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『正多面体と素数』の計算をしましょう(4)―正二十面体・あいだの次数・p=59問題

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つづき。今回の記事からは『正多面体と素数』に書かれていないことを調べていく。

ヒルベルト-ポアンカレ級数

一つ目の記事で概説したように、ヒルベルト-ポアンカレ級数は一次独立な正二十面体多項式が各次数にいくつあるかを教えてくれる。

改めて、
\begin{align}
P(t)
= \frac{1-t^{30}}{(1-t^6)(1-t^{10})(1-t^{15})}
= \sum_{i=0}^\infty d_i t^i
\end{align}
とおこう。{d_i} が次数 {2i} の一次独立な正二十面体多項式の個数になる。最初のいくつかの項は、
\begin{align}
P(t) =& 1+{{t}^{6}}+{{t}^{10}}+{{t}^{12}}+{{t}^{15}}+{{t}^{16}}+{{t}^{18}}+{{t}^{20}}+{{t}^{21}}+{{t}^{22}}+{{t}^{24}}+{{t}^{25}}\\
&+{{t}^{26}}+{{t}^{27}}+{{t}^{28}}+2 {{t}^{30}}+{{t}^{31}}+t^{32}+t^{33}+t^{34}+t^{35}+2t^{36}+\cdots
\end{align}
であって、{d_6=1,\, d_{10}=1,\, d_{12}=1} がそれぞれ頂点、面、辺に対する正二十面体多項式 {F_{12},\, F_{20},\, F_{30} }に対応する。{P(t)} の形を見ると分かるように、{a_i}{6p+10q+15r=i}{p,q,r\geq 0} なる整数解の個数とすると、{d_i=a_i-a_{i-30}} である。これは高次の正二十面体多項式を作る方法を考えると理解できる。{F_{12},\, F_{20},\, F_{30} } の積をとると{F_{12}^pF_{20}^qF_{30}^r} の形で 次数{6p+10q+15r} の正二十面体多項式が作られるが、{F_{12}^5,\,F_{20}^3,\,F_{30}^2} の間にはひとつの一次の関係式があるため、そのぶん独立なものが減る、ということだ。


{P(t)} を変形すると{d_i} は 簡単な形で表せる。
\begin{align}
P(t) =& \frac{(1+t^6+t^{12}+t^{18}+t^{24})(1+t^{10}+t^{20})(1+t^{15})}{(1-t^{30})^2}\\
=& \left(\sum_{i \in A}t^i+t^{30}\sum_{i\in B}t^i\right) \sum_{i=0}^\infty (i+1)t^{30i}\,\\
A =& \left\{0,6,10,12,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28\right\},\\
B =& \left\{1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,14,17,19,23,29\right\}
\end{align}
と、{P(t)} は排反かつ和集合が0以上30未満の全ての整数になるふたつの集合{A, B} を用いて書ける。これを使うと、
\begin{align}
d_i = \left\{
\begin{aligned}
&\left\lfloor\frac{i}{30}\right\rfloor + 1, & \mbox{if } i\!\!\mod 30 \in A,\\
&\left\lfloor\frac{i}{30}\right\rfloor, & \mbox{if } i\!\!\mod 30 \in B,
\end{aligned}
\right.
\end{align}
と書ける。ただし、{\lfloor x\rfloor}{x} を超えない最大の整数。OEISでは、

  • A008651 - OEIS: Molien series of binary icosahedral group.
  • A307897 - OEIS: Dimensions of space of harmonic polynomials of each degree invariant under the icosahedral rotation group.

が登録されている。前者は二項正二十面体群のMolