathcal{D}^{1}_{0-1}\\
\mathcal{D}^{1}_{-11} & \mathcal{D}^{1}_{-10} & \mathcal{D}^{1}_{-1-1}
\end{pmatrix}U^\dagger
\end{align}
...式(☆)

 これらを踏まえてコマの量子力学を考える. 一様重力場中の重力ポテンシャルを求める.

 まず重心の位置ベクトルが

\begin{align}
|G\rangle= X_G|X\rangle+ Y_G|Y\rangle+Z_G|Z\rangle
\end{align}

であるとする. これは基底を剛体に固定された\(XYZ\)系に取った場合. 一方, 空間に固定された\(xyz\)系で

\begin{align}
|G\rangle=x_g|x\rangle+ y_g|y\rangle+z_g|z\rangle
\end{align}

であるとすると, これらは,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
x_G\\y_G\\z_G
\end{pmatrix}=O(\alpha,\beta,\gamma)^T
\begin{pmatrix}
X_G\\Y_G\\Z_G
\end{pmatrix}
\end{align}

で結ばれている. 今, 重力加速度\(g\)が\(z\)の負の向きにかかっているなら, 重力ポテンシャルは,

\begin{align}
mg\langle z|G\rangle &= mg z_G\\
&=mg(-X_G\sin\beta\cos\gamma + Y_G\sin\beta\sin\gamma+Z_G\cos\beta)
\end{align}

である. OとDを結ぶ式(☆)を利用して, また\(W_G=X_G+iY_G\)を定義すると,

\begin{align}
mg\left(-\frac{W_G}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^{1}_{10}+\frac{\overline{W_G}}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^1_{-10}+Z_G\mathcal{D}^1_{00}\right)
\end{align}

と表せる. 結局, 一点を固定された一様重力場中のコマのハミルトニアンは全体で

\begin{align}
\hat{H}=\frac{\hat{J}_X^2}{2I_X}+\frac{\hat{J}_Y^2}{2I_Y}+\frac{\hat{J}_Z^2}{2I_Z}+mg\left(-\frac{W_G}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^{1}_{10}+\frac{\overline{W_G}}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^1_{-10}+Z_G\mathcal{D}^1_{00}\right)
\end{align}

となる.


コワレフスカヤのコマ

 ここに\(I_X=I_Y=2I_Z=I, Y_G=Z_G=0\)を課すとコワレフスカヤのコマになる.

\begin{align}
\hat{H}=&\frac{\hat{\bf J}^2+\hat{J}_Z^2}{2I}+
mgX_G\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^{1}_{10}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{D}^1_{-10}\right)
\end{align}

 これを解こう. 詳しい説明は省くが, 次のようなことを考える. \(j\)が整数のD行列は3次元球面上のハール測度で定義される\(SO(3)\)上の関数の\(L^2\)内積に関して直交基底をなす. 正規化も含めて

\begin{align}
|j,k,m\rangle := \sqrt{2j+1}\,\mathcal{D}^{j}_{km}(\alpha,\beta,\gamma)\\
\langle j',k',m'|j,k,m\rangle = \delta_{j'j}\delta_{k'k}\delta_{m'm}
\end{align}

で表す. このとき,

\begin{align}
\langle j',k',m'|D^{J}_{KM}|j,k,m\rangle = (-1)^{j'+k'}\sqrt{(2j'+1)(2j+1)}
\begin{pmatrix}
J&j&j'\\
K&k&-k'
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
J&j&j'\\
M&m&-m'
\end{pmatrix}
\end{align}

が知られている[6]. \(\displaystyle \begin{pmatrix}
\cdot&\cdot&\cdot\\
\cdot&\cdot&\cdot
\end{pmatrix}\)は3j記号. これを使いたくてハミルトニアンにD行列が現れるようにしたのである. これによってハミルトニアンの行列要素\( \langle j',k',m'|\hat{H}|j,k,m\rangle\)が決まり, あとは対角化するだけになる. ここで\(\hat{J}_z\)がハミルトニアンと交換することを利用すると計算量は大幅に減る.


計算結果

 \(I=1\)として\(mg=0, mg=2\)のそれぞれの場合に固有値を求めた結果が以下のグラフ.

f:id:shironetsu:20190115184258p:plain
固有状態の番号と固有値

 固有値を小さいほうから並べた番号が横軸, 縦軸が固有値. \(mg=0\)の自由回転の場合に現れていた縮退(青い楕円で囲って縮退度を付記している)が\(mg=2\)ではほとんど解けている. ただし\(\alpha,\gamma\leftrightarrow -\alpha, -\gamma\)の\(\mathbb{Z}_2\)変換(コマ自身の鏡映対称性に由来)に対応して2重の縮退(オレンジの楕円)は残る.

