なぜ8次交代群は2元体上の4×4一般線形群と同型か

イントロ──位数20160の単純群
2元体上の4次一般線形群
6次対称群と2元体上の4次シンプレクティック群
対称行列
28という数
同型写像の例
まとめとこれから
リファレンス

イントロ──位数20160の単純群

定理(Artin,Tits)[1]
ふたつの有限単純群の位数が等しければ
(1) 同型
(2) $B_n(\mathbb{F}_q)\ \mbox{&}\ C_n(\mathbb{F}_q)\ \ \ n\geq 3,q:\mbox{even}$
(3) $A_4(\mathbb{F}_2)\cong {\mathfrak A}_8\ \mbox{&}\ A_3(\mathbb{F}_4)$
のいずれかの組でこれらは互いに排他的(つまり(2)と(3)は非同型な組).

　有限単純群の分類定理が絡むのでこの定理そのものについて語ることはとてもできないが, 例外的同型(exceptional isomorphism)を語るうえで非常に示唆的な定理だろう. 有限単純群はほとんど「位数が等しければ同型」なのである. その例外のうち(2)はLie型の単純群B,Cの組で無限系列. 一方(3)は「例外中の例外」でただひとつこの組しか存在しない.

　このうち $A_3(\mathbb{F}_4)$ は4元体上の3次一般線形群 $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ のことだがいまは見送る.

　今回注目するのは例外(3)の半分. $A_4(\mathbb{F}_2)$ というのがこの記事でこれから見ていく $GL(4,\mathbb{F}_2)$ で, ${\mathfrak A}_8$ は交代群である.

　位数20160のふたつの単純群は同型とは限らないが, 異なる無限系列─Lie型の単純群と交代群に属するこのふたつは同型になるのである. いわばArtin-Titsの定理の例外の例外の例外ともいえるこの同型を調べていく.

2元体上の4次一般線形群

　2元体上の4次元線形空間 $(\mathbb{F}_2)^4$ を考えよう. 正則変換, すなわち4×4正則行列は何個あるか?

　まず非零ベクトルは

$\begin{align} \left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\\0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{c} 0\\1\\0\\0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{c} 1\\1\\0\\0 \end{array} \right),\ \cdots, \left(\begin{array}{c} 1\\1\\1\\1 \end{array} \right) \end{align}$

と, $2^4-1=15$ 本ある.

　これら15本の中からひとつ $v_1$ を第1列にとる.
第2列には $0,v_1$ 以外の16-2=14本の中からひとつ $v_2$ をとる.
第3列には $0,v_1,v_2,v_1+v_2$ 以外の $16-2^2=12$ 本の中からひとつ $v_3$ をとる.
第4列には $0,v_1,v_2,v_3,v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_1,v_v+v_2+v_3$ 以外の $16-2^3=8$ 本の中からひとつ $v_4$ をとる.

　こうしてできる行列 $( v_1,v_2,v_3,v_4)$ は各列が線形独立になり正則になる. 逆に正則行列はこのようにして1通りの方法でしか作れない.

　結局, 4次正則行列は全部で

$15\cdot14\cdot12\cdot8=20160$

本ある.

　これら20160個の行列はこの中で積について閉じているので群をなす. この群は $GL(4,\mathbb{F}_2)$ と表される. $(\mathbb{F}_2)^4$ 上のGeneral Linear groupである. Genaralと言ったが2元体上では0でないことと1であることが同値なので同時にSpecialでもある. さらに, この群には非自明な中心がないため割る前から既にProjectiveでもある.

$\begin{align} GL(4,\mathbb{F}_2)\cong SL(4,\mathbb{F}_2)\cong PSL(4,\mathbb{F}_2) \end{align}$

　その道では $PSL(n,\mathbb{F}_q)$ は $L_n(q)$ と短く表記されたりもする. が, $L_n(q)$ は(そのままでは行列のような形をとらないような)抽象的な群という印象を持っているので(あくまで個人的にだが...)基本的には $GL(4,\mathbb{F}_2)$ で表す.

　さて, ここに重要な等式がある.

