Introduction
の原始 乗根全てを根に持つ多項式で、モニック(最高次の係数が )なものを 次の 円分多項式 (cyclotomic polynomial) と呼ぶ. これを で表す.
定義からすぐに導けるように,
\begin{align}
\Phi_n(X) = \prod_{\begin{array}{cc}
1 \leq k < n \\
{\rm gcd}(n,k) = 1
\end{array}} \left(X-\exp{\frac{2\pi \sqrt{-1}\,k}{n}}\right).
\end{align}
これを展開する方法は後で説明することにして, 最初のいくつかを見よう.
\begin{align}
\Phi_1(X) &= X-1\\
\Phi_2(X) &= X+1\\
\Phi_3(X) &= X^2+X+1\\
\Phi_4(X) &= X^3+X^2+X+1\\
\Phi_5(X) &= X^4+X^3+X^2+X+1\\
\Phi_6(X) &= X^2-X+1\\
\Phi_7(X) &= X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1\\
\Phi_8(X) &= X^4+1\\
\Phi_9(X) &= X^6+X^3+1\\
\Phi_{10}(X) &= X^4-X^3+X^2-X+1\\
\Phi_{11}(X) &= X^{10}+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1\\
\Phi_{12}(X) &= X^4-X^2+1
\end{align}
この範囲で各項の係数には しか現れない. 延々と計算を続けると, に至っても係数はやはり のいずれかで, 円分多項式とはそういうものなのだと予想したくなる. ところが, に至って平穏は破られ, 係数に が出現する:
\begin{align}
\require{autobold}
\Phi_{105}(X) =
& \phantom{+}X^{48}+ X^{47}+ X^{46}- X^{43}- X^{42}-\boldsymbol{2X^{41}}- X^{40} - X^{39}+ X^{36} + X^{35} + X^{34}\\
&+X^{33}+ X^{32} + X^{31} - X^{28} - X^{26}- X^{24} - X^{22}- X^{20}+ X^{17} + X^{16} + X^{15}\\
&+ X^{14}+ X^{13}+ X^{12} - X^{9}- X^{8}\boldsymbol{-2X^{7}}- X^{6} - X^{5} + X^{2}+ X + 1.
\end{align}
最初かどうかは定かではないが1883年にMigottiが気付いたことらしい [1, 2].
円分多項式の係数に関する諸現象の全ての起点がこの と言っても過言ではないだろう. なぜ なのか?という疑問を持つのは当然として, 比較的注目されにくい点として,
なぜ
次の項なのか?
という謎を追究したい(次のほうを無視したのは全体の次数 から来ているから).
実は,
ことが示される. から数えてまではフラットで, になって突然...というのは少しBorwein 積分 を思い出す.
この事実は本記事の後半で, 計算機を使った方法によって確かめられる. 円分多項式の係数を計算するための基本的なツールを概観していこう.
鈴木の定理
以外の数がいつ現れるかも見よう. まず が で現れる.
\begin{align}
\Phi_{165}(X) =
&\phantom{+}X^{80}+X^{79}+X^{78}-X^{75}-X^{74}-X^{73}-X^{69}-X^{68}-X^{67}+X^{65}\\
&\boldsymbol{+2X^{64}+2X^{63}}+X^{62}-X^{60}-X^{59}-X^{58}-X^{54}-X^{53}-X^{52}+X^{50}\\
&+\boldsymbol{2X^{49}+2X^{48}+2X^{47}}+X^{46}-X^{44}-X^{43}-X^{42}-X^{41}-X^{40}-X^{39}\\
&-X^{38}-X^{37}-X^{36}+X^{34}\boldsymbol{+2X^{33}+2X^{32}+2X^{31}}+X^{30}-X^{28}-X^{27}\\
&-X^{26}-X^{22}-X^{21}-X^{20}+X^{18}\boldsymbol{+2X^{17}+2X^{16}}+X^{15}-X^{13}-X^{12}\\
&-X^{11}-X^{7}-X^{6}-X^{5}+X^{2}+X+1
\end{align}
は .
\begin{align}
\Phi_{385}(X) =
&\phantom{+}X^{240}+X^{239}+X^{238}+X^{237}+X^{236}-X^{233}-X^{232}-X^{231}-X^{230}-2X^{229}\\
&-X^{228}-X^{227}-X^{2\,\!26}-X^{225}+X^{222}+X^{221}+X^{220}+X^{219}+X^{2\,\!18}+X^{205}\\
&+X^{204}+X^{203}+X^{202}+X^{201}-X^{198}-X^{197}-X^{196}-X^{195}-2X^{194}-X^{193}\\
&-X^{192}-X^{191}-X^{190}+X^{187}+X^{186}+2X^{185}+2X^{184}+2X^{183}+X^{182}+X^{181}\\
&-X^{178}-X^{177}-X^{176}-X^{175}-2X^{174}-X^{173}-X^{172}-X^{171}+X^{169}+X^{168}\\
&+2X^{167}+2X^{166}+X^{165}+X^{164}+X^{163}-X^{159}-X^{158}-X^{157}-2X^{156}-2X^{155}\\
&-X^{154}-X^{153}-X^{152}+X^{150}+X^{149}+X^{148}+X^{147}+X^{146}+X^{145}+X^{144}\\
&-X^{140}-2X^{139}-X^{138}-X^{137}-X^{136}+X^{134}+X^{133}+2X^{132}+2X^{131}+2X^{130}\\
&+2X^{129}+2X^{128}+X^{127}+X^{126}-X^{124}-2X^{123}-2X^{122}\boldsymbol{-3X^{121}-3X^{120}-3X^{119}}\\
&-2X^{118}-2X^{117}-X^{116}+X^{114}+X^{113}+2X^{112}+2X^{111}+2X^{110}+2X^{109}+2X^{108}\\
&+X^{107}+X^{106}-X^{104}-X^{103}-X^{102}-2X^{101}-X^{100}+X^{96}+X^{95}+X^{94}\\
&+X^{93}+X^{92}+X^{91}+X^{90}-X^{88}-X^{87}-X^{86}-2X^{85}-2X^{84}-X^{83}\\
&-X^{82}-X^{81}+X^{77}+X^{76}+X^{75}+2X^{74}+2X^{73}+X^{72}+X^{71}-X^{69}\\
&-X^{68}-X^{67}-2X^{66}-X^{65}-X^{64}-X^{63}-X^{62}+X^{59}+X^{58}+2X^{57}\\
&+2X^{56}+2X^{55}+X^{54}+X^{53}-X^{50}-X^{49}-X^{48}-X^{47}-2X^{46}-X^{45}\\
&-X^{44}-X^{43}-X^{42}+X^{39}+X^{38}+X^{37}+X^{36}+X^{35}+X^{22}+X^{21}\\
&+X^{20}+X^{19}+X^{18}-X^{15}-X^{14}-X^{13}-X^{12}-2X^{11}-X^{10}-X^{9}\\
&-X^{8}-X^{7}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1
\end{align}
は , は ...と延々と続けられるが一旦やめておく. 実は
ことが鈴木の与えた定理によって保証されている [3, 4]. ちなみにこの論文はわずか1ページ強しかない.