 そもそもこんなもの縮退が残ると期待するのが無茶な話で, 数値対角化せずとも摂動計算からもこれは分かる. ともあれ, 固有状態を数値的に得られるようになったことには意味がある.

疑問

 コワレフスカヤのコマの可積分性はどこにいってしまったのだろう. コワレフスカヤ積分

\begin{align}
\xi_{\pm} = J_{\pm}^2-2\sqrt{2}\ mgX_GI\left\{\begin{array}{r}
\mathcal{D}^{1}_{-10}\\-\mathcal{D}^{1}_{10}
\end{array}\right\}
\end{align}

によって\(\xi_{+}\xi_{-}\)と表せるが, この対応物は何で, どのような意味を持つのだろう. 引用文献[7]の中でこれについて論じられているのでまずはそのあたりから調べたい.


まとめ

追記:コワレフスカヤ積分

 1/18追記.
 もう少しよく調べると, コワレフスカヤ積分量子力学的対応物はずっと古くから考えられていた. 1933年のLaporte[8]が最初のようだ.

\(\hat{J_{\pm}} = \hat{J}_X\pm i\hat{J}_Y\)と上で定義した\(\xi_\pm\)を使うと,

\begin{align}
\{\hat{\xi}_{+}, \hat{\xi}_{-}\}+ 4\hbar^2\{\hat{J}_{+},\hat{J}_{-}\}
\end{align}

が\(\hat{H}\)と交換するらしい. ただし反交換子は\(\{A,B\}=AB+BA\). 一つ目の項は古典力学と同じだが,"補正項"として二つ目の項が入っている. ここで再び入れた\(\hbar\)から分かるように, 一つ目の項より小さい. このLaporteの結果を用いて補正項の効果などを数値計算で測った結果が2013年に出ている[8].

 困ったことに, 先に引用したHeckman[7]と異なっている(補正項がちょうど逆符号)が, あちらでは"a straightforward calculation shows"を証明に使っていたりする.

 上で書いたコードを使ってLaporte, Heckmanの演算子ハミルトニアン固有ベクトルの一致度を見てみると, ややLaporteのほうが一致度が高いのだが, なかなか収束しなくてどこか怪しい. もう少し工夫する必要がありそう.

 とにかく丁寧な代数的な計算で交換性を見てやればよいわけで, かなり骨が折れそうだが何とかやってみようと思う.

 それにしても気になるのはこの演算子の意味だ. 微分に関して4次で, 4次があるならもっと高次のハミルトニアンと交換する演算子を構成する方法もありそうなものだ.

リファレンス

[1]Sophie Kowalevski, Acta Math. 12 (1889) , 177-232.
https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485881703


[2]吉田春夫, "複素変数で見る古典力学"
https://ir.soken.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=3457&item_no=1&page_id=29&block_id=155

[3]戸田盛和, 『波動と非線形問題30講』, 朝倉書店, 1995.

[4]A.M. Perelomov, "Kovalevskaya top -- an elementary approach", arXiv, 2001
https://arxiv.org/abs/math-ph/0111025

[5]Wikipedia "Wigner D-matrix"
https://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_D-matrix

[6]たとえば
M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957
(日本語訳 : M. E. ローズ, 山内恭彦訳, 『角運動量の基礎理論』, みすず書房, 1971)
A. R. Edmonds, Angular momentum in quantum mechanics, Princeton university press, 1996.

[7]Heckman, G. J. "Quantum integrability for the Kovalevsky top." (1998).
https://www.math.ru.nl/~heckman/Heck_10.pdf
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0019357798800050

[8]Laporte, O. (1933). Note on Kowalewski's top in quantum mechanics. Physical Review, 43(7), 548.
https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.548

[9]Matsuyama, A. (2013). Kowalevski top in quantum mechanics, Annals of Physics, 336, 130-166
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491613001292

*1:「解析的」も「解ける」も可積分系の言葉で言い表すべきだが恥ずかしながらそれらの術語を正しく使える自信がない...

*2:量子化学の本で回転遷移について論じているものを見れば載っている.

*3:多粒子系のシュレディンガー方程式を基礎に置くと,古典の場合と同じように粒子間距離の不変性を課すと得られる.

*4:"ウィグナー関数"が他の意味でつかわれていることから(?)しばしば"D行列"と呼ばれる. Dはドイツ語のDarstellung (representation)から[5],