$20160=\frac{8!}{2}$

　階乗÷2なので交代群の位数である. 数勘定だけでいえば

$|GL(4,\mathbb{F}_2)|=|{\mathfrak A}_8|$

　になるということ. 驚くべきことに, 実は位数が等しいだけではなく

$GL(4,\mathbb{F}_2)\cong {\mathfrak A}_8$

　なのである(Jordanが最初に気付いたらしい[2]). 当然ここで疑問が生じる: $GL(4,\mathbb{F}_2)$ の元は8個の何に対して置換として働くのか?

　つまり $GL(4,\mathbb{F}_2)$ から ${\mathfrak A}_8$ への同型写像を明示的に表すことが目標になる.

6次対称群と2元体上の4次シンプレクティック群

　ここで6次対称群の変な性質を思い出す. 詳しくは過去の記事参照.
6次対称群指標表手作り体験記 - Shironetsu Blog

　いま注目するのは

$Sp(4,\mathbb{F}_2)\cong {\mathfrak S}_6$

という同型. 左辺は2元体上の4×4シンプレクティック行列のなす群で右辺が6次対称群.

$\begin{align} Sp(4,\mathbb{F}_2) = \left\{ X\in GL(4,\mathbb{F}_2)\mid X^TJX=J\right\} \end{align}$

　ここに出てくる $J$ は

$\begin{align} J=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} \end{align}$

という行列.

　なぜこれが6次対称群と同型か?

　まず $\{1,2,3,4,5,6\}$ の大きさ2の部分集合(Baez[4]に倣ってデュアッドと呼ぶ)を $(\mathbb{F}_2)^4$ の非0ベクトルと対応付ける. ともに15個あって, 天下り的だがたとえば

$\begin{align} \{1,2\}:\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\\0 \end{array} \right),\ \{1,3\}:\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0\\0 \end{array} \right),\ \{1,4\}:\left(\begin{array}{c} 1\\1\\1\\0 \end{array} \right),\ \{1,5\}:\left(\begin{array}{c} 1\\1\\0\\1 \end{array} \right),\ \{1,6\}:\left(\begin{array}{c} 1\\1\\1\\1 \end{array} \right)\\ \{2,3\}:\left(\begin{array}{c} 1\\1\\0\\0 \end{array} \right),\ \{2,4\}:\left(\begin{array}{c} 0\\1\\1\\0 \end{array} \right),\ \{2,5\}:\left(\begin{array}{c} 0\\1\\0\\1 \end{array} \right),\ \{2,6\}:\left(\begin{array}{c} 0\\1\\1\\1 \end{array} \right),\ \{3,4\}:\left(\begin{array}{c} 1\\0\\1\\0 \end{array} \right)\\ \{3,5\}:\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\\1 \end{array} \right),\ \{3,6\}:\left(\begin{array}{c} 1\\0\\1\\1 \end{array} \right),\ \{4,5\}:\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1\\1 \end{array} \right),\ \{4,6\}:\left(\begin{array}{c} 0\\0\\0\\1 \end{array} \right),\ \{5,6\}:\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1\\0 \end{array} \right) \end{align}$

ととれる. これはどのように組み合わされているか? デュアッド $\{a,b\}$ に対応する相手を $v_{ab}$ で表そう. すると,

$\begin{align}v_{ab}^TJv_{ab}&=0\\v_{ab}^TJv_{ac}&=1\\v_{ab}^TJv_{cd}&=0 \end{align}$

が成り立っていることが分かる( $a,b,c,d$ は相異なる). つまり, ふたつのデュアッドの共通部分がただ1つならシンプレクティック形式が1, そうでないなら0になるということ. $Sp(4,\mathbb{F}_2)$ はこれを保つ変換の全体である.

　さて, 「どのふたつをとってもシンプレクティック形式が１になる」ような大きさ5の $(\mathbb{F}_2)^4$ の部分集合は

$\begin{gather} V_1:\{v_{12},v_{13},v_{14},v_{15},v_{16}\}\\ V_2:\{v_{12},v_{23},v_{24},v_{25},v_{26}\}\\ \vdots\\ V_6:\{v_{16},v_{26},v_{36},v_{46},v_{56}\}\\ \end{gather}$

のちょうど6個あって, $Sp(4,\mathbb{F}_2)$ は $(\mathbb{F}_2)^4$ への作用でこれら6個の部分集合に対しても置換としてはたらく.
ここから6次対称群への同型写像ができるのである*1.

対称行列

　6次対称群は行列 $J$ を保つような4次行列のなす群と同型であったが,　 $J$ を保つという軛から解き放ってやればそのまま $GL(4,{\mathbb F}_2)$ になる.