鈴木の定理の概要を述べる前に, 本記事を通して使うことになる記号と用語を定めておく.
- 円分多項式 の を位数(order)と呼ぶことにする.
これはかなり苦し紛れだがご容赦いただきたい. "-th cyclotomic polynomial" と呼ばれるばかりであまり統一された呼び名がない. ただ, 後述するOEIS上のdescriptionでは" order of cyclotomic polynomial"という語が見られるし,
全ての根が の乗法に関する位数になることを考慮に入れるとまずまず良い呼び名なのではないかと思う.
- 位数 の円分多項式の, 次の項の係数を, と表す. すなわち,
\begin{align}
\Phi_n(X) = \sum_{k \geq 0}a(n,k) X^k.
\end{align}
この下で, 鈴木の定理の内容を述べると以下のようになる(実際にtheoremのステートメントにされているのは円分多項式には全ての整数が現れるという部分だけ):
を3以上の奇数とする.
個の奇
素数 が
\begin{gather}
p_1< p_2 < \cdots < p_t,\\
p_1+p_2 > p_t
\end{gather}
を満たすとき,
について,
\begin{align}
&a(n,p_t) = -t + 1, & &a(n,p_t-2) = -t+2,\\
&a(2n,p_t) = t-1, & &a(2n,p_t-2) = t-2
\end{align}
が成り立つ. 任意の
に対して上の条件を満たす
が存在することが,
素数定理によって示されるため, 自明な0を含めて円分
多項式の係数は全ての整数値を取る.
の場合, は3つの素因数が上の条件を満たす:
\begin{gather}
3< 5 < 7,\\
3+5 > 7
\end{gather}
定理の示すところによると,
\begin{align}
a(105, 7) = -2, \hspace{12pt} a(105,5) = -1
\end{align}
だが, 実際これは成り立っていることを上で見た.
の場合, 最小の位数は
\begin{align}
11\cdot 13\cdot 17 \cdot 19\cdot 23=1062347
\end{align}
と, 一気に大きくなる. では
\begin{align}
23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 = 63392725189.
\end{align}
爆発的に増加する.
鈴木の定理は全ての整数 に対して を満たす最小の位数 が存在することを保証してくれる. しかし, 定理のステートメントに現れるそれより実際の位数はずっと小さい.
円分多項式 を の多項式として具体的に計算する方法について説明しよう. 円分多項式は の原始 乗根を根に持つ多項式なのだった. そのため, ある に対してその約数を位数に持つ円分多項式をすべて乗じると, の 乗根全てをちょうど1つずつ根に持つ多項式になる. すなわち,
\begin{align}
X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X).
\end{align}
形式的にこの両辺の対数を取る.
\begin{align}
\log(X^n-1) = \sum_{d \mid n} \log\Phi_d(X)
\end{align}
反転公式を使うと,
\begin{align}
\log\Phi_n(X) &= \sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) \log(X^d-1)\\
\Phi_n(X) &= \prod_{d\mid n} (X^d-1)^{\mu(n/d)}
\end{align}
・・・・・・(☆)
が導かれる. ただし はメビウス関数.
の場合には,
\begin{align}
\Phi_{105}(X) &= \frac{(X^{105}-1)(X^3-1)(X^5-1)(X^7-1)}{(X^{35}-1)(X^{21}-1)(X^{15}-1)(X-1)}
\end{align}
という風に計算できる. とはいえ手計算ではなかなか大変. 円分多項式の各項の次数-係数を与えるC++コードはたとえばこう書ける:
#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
using polynomial = map<int, int>;
int main()
{
int n;
cin >> n;
int m = n;
vector<int> prime_factors;
for (int d = 2; d * d <= m; ++d)
{
if (m % d)
{
continue;
}
prime_factors.push_back(d);
do
{
m /= d;
} while (m % d == 0);
}
if (m > 1)
{
prime_factors.push_back(m);
}
int size = prime_factors.size();
polynomial numerator = {{0, 1}};
polynomial denominator = {{0, 1}};
for (int i = 0; i < (1 << size); ++i)
{
int k = n;
int parity = 0;
for (int j = 0; j < size; ++j)
{
if (i & (1 << j))
{
k /= prime_factors.at(j);
parity ^= 1;
}
}
polynomial *poly = (parity == 1) ? &denominator : &numerator;
polynomial copy(*poly);
for (auto iter = poly->begin(); iter != poly->end(); ++iter)
{
int deg = iter->first;
int coef = iter->second;
copy[deg + k] -= coef;
}
*poly = copy;
}
int deg_num = numerator.rbegin()->first;
int deg_den = denominator.rbegin()->first;
int deg_quo = deg_num - deg_den;
int sign = numerator.rbegin()->second;
int num[deg_num + 1];
int den[deg_den + 1];
int quo[deg_quo + 1];
for (int i = 0; i <= deg_num; ++i)
{
num[i] = numerator[i];
}
for (int i = 0; i <= deg_den; ++i)
{
den[i] = denominator[i];
}
for (int i = deg_quo; i >= 0; --i)
{
int c = sign * num[i + deg_den];
quo[i] = c;
for (int j = 0; j <= deg_den; ++j)
{
num[i + j] -= c * den[j];
}
cout << i << " " << c << endl;
}
}
出力例:
15
8 1
7 -1
6 0
5 1
4 -1
3 1
2 0
1 -1
0 1
意味するところは,
\begin{align}
\Phi_{15}(X) &= X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1.
\end{align}
このプログラムを使って, ある整数が最初に現れる円分多項式の位数を計算していく. 正負を分けて考えたいので, 2以上の自然数 に対して,
を満たす が存在する最小の位数 を で表すことにする. 結果を貼ろう. 300行以上あるのでダーッとスクロールしてほしい.
| | |
2 | 165 | 105 |
3 | 595 | 385 |
4 | 1785 | 1365 |
5 | 1785 | 2145 |
6 | 2805 | 2805 |
7 | 3135 | 3135 |
8 | 6545 | 6545 |
9 | 6545 | 7917 |
10 | 10465 | 10465 |
11 | 10465 | 10465 |
12 | 10465 | 10465 |
13 | 10465 | 10465 |
14 | 10465 | 10465 |
15 | 11305 | 11305 |
16 | 11305 | 11305 |
17 | 11305 | 11305 |
18 | 11305 | 11305 |
19 | 11305 | 11305 |
20 | 11305 | 11305 |
21 | 11305 | 11305 |
22 | 15015 | 15015 |
23 | 11305 | 17255 |
24 | 20615 | 17255 |
25 | 17255 | 17255 |
26 | 20615 | 20615 |
27 | 20615 | 25935 |
28 | 26565 | 26565 |
29 | 26565 | 26565 |
30 | 26565 | 26565 |
31 | 26565 | 26565 |
32 | 26565 | 26565 |
33 | 26565 | 26565 |
34 | 26565 | 26565 |
35 | 26565 | 26565 |
36 | 26565 | 26565 |
37 | 26565 | 26565 |
38 | 26565 | 26565 |
39 | 26565 | 26565 |
40 | 26565 | 26565 |
41 | 26565 | 26565 |
42 | 26565 | 26565 |
43 | 26565 | 26565 |
44 | 26565 | 26565 |
45 | 26565 | 26565 |
46 | 26565 | 26565 |
47 | 26565 | 26565 |
48 | 26565 | 26565 |
49 | 26565 | 26565 |
50 | 26565 | 40755 |
51 | 26565 | 26565 |
52 | 40755 | 26565 |
53 | 40755 | 26565 |
54 | 40755 | 26565 |
55 | 26565 | 40755 |
56 | 26565 | 40755 |
57 | 40755 | 40755 |
58 | 40755 | 40755 |
59 | 26565 | 40755 |
60 | 40755 | 40755 |
61 | 40755 | 40755 |
62 | 40755 | 40755 |
63 | 40755 | 40755 |
64 | 40755 | 40755 |
65 | 40755 | 40755 |
66 | 40755 | 40755 |
67 | 40755 | 40755 |
68 | 40755 | 40755 |
69 | 40755 | 40755 |
70 | 40755 | 40755 |
71 | 40755 | 40755 |
72 | 40755 | 40755 |
73 | 40755 | 40755 |
74 | 40755 | 40755 |
75 | 40755 | 40755 |
76 | 40755 | 40755 |
77 | 40755 | 40755 |
78 | 40755 | 40755 |
79 | 40755 | 40755 |
80 | 40755 | 40755 |
81 | 40755 | 40755 |
82 | 40755 | 40755 |
83 | 40755 | 40755 |
84 | 40755 | 40755 |
85 | 40755 | 40755 |
86 | 40755 | 40755 |
87 | 40755 | 40755 |
88 | 40755 | 40755 |
89 | 40755 | 40755 |
90 | 40755 | 40755 |
91 | 40755 | 40755 |
92 | 40755 | 40755 |
93 | 40755 | 40755 |
94 | 40755 | 40755 |
95 | 40755 | 40755 |
96 | 40755 | 40755 |
97 | 40755 | 40755 |
98 | 40755 | 40755 |
99 | 40755 | 40755 |
100 | 40755 | 40755 |
101 | 40755 | 40755 |
102 | 40755 | 40755 |
103 | 40755 | 40755 |
104 | 40755 | 40755 |
105 | 40755 | 40755 |
106 | 40755 | 40755 |
107 | 40755 | 40755 |
108 | 40755 | 40755 |
109 | 40755 | 40755 |
110 | 40755 | 40755 |
111 | 40755 | 40755 |
112 | 40755 | 40755 |
113 | 40755 | 40755 |
114 | 40755 | 40755 |
115 | 40755 | 40755 |
116 | 40755 | 40755 |
117 | 40755 | 40755 |
118 | 40755 | 40755 |
119 | 40755 | 40755 |
120 | 40755 | 40755 |
121 | 40755 | 40755 |
122 | 40755 | 40755 |
123 | 40755 | 40755 |
124 | 40755 | 40755 |
125 | 40755 | 40755 |
126 | 40755 | 40755 |
127 | 40755 | 40755 |
128 | 40755 | 40755 |
129 | 40755 | 40755 |
130 | 40755 | 40755 |
131 | 40755 | 40755 |
132 | 40755 | 40755 |
133 | 40755 | 40755 |
134 | 40755 | 40755 |
135 | 40755 | 40755 |
136 | 40755 | 40755 |
137 | 40755 | 40755 |
138 | 40755 | 40755 |
139 | 40755 | 40755 |
140 | 40755 | 40755 |
141 | 40755 | 40755 |
142 | 40755 | 40755 |
143 | 40755 | 40755 |
144 | 40755 | 40755 |
145 | 40755 | 40755 |
146 | 40755 | 40755 |
147 | 40755 | 40755 |
148 | 40755 | 40755 |
149 | 40755 | 40755 |
150 | 40755 | 40755 |
151 | 40755 | 40755 |
152 | 40755 | 40755 |
153 | 40755 | 40755 |
154 | 40755 | 40755 |
155 | 40755 | 40755 |
156 | 40755 | 40755 |
157 | 40755 | 40755 |
158 | 40755 | 40755 |
159 | 40755 | 40755 |
160 | 40755 | 40755 |
161 | 40755 | 40755 |
162 | 40755 | 40755 |
163 | 40755 | 40755 |
164 | 40755 | 40755 |
165 | 40755 | 40755 |
166 | 40755 | 40755 |
167 | 40755 | 40755 |
168 | 40755 | 40755 |
169 | 40755 | 40755 |
170 | 40755 | 40755 |
171 | 40755 | 40755 |
172 | 40755 | 40755 |
173 | 40755 | 40755 |
174 | 40755 | 40755 |
175 | 40755 | 40755 |
176 | 40755 | 40755 |
177 | 40755 | 40755 |
178 | 40755 | 40755 |