　ここで少しコンピューターの力を借りて観察.

問題1: $GL(4,{\mathbb F}_2)$ に対称行列はいくつあるか*2?
答え:448.

問題2: $X\in GL(4,{\mathbb F}_2)$ に対して $XX^T$ は何通りの行列になるか?
答え:420.

問題3: $X\in GL(4,{\mathbb F}_2)$ に対して $XJX^T$ は何通りの行列になるか?
答え:28.

28個!!!!!勝った........

　まず $GL(4,\mathbb{F}_2)$ は

$\begin{align} f_X:M\mapsto XMX^T\ \ \ X\in GL(4,\mathbb{F}_2) \end{align}$

によって対称行列の全体に作用する(左からの作用で定義したいため転置するほうを右側にしていることに注意):

$M^T=M\Rightarrow (f_XM)^T=f_XM$
特に, 行列式を変えないから, 正則な対称行列全体 ${\mathcal B}$ に作用する.

$\begin{align} {\mathcal B}:=\{M\in GL(4,\mathbb{F}_2)\mid M^T=M\} \end{align}$

　上でやった観察はそれぞれ

問題1: $|{\mathcal B}|=448$
問題2:単位行列を代表元に持つ $f_X$ の軌道( ${\mathcal S}$ とする)は420個の元を含む.
問題3: $J$ を代表元に持つ $f_X$ の軌道( ${\mathcal A}$ とする)は28個の元を含む*3.

ということを意味している. ${\mathcal B}$ が大きさ420の ${\mathcal S}$ と大きさ28の ${\mathcal A}$ に分かれるということ.

　実は軌道 ${\mathcal A}$ の元はすべての対角成分が0で, 一方軌道 ${\mathcal S}$ の元は対角成分に少なくともひとつは1を含んでいる. これは

$\begin{align} {\mathcal S}&=\{M\in {\mathcal B}\mid \exists v\in (\mathbb{F}_2)^4,\ v^TMv=1\}\\ {\mathcal A}&=\{M\in {\mathcal B}\mid \forall v\in (\mathbb{F}_2)^4,\ v^TMv=0\} \end{align}$

ということ. 標数2では $-1=1$ なので対称行列と反対称行列の区別はないが, ${\mathcal S}$ の元は対称行列, ${\mathcal A}$ の元は反対称行列のようなものだと言える.

28という数

元の数が28個だと何が嬉しいか. ${\mathcal A}$ のほうをもう少し詳しく見る.

問題4: $M_1\in {\mathcal A}$ に対して $M_1+M_2 \in {\mathcal A}$ となる $M_2\in {\mathcal A}$ は何個あるか?
答え:常に12.

　さらに都合が良くなった. というのは, 6次対称群のときと同じように $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ の大きさ2の部分集合をデュアッドと呼ぶと, 勝手なデュアッドに対して共通部分がただ1つのデュアッドも12個だから.

${\mathcal A}$ の元が

$\begin{align} \begin{pmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&d&e\\ b&d&0&f\\ c&e&f&0 \end{pmatrix} \end{align}$

の形をしていることを思い出して省スペースのためこれを

$\begin{align} \begin{array}{l} a\\ b\ d\\ c\ e\ f \end{array} \end{align}$

と表すことにして, たとえば以下のようにデュアッドと対応付ける.

$\begin{align} \{1,2\}: \begin{array}{l} 0\\ 0\ 1\\ 1\ 0\ 0 \end{array}\ \ \ \{1,3\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 1\\ 0\ 1\ 0 \end{array}\ \ \ \{1,4\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 1\\ 0\ 0\ 1 \end{array}\ \ \ \{1,5\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 0\\ 1\ 0\ 1 \end{array}\\\\ \{1,6\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 1\\ 0\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{1,7\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 0\\ 1\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{1,8\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 0\\ 1\ 1\ 0 \end{array}\ \ \ \{2,3\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 0\\ 1\ 1\ 0 \end{array}\\\\ \{2,4\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 0\\ 1\ 0\ 1 \end{array}\ \ \ \{2,5\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 1\\ 0\ 0\ 1 \end{array}\ \ \ \{2,6\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 0\\ 1\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{2,7\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 1\\ 0\ 1\ 1 \end{array}\\\\ \{2,8\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 1\\ 0\ 1\ 0 \end{array}\ \ \ \{3,4\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 0\\ 0\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{3,5\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 1\\ 1\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{3,6\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 0\\ 0\ 0\ 1 \end{array}\\\\ \{3,7\}: \begin{array}{l} 0\\ 0\ 1\\ 1\ 0\ 1 \end{array}\ \ \ \{3,8\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 1\\ 1\ 0\ 0 \end{array}\ \ \ \{4,5\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 1\\ 1\ 0\ 0 \end{array}\ \ \ \{4,6\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 0\\ 0\ 1\ 0 \end{array}\\\\ \{4,7\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 1\\ 1\ 1\ 0 \end{array}\ \ \ \{4,8\}: \begin{array}{l} 0\\ 0\ 1\\ 1\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{5,6\}: \begin{array}{l} 0\\ 0\ 1\\ 1\ 1\ 0 \end{array}\ \ \ \{5,7\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 0\\ 0\ 1\ 0 \end{array}\\\\ \{5,8\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 0\\ 0\ 1\ 1 \end{array}\ \ \ \{6,7\}: \begin{array}{l} 1\\ 1\ 1\\ 1\ 0\ 0 \end{array}\ \ \ \{6,8\}: \begin{array}{l} 0\\ 1\ 1\\ 1\ 0\ 1 \end{array}\ \ \ \{7,8\}: \begin{array}{l} 1\\ 0\ 0\\ 0\ 0\ 1 \end{array} \end{align}$

$\{a,b\}$ に対応する ${\mathcal A}$ の元を $D_{ab}$ で表すと,

$\begin{align} D_{ab}+D_{ab}&\not\in {\mathcal A}\\ D_{ab}+D_{ac}&=D_{bc}\in {\mathcal A}\\ D_{ab}+D_{cd}&\not\in {\mathcal A} \end{align}$

となっている(ただし $a,b,c,d$ は相異なる). すなわち,

$\begin{align} \det(D_{ab}+D_{ab})&=0\\ \det(D_{ab}+D_{ac})&=1\\ \det(D_{ab}+D_{cd})&=0 \end{align}$

行列の和というのはふつう行列式とは相性が悪いものなのでこれはかなり驚くべき性質だ.

これによって「どの2つをとっても和が正則」となるような大きさ7の ${\mathcal A}$ の部分集合はちょうど8個であることが分かる.

$\begin{gather} {\mathcal A}_1:\{D_{12},D_{13},D_{14},D_{15},D_{16},D_{17},D_{18}\}\\ {\mathcal A}_2:\{D_{12},D_{23},D_{24},D_{25},D_{26},D_{27},D_{28}\}\\ \vdots\\ {\mathcal A}_8:\{D_{18},D_{28},D_{38},D_{48},D_{58},D_{68},D_{78}\} \end{gather}$

　さて, 上で定義した $f_X:M\mapsto XMX^T$ は線形変換であって, 更に行列式を変えないのだった.従って $\{{\mathcal A}_1,{\mathcal A}_2,\cdots,{\mathcal A}_8\}$ に対して(全ての元に対する作用で)置換として働いて, $\sigma\in{\mathfrak S}_8$ によって

$\begin{align} f_X{\mathcal A}_i={\mathcal A}_{\sigma(i)} \end{align}$

と表せたとすると, $\varphi:X\mapsto \sigma$ が $GL(4,\mathbb{F}_2)$ から ${\mathfrak S}_8$ への準同型写像となる. ちゃんと示さないが単射なので $\varphi(GL(4,\mathbb{F}_2))$ は位数20160;指数2の ${\mathfrak S}_8$ の部分群で, このようなものは自己同型の差を除いて ${\mathfrak A}_8$ のほかに存在しないので,結局

$GL(4,\mathbb{F}_2) \cong {\mathfrak A}_8$

を得た.

同型写像の例

　一般にn次交代群の共役類の数は

$\frac{1}{2}(p(n)+3c(n))$ .

である. $p(n)$ は分割数*4, $c(n)$ は相異なる1以上の奇数の和への分け方の数*5.
$p(8)=22,c(8)=2$ なので8次交代群の共役類は14個.
置換の型(2つに分かれる場合には添え字1,2付き)で表すと以下の表のようになる.