179 | 40755 | 40755 |
180 | 40755 | 40755 |
181 | 40755 | 40755 |
182 | 40755 | 40755 |
183 | 40755 | 40755 |
184 | 40755 | 40755 |
185 | 40755 | 40755 |
186 | 40755 | 40755 |
187 | 40755 | 40755 |
188 | 40755 | 40755 |
189 | 40755 | 40755 |
190 | 40755 | 40755 |
191 | 40755 | 40755 |
192 | 40755 | 40755 |
193 | 40755 | 40755 |
194 | 40755 | 40755 |
195 | 40755 | 40755 |
196 | 40755 | 40755 |
197 | 40755 | 40755 |
198 | 40755 | 40755 |
199 | 40755 | 40755 |
200 | 40755 | 40755 |
201 | 40755 | 40755 |
202 | 40755 | 40755 |
203 | 40755 | 40755 |
204 | 40755 | 40755 |
205 | 40755 | 40755 |
206 | 40755 | 40755 |
207 | 40755 | 40755 |
208 | 40755 | 40755 |
209 | 40755 | 40755 |
210 | 40755 | 40755 |
211 | 40755 | 40755 |
212 | 40755 | 40755 |
213 | 40755 | 40755 |
214 | 40755 | 40755 |
215 | 40755 | 40755 |
216 | 40755 | 40755 |
217 | 40755 | 40755 |
218 | 40755 | 40755 |
219 | 40755 | 40755 |
220 | 40755 | 40755 |
221 | 40755 | 40755 |
222 | 40755 | 40755 |
223 | 40755 | 40755 |
224 | 40755 | 40755 |
225 | 40755 | 40755 |
226 | 40755 | 40755 |
227 | 40755 | 40755 |
228 | 40755 | 40755 |
229 | 40755 | 40755 |
230 | 40755 | 40755 |
231 | 40755 | 40755 |
232 | 40755 | 40755 |
233 | 40755 | 40755 |
234 | 40755 | 40755 |
235 | 40755 | 40755 |
236 | 40755 | 40755 |
237 | 40755 | 40755 |
238 | 40755 | 40755 |
239 | 40755 | 40755 |
240 | 40755 | 40755 |
241 | 40755 | 40755 |
242 | 40755 | 40755 |
243 | 40755 | 40755 |
244 | 40755 | 40755 |
245 | 40755 | 40755 |
246 | 40755 | 40755 |
247 | 40755 | 40755 |
248 | 40755 | 40755 |
249 | 40755 | 40755 |
250 | 40755 | 40755 |
251 | 40755 | 40755 |
252 | 40755 | 40755 |
253 | 40755 | 40755 |
254 | 40755 | 40755 |
255 | 40755 | 40755 |
256 | 40755 | 40755 |
257 | 40755 | 40755 |
258 | 40755 | 40755 |
259 | 40755 | 40755 |
260 | 40755 | 40755 |
261 | 40755 | 40755 |
262 | 40755 | 40755 |
263 | 40755 | 40755 |
264 | 40755 | 40755 |
265 | 40755 | 40755 |
266 | 40755 | 40755 |
267 | 40755 | 40755 |
268 | 40755 | 40755 |
269 | 40755 | - |
270 | 40755 | 40755 |
271 | 40755 | 40755 |
272 | 40755 | 40755 |
273 | 40755 | 40755 |
274 | 40755 | 40755 |
275 | 40755 | 40755 |
276 | 40755 | 40755 |
277 | 40755 | 40755 |
278 | 40755 | 40755 |
279 | 40755 | 40755 |
280 | 40755 | 40755 |
281 | - | 40755 |
282 | 40755 | 40755 |
283 | 40755 | 40755 |
284 | 40755 | - |
285 | 40755 | - |
286 | 40755 | 40755 |
287 | 40755 | 40755 |
288 | 40755 | 40755 |
289 | 40755 | 40755 |
290 | 40755 | 40755 |
291 | 40755 | 40755 |
292 | 40755 | 40755 |
293 | 40755 | 40755 |
294 | 40755 | 40755 |
295 | 40755 | 40755 |
296 | 40755 | 40755 |
297 | 40755 | - |
298 | 40755 | 40755 |
299 | 40755 | 40755 |
300 | 40755 | 40755 |
301 | 40755 | 40755 |
302 | 40755 | - |
303 | 40755 | 40755 |
304 | 40755 | 40755 |
305 | 40755 | 40755 |
306 | 40755 | 40755 |
307 | 40755 | 40755 |
308 | 40755 | 40755 |
309 | 40755 | 40755 |
310 | 40755 | 40755 |
311 | 40755 | 40755 |
312 | 40755 | - |
313 | 40755 | 40755 |
314 | 40755 | 40755 |
315 | 40755 | 40755 |
316 | - | 40755 |
317 | 40755 | 40755 |
318 | 40755 | - |
319 | - | 40755 |
320 | 40755 | - |
321 | 40755 | 40755 |
322 | 40755 | 40755 |
323 | 40755 | 40755 |
324 | - | 40755 |
325 | 40755 | 40755 |
326 | 40755 | 40755 |
327 | 40755 | 40755 |
328 | 40755 | 40755 |
329 | 40755 | 40755 |
330 | 40755 | 40755 |
331 | 40755 | 40755 |
332 | 40755 | 40755 |
333 | 40755 | 40755 |
334 | 40755 | - |
335 | 40755 | 40755 |
336 | 40755 | 40755 |
337 | 40755 | 40755 |
338 | - | 40755 |
339 | 40755 | 40755 |
340 | 40755 | 40755 |
341 | 40755 | - |
342 | 40755 | 40755 |
343 | - | - |
344 | 40755 | 40755 |
345 | 40755 | - |
346 | - | 40755 |
347 | 40755 | - |
348 | 40755 | 40755 |
349 | 40755 | 40755 |
350 | 40755 | - |
351 | - | 40755 |
352 | 40755 | 40755 |
353 | - | - |
354 | - | - |
355 | - | - |
356 | 40755 | 40755 |
357 | - | - |
358 | - | - |
359 | 40755 | 40755 |
(空欄は60000以上)
分かりやすいように10回以上現れる数は同じ色で塗り分けた.
見ての通りこの範囲ではほとんどだ. 位数40755で突如として3桁の数が係数として大量に登場するのである. 検証できていないが, 小さいほうから位数を上げていったとき, 現れる係数のバリエーションが跳ね上がる位数が一般に存在するのではないかと予想している.
OEIS上に登録されている関連する数列として以下のふたつを挙げる.
Migotti の定理
Migottiが初めて示したことを述べる前に, 以下の3つの事実について証明なしで述べる(証明はThangadurai[2]を参照. (☆)とメビウス関数の性質を使えばすぐに示される).
Square-free kernel
が
\begin{gather}
n = {p_1}^{e_1} {p_2}^{e_2} \cdots {p_\ell}^{e_{\ell}}, \\
p_1 < p_2 < \cdots < p_\ell,\hspace{12pt} e_i \geq 1
\end{gather}
と素因数分解されるとき,
\begin{align}
\kappa(n) = p_1p_2\cdots p_\ell
\end{align}
を の square-free kernel (無平方核) と呼ぶ. の互いに異なる素因数全ての積である. ABC予想の根基と同じもの.
位数 の円分多項式について,
\begin{align}
\Phi_{n}(X) = \Phi_{\kappa(n)} \left(X^{n/\kappa(n)}\right)
\end{align}
が成り立つ. 従って,
\begin{align}
a(n, k) &=
\left\{\begin{array}{cc}
a\left(\kappa(n), k\kappa(n)/n\right) & \frac{n}{\kappa(n)} \mid k\\
0 & {\rm otherwise}
\end{array}\right.
\end{align}
偶数位数
を奇数とする. このとき.
\begin{align}
\Phi_{2n}(X) = \Phi_n(-X).
\end{align}
従って,
\begin{align}
a(2n, k) &= (-1)^ka(n,k).
\end{align}
対称性
に対して,
\begin{align}
\Phi_{n}(X) = X^{\phi(n)}\Phi_n(1/X).
\end{align}
従って,
\begin{align}
a(n, k) &= a(n,\phi(n) - k).
\end{align}
ただし はオイラーのトーシェント関数.
2つの素数の積
Migottiは次のことを示した [1].
異なる2つの
素数 に対して, 位数
の円分
多項式の係数は
のいずれか.
(☆)の関係を使えばこのことは比較的簡単に確かめられる. まず, の具体的な形は, 等比級数を使って,
\begin{align}
\Phi_{pq}(X) &= \frac{(X^{pq}-1)(X-1)}{(X^p-1)(X^q-1)}\\
&=(1-X)(1-X^{pq})\sum_{i=0}^\infty X^{ip} \sum_{j=0}^\infty X^{jq}.\\
\end{align}
と表せる. 無限和が現れているが, 実際の次数は だから, がかかる高次の項は無視してよく, の範囲で は
\begin{align}
(1-X)\sum_{i=0}^\infty X^{ip} \sum_{j=0}^\infty X^{jq}
\end{align}
の 次の項に一致する. に対して の解の個数を とすると, 上の式から, の範囲で,
\begin{align}
a(pq,k) = s(k)-s(k - 1)
\end{align}
が成立する. はこの範囲で のどちらかなので(2つ持つとすれば の条件に矛盾する), は のいずれかになる. □
この証明は 多項式の割り算によらずに を計算する方法も与えている. の場合を見てみよう.
\begin{align}
\begin{array}{|ccc|} \hline
k & (i,j) & s(k) & a(15,k)\\ \hline
0 & (0,0) & 1 & 1 \\
1 & \times & 0 & -1 \\
2 & \times & 0 & 0 \\
3 & (1,0) & 1 & 1 \\
4 & \times & 0 & -1 \\
5 & (0,1) & 1 & 1 \\
6 & (2,0) & 1 & 0 \\
7 & \times & 0 & -1 \\
8 & (1,1) & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
これは確かに上で見た結果と一致している. ここでは の取りうる値を評価するにとどめたが, LemとLeung は明示的な表式に簡潔な証明を与えている [ 5].
さて, この章の命題を組み合わせると, 以下のことが分かる.
が異なる2つの奇
素数であるとき, 位数
の円分
多項式の係数には
しか現れない. すなわち.
\begin{align}
a(2^\alpha p^\beta q^\gamma, k) \in \{1,0,-1\}.
\end{align}
逆に, 以外が係数に現れるとすれば, 異なる3つ以上の奇素数を約数に持つことになる. そのような整数の最小の例は であって, 実際, 位数105で初めて 以外の係数が現れるということは, 繰り返し述べてきたことである.
最小出現次数
Migottiの証明では等比級数を使った. これは良いアイデアである. ほとんど同語反復だが,
ということに着目すれば, なすべきことは自ずと見えてくる.