$\begin{align} \begin{array}{|c|r|}\hline \mbox{共役類}C&|C|\\ \hline \lbrack 1^8\rbrack&1\\ \lbrack 1^53^1\rbrack&112\\ \lbrack 1^42^2\rbrack&210\\ \lbrack 1^35^1\rbrack&1344\\ \lbrack 1^22^14^1\rbrack&2520\\ \lbrack 1^23^2\rbrack&1120\\ \lbrack 1^12^23^1\rbrack&1680\\ \lbrack 2^4\rbrack&105\\ \lbrack 1^17^1\rbrack_1&2880\\ \lbrack 1^17^1\rbrack_2&2880\\ \lbrack 2^16^1\rbrack&3360\\ \lbrack 3^15^1\rbrack_1&1344\\ \lbrack 3^15^1\rbrack_2&1344\\ \lbrack 4^2\rbrack&1260\\ \hline \end{array} \end{align}$

　代表元同士の関係を挙げるとちょっと過剰なので同型写像による生成元間の対応関係を挙げよう.

$\begin{gather} (12)(78):\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{pmatrix}\ \ \ (123):\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}\ \ \ (1234)(78):\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\ 1&1&1&0\\ 1&0&1&1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}\\ (12345):\begin{pmatrix} 1&1&0&1\\ 1&1&1&0\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix}\ \ \ (123456)(78):\begin{pmatrix} 1&1&0&1\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\ \ \ (1234567):\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 0&1&1&0\\ 1&1&1&1\\ 0&1&0&1 \end{pmatrix} \end{gather}$

　このうち $(1234567)$ 以外は $\{7,8\}$ の固定部分群として ${\mathfrak S}_6$ を生成する. 一方対応する $GL(4,\mathbb{F}_2)$ の行列は $J$ を固定する(そうなるように上でデュアッドと $\mathcal{A}$ を対応させた. 特に $D_{78}=J$ とした). つまり $Sp(4,{\mathbb F}_2)$ の生成元になっている.

まとめとこれから

　この記事では $GL(4,\mathbb{F}_2)\cong{\mathfrak A}_8$ の間の同型写像を明示的に与えた.Edge[3]が似たようなことを言っている気がする...が正直理解していない.
　これはまだちゃんと検証していないが, 2元体上の正則3×3対称行列は28個あってこの全体に対して正則行列が(行列とその転置で挟む形で)推移的に作用する(一般に奇数次元では対角要素がすべて0なら正則ではない). となるとここでやったのと同じように $GL(3,\mathbb{F}_2)$ は8要素に対する置換として働くことになり, $GL(3,\mathbb{F}_2)\cong PSL(2,\mathbb{F}_7)$ の同型が半分示されていることになる.
　どこまでが「背景」と言えるかは難しいところだが, Mathieu群が控えていたり, 5×5では $E_8$ が関わってきたりするらしい[6]ので興味ある話題は尽きない

リファレンス

[1]Garge, S.M. On the orders of finite semisimple groups, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) (2005) 115: 411.
https://doi.org/10.1007/BF02829803

[2]Murray, J. (1999). The Alternating Group A_8 and the General linear Group GL_4(2). Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy, 99A(2), 123-132.
http://www.jstor.org/stable/20459753

[3]W.L. Edge, The Geometry of the Linear Fractional Group LF(4,2), Proceedings of the London Mathematical Society 3 (4) (1953), 317-42.
https://doi.org/10.1112/plms/s3-4.1.317

[4]J. Baez, Some Thoughts on the Number 6
http://math.ucr.edu/home/baez/six.html

[5]Brown, E., & Loehr, N. (2009). Why Is PSL(2,7) ≅ GL(3,2)? The American Mathematical Monthly, 116(8), 727-732. Retrieved from http://www.jstor.org/stable/40391199

[6]Dempwolff_group - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Dempwolff_group

*1:同型写像であることを言うにはもう少ししっかり考える必要があるが...

*2:この数列はOEISに登録されていた. A086812 Number of symmetric invertible n X n matrices over GF(2). https://oeis.org/A086812 問題2,3の数列は見つからず.

*3: $Sp(4,\mathbb{F}_2)$ がこのうち $J$ の固定部分群なのだから, 軌道-固定点定理から28=20160/720が(実はわざわざ計算機で調べなくても)分かる.

*4:https://oeis.org/A000041

*5:https://oeis.org/A000700