以下 とする. というのも,
\begin{align}
\sum_{d\mid n} \mu(d) =
\left\{\begin{array}{cc}
1 & n = 1\\
0 & n\geq 2
\end{array}\right.
\end{align}
と, のときだけ例外的な扱いが必要になるため. また, 記法を簡略化するため, メビウス関数は非整数に対して を取るものとして定義域を拡張しておく.
さて, 二項定理を使うことで,
\begin{align}
\Phi_n(X) &= \prod_{d\mid n} \left(1-X^d\right)^{\mu(n/d)}\\
&=\prod_{i=1}^\infty \left(1-X^i\right)^{\mu(n/i)}\\
&=\prod_{i=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty \binom{\mu(n/i)}{m}(-X^i)^m\\
&=\sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{
\begin{array}{cc}
m_1+2m_2+3m_3+\cdots = k \\
\forall i\in \mathbb{N},\ m_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}
\end{array}
}
(-1)^{m_1+m_2+m_3+\cdots}
\binom{\mu(n)}{m_1}\binom{\mu(n/2)}{m_2}\binom{\mu(n/3)}{m_3}\cdots
\right) X^k
\end{align}
から,
\begin{align}
a(n,k) =
\sum_{
\begin{array}{cc}
m_1+2m_2+\cdots+k m_k = k \\
\forall i\in \mathbb{N},\ m_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}
\end{array}
}
(-1)^{m_1+m_2+\cdots+m_k}
\binom{\mu(n)}{m_1}\binom{\mu(n/2)}{m_2}\cdots\binom{\mu(n/m)}{m_k}
\end{align}
・・・・・・(☆☆)
が導かれる. これが円分多項式の係数を求める明示公式である. 1974年, Endo はこの式を用いて 次数 で円分多項式の係数が に限られることを示した [6].
上の式において, 和を取る範囲が
\begin{gather}
m_1+2m_2+\cdots+k m_k = k \\
\forall i\in \mathbb{N},\ m_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}
\end{gather}
となっていることに注目. の分割全体の和を取るのである. と書くことにすると, 最初のいくつかは
\begin{align}
a(n,0) &= 1\\
a(n,1) &= - \binom{\lambda_1}{1}\\
a(n,2) &= \binom{\lambda_1}{2} - \binom{\lambda_2}{1}\\
a(n,3) &= -\binom{\lambda_1}{3} + \binom{\lambda_1}{1}\binom{\lambda_2}{1} - \binom{\lambda_3}{1}\\
a(n,4) &= \binom{\lambda_1}{4} - \binom{\lambda_1}{2}\binom{\lambda_2}{1}
+\binom{\lambda_2}{2} + \binom{\lambda_1}{1}\binom{\lambda_3}{1} - \binom{\lambda_4}{1}
\end{align}
となる. 各項の下にヤング図形を並べてみたくなる.
余談だが, を数列 に一般化して, これに対して決まる
\begin{align}
\prod_{i=1}^\infty \left(1-X^i\right)^{s_i}\\
\end{align}
を考えると, の場合, 五角数定理に登場する無限積(デデキントの η 函数の 倍), の場合, 分割数の母函数になる. 項数が無限か有限かの違いがあるとはいえ, 円分多項式の係数はそれらの仲間だと言える.
話を戻して, 上の式を使うと, 1次の項 が になるのは明らか.
2次以上の項を評価していく……前に, 位数 はこれ以降 square-free(無平方) の場合のみを考えることにする.
なぜなら, これから考えるのは を満たす最小の次数 を考えることだから. 位数 も次数 も, square-free kernel の位数を持つ円分多項式の方が, より低位数・低次数に同じ係数が現れる. すると, は と, 以下の素数それぞれを約数に持つか持たないかで決まる. つまり, を を超えない最大の素数として. squar-free な が
\begin{gather}
n = 2^{e_2} 3^{e_3} 5^{e_7} \cdots p^{e_p} r \\
(2^{e_2} 3^{e_3} 5^{e_7} \cdots p^{e_p}, r) = 1
\end{gather}
と素因数分解されるとき, 各成分が のいずれかである の列と, が のどちらの値を取るかだけ考えればよい. ビット全探索の使いどころである.
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int binom(int mu, int k)
{
if (k == 0)
return 1;
else if (mu == 0)
return 0;
else if (mu == -1)
return ((k & 1) == 0) ? 1 : -1;
else if (mu == 1)
return (k == 1) ? 1 : 0;
}
class Partition_generator
{
public:
Partition_generator(int n);
int *next();
int size();
bool has_next();
private:
int n;
int *arr;
int h;
};
Partition_generator::Partition_generator(int n)
{
this->n = n;
arr = new int[n + 1];
for (int i = 0; i <= n; ++i)
arr[i] = 0;
this->h = 1;
arr[1] = n;
}
int Partition_generator::size()
{
return h + 1;
}
int *Partition_generator::next()
{
int x = arr[h - 1] + 1;
int y = arr[h] - 1;
--h;
while (x <= y)
{
arr[h] = x;
y -= x;
++h;
}
arr[h] = x + y;
return arr;
}
bool Partition_generator::has_next()
{
return h != 0;
}
const int primes[25] = {
2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97};
int main()
{
int n;
cin >> n;
Partition_generator pg(n);
vector<int *> mult;
while (pg.has_next())
{
int *m = new int[n + 1];
for (int i = 0; i <= n; ++i)
m[i] = 0;
int *part = pg.next();
int size = pg.size();
for (int i = 0; i < size; ++i)
{
++m[part[i]];
++m[0];
}
mult.push_back(m);
}
int part_num = mult.size();
int m_p = 0;
while (primes[m_p] <= n)
++m_p;
int *primes_leq = new int[m_p];
for (int i = 0; i < m_p; ++i)
primes_leq[i] = primes[i];
int **prime_power = new int *[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
int i_copy = i;
prime_power[i] = new int[m_p];
for (int j = 0; j < m_p; ++j)
{
prime_power[i][j] = 0;
int p = primes_leq[j];
while (i_copy % p == 0)
{
i_copy /= p;
++prime_power[i][j];
}
}
}
int bin[m_p];
int N = 1 << m_p;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < m_p; ++j)
bin[j] = (i >> j) & 1;
int mu[n + 1];
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
int e = 0;
bool is_zero = false;
for (int l = 0; l < m_p; ++l)
{
int s = bin[l] - prime_power[j][l];
if (s < 0 || 1 < s)
{
is_zero = true;
break;
}
else
e += s;
}
mu[j] = is_zero ? 0 : (((e & 1) == 0) ? 1 : -1);
}
for (int parity = -1; parity <= 1; parity += 2)
{
int cycl_coef = 0;
for (int j = 0; j < part_num; j++)
{
int *m = mult.at(j);
int prod = ((m[0] & 1) == 0) ? 1 : -1;
for (int l = 1; l <= n; ++l)
prod *= binom(parity * mu[l], m[l]);
cycl_coef += prod;
}
cout << i << " " << parity * mu[1] << " " << cycl_coef << endl;
}
}
return 0;
}
出力例
3
0 -1 1
0 1 0
1 1 -1
1 -1 0
2 1 1
2 -1 0
3 -1 -1
3 1 0
第1列は
\begin{align}
e_2 + 2e_3 + 2^2 e_5 + 2^3 e_7 \cdots
\end{align}
の値. 第2列は . 第3列 は . の結果を以下にまとめる:
\begin{align}
\begin{array}{|crr|} \hline
e_2 & \mu(n) & a(n,2) \\ \hline
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|ccrr|} \hline
e_2 & e_3 & \mu(n) & a(n,3) \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|ccrr|} \hline
e_2 & e_3 & \mu(n) & a(n,4) \\ \hline
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|cccrr|} \hline
e_2 & e_3 & e_5 & \mu(n) & a(n,5) \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|cccrr|} \hline
e_2 & e_3 & e_5 & \mu(n) & a(n,6) \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|ccccrr|} \hline
e_2 & e_3 & e_5 & e_7 & \mu(n) & a(n,7) \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & -1 & -2 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
において が現れている. これを満たす整数(無数に存在する)で最小の が言うまでもなく である. 上の計算から次のことが言える:
に対して,
\begin{align}
a(n,k) \in \{1,0,-1\}.
\end{align}
整数 に対して, を満たす最小の を最小出現次数と呼ぶことにしよう.
上の命題は, 「 の最小出現次数が である」と言い換えられる.
では、 ではどうだろうか.
式(☆☆)を使って計算し続けることは可能だが, の分割全体の和を取るため, 和を取るべき項数が非常に早く増加し, 計算時間の点で問題がある. より良いアルゴリズムを考えよう.
1991年, GrytczukとTropakはEndoの結果を発展させ, 計算機を使う方法で の最小出現次数を決定した [7].
再び式(☆)に立ち返ろう. 両辺の対数微分によって,
\begin{align}
\frac{\Phi'_n(X)}{\Phi_n(X)} = \sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right)\frac{dX^{d-1}}{X^d-1}
\end{align}
を得る. 左辺を としよう. 級数展開によって,
\begin{align}
\Gamma_n(X) &\equiv \sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right)\frac{dX^{d-1}}{X^d-1}\\
&= \sum_{d\mid n} (-d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)\left(X^{d-1}+X^{2d-1}+X^{3d-1}+\cdots\right)\\
&= \sum_{d\mid n} (-d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)\sum_{i=1}^\infty X^{id-1}.\\
\end{align}
次の項の係数を で表すことにすると,
\begin{align}
b(n,j) &= \sum_{\begin{array}{cc}
d\mid n, i\geq 1, \\
id\!-\!1 = j
\end{array}} (-d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)\\
&= \sum_{\begin{array}{cc}
d\mid{\rm gcd}(n,j+1)
\end{array}} (-d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)\\
\end{align}
を得る. 非整数に対してメビウス関数の値を としていたことを思い出し,
\begin{align}
b(n,j) = \sum_{d\mid (j+1)} (-d)\mu\left(\frac{n}{d}\right)
\end{align}
を得る.
\begin{align}
\Phi_n'(X) &= \Phi_n(X)\Gamma_n(X)
\end{align}
の各項は, いま,
\begin{align}
a(n,1) + 2a(n,2)X &+ 3a(n,3)X^2 + 4a(n,4)X^3 + \cdots\\
&=\left(a(n,0) + a(n,1)X + a(n,2)X^2 + a(n,3)X^3 + \cdots\right)\\
&\hspace{16pt}\times\left(b(n,0) + b(n,1)X + b(n,2)X^2 + b(n,3)X^3 + \cdots\right).
\end{align}
となっている. 両辺 に関して同次の項を比較することで,
\begin{align}
a(n,1) &= a(n,0)b(n,0)\\
2a(n,2) &= a(n,0)b(n,1) + a(n,1)b(n,0)\\
3a(n,3) &= a(n,0)b(n,2) + a(n,1)b(n,1) + a(n,2)b(n,0)\\
&\cdots
\end{align}
を次々に得る. 一般に, に対して,
\begin{align}
a(n,k+1) = \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k} a(n,j)b(n,k-j).
\end{align}
となる. これは 本質的に, の原始 乗根に対する ニュートンの恒等式である. Grytczuk-Tropakは に関してやや異なる表式を用いたが, ここではこの方法を使おう.
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
const int PRIMES = 28;
const int primes[PRIMES] = {
-1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, 101, 103};
int value(int bin)
{
int n = 1;
for (int i = 1; i < PRIMES; ++i)
{
if (((bin >> i) & 1) == 1)
{
n *= primes[i];
}
}
return n;
}
int main()
{
int j_max;
cin >> j_max;
const int n_max = 100;
int *rad = new int[n_max];
for (int n = 1; n < n_max; ++n)
{
int m = n;
int i = 1;
int bin = 0;
int parity = 0;
while (m > 1)
{
int p = primes[i];
if (m % p == 0)
{
bin += (1 << i);
parity ^= 1;
while (m % p == 0)
{
m /= p;
}
}
++i;
}
bin ^= parity;
rad[n] = bin;
}
int *ceil_p_ind = new int[n_max];
for (int n = 1; n < n_max; ++n)
{
int i = 1;
while (primes[i] <= n)
{
++i;
}
ceil_p_ind[n] = i;
}
int **a = new int *[n_max];
int **b = new int *[n_max];
for (int j = 0; j < j_max; ++j)
{
cout << "degree = " << j + 1 << endl;
int ceil = ceil_p_ind[j + 1];
int range = 1 << ceil;
b[j] = new int[range];
for (int n = 0; n < range; ++n)
{
b[j][n] = 0;
int r = rad[j + 1];
int slots = 0;
for (int i = 1; i < PRIMES; ++i)
{
slots += (r >> i) & 1;
}
int range_d = 1 << slots;
for (int s = 0; s < range_d; ++s)
{
int d = 0,h = 0;
for (int i = 1; i < PRIMES; ++i)
{
if ((r >> i) & 1)
{
d ^= ((s >> h) & 1) ? (((s >> h) & 1) << i) + 1 : 0;
++h;
}
}
if ((((~n) & d) >> 1) == 0)
{
b[j][n] += -value(d) * (((n ^ d) & 1) == 0 ? 1 : -1);
}
}
}
a[j + 1] = new int[range];
for (int n = 0; n < range; ++n)
{
int sum = 0;
sum += b[j][n];
for (int k = 1; k <= j; ++k)
{
int window_a = (1 << ceil_p_ind[k]) - 1;
int window_b = (1 << ceil_p_ind[j - k + 1]) - 1;
sum += a[k][n & window_a] * b[j - k][n & window_b];
}
a[j + 1][n] = sum / (j + 1);
cout << n << " " << a[j + 1][n] << endl;
}
}
return 0;
}
7
degree = 1
0 -1
1 1
degree = 2
0 0
1 1
2 1
3 0
(略)
26 1
27 -1
28 0
29 -2
30 2
31 0
出力内容は先のプログラムとほぼ同じだが, の値が ならそれぞれ最下位ビットに を充てることにして, 素数の冪はひとつずつ上位にシフトさせている. 計算速度は格段に速く, 位数50程度までの計算が1日近くかかっていたところ, 数分で完了する. ただし, 巨大な配列を全てメモリ上に載せるため位数100程度が限界になる. 今後の改善点だろう.
ともかく, Grytczuk-Tropak が30年前に与えた結果よりかなり先まで進むことができた. 以下に結果を載せる.
第1列の数 に対する最小出現次数が第2列のである.
を満たす最小の位数 の, 各列の素数に対する冪を第3列以降に並べた. ただし は を表す. たとえば の最小出現次数は で, これを実現する最小の位数は . デカい.
\begin{align}
\begin{array}{|rc|cccccccccccccccccccccccc|} \hline
m & k_{\rm min} & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 & 73 & 79 & 83 & 89 \\ \hline
2 & 7 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-2 & 7 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
3 & 17 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-3 & 17 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
4 & 23 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-4 & 23 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
5 & 30 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-5 & 35 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
6 & 36 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-6 & 39 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
7 & 43 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-7 & 43 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
8 & 46 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-8 & 47 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
9 & 47 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-9 & 47 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
10 & 52 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-10 & 53 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
11 & 53 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-11 & 53 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
12 & 53 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-12 & 53 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
13 & 53 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-13 & 53 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
14 & 59 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-14 & 59 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
15 & 59 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-15 & 59 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|rc|cccccccccccccccccccccccc|} \hline
m & k_{\rm min} & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 & 73 & 79 & 83 & 89 \\ \hline
16 & 65 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-16 & 65 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
17 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-17 & 71 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
18 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-18 & 73 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
19 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-19 & 73 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
20 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-20 & 73 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
21 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-21 & 73 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
22 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-22 & 75 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
23 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-23 & 77 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
24 & 70 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-24 & 77 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
25 & 76 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-25 & 77 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
26 & 76 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-26 & 77 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
27 & 76 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-27 & 79 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
28 & 76 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-28 & 79 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
29 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-29 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
30 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-30 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|rc|cccccccccccccccccccccccc|} \hline
m & k_{\rm min} & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 & 73 & 79 & 83 & 89 \\ \hline
31 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-31 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
32 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-32 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
33 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-33 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
34 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-34 & 83 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot \\
35 & 82 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
-35 & 87 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
36 & 87 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-36 & 87 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
37 & 88 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
-37 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
38 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 \\
-38 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & 1 \\
39 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-39 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
40 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
-40 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
41 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-41 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
42 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-42 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
43 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-43 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
44 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-44 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
45 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-45 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \hline
\end{array}
\end{align}
\begin{align}
\begin{array}{|rc|cccccccccccccccccccccccc|}\hline
m & k_{\rm min} & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 & 73 & 79 & 83 & 89 \\ \hline
46 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-46 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
47 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot \\
-47 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & 1 & \cdot \\
48 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
-48 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
49 & 89 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 \\
-49 & 89 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 \\
50 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-50 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
51 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
-51 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
52 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-52 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
53 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
-53 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
54 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
-54 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
55 & 95 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
-55 & 95 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot \\
56 & 99 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
-56 & 99 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
57 & 99 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
-57 & 99 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
58 & 99 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 \\
-58 & 99 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & \cdot & 1 \\
59 & 99 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot \\
-59 & 99 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & \cdot \\
60 & 99 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
-60 & 99 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
この結果も面白い. Grytczuk-Tropak がギリギリ到達していなかった範囲だが, 最低出現次数を とする係数は 個もあるのだ. 観察するともっと深い理解につながっていきそうだが, とりあえず結果を載せるにとどめておく.
まとめ
本記事では円分多項式の係数のもつ諸性質について述べた. 位数 において初めて 以外の数が現れる理由に始まり, 全ての位数で 次の項もまたそうであることを示した. 最小出現次数に関しては, 新しい計算結果を与えた.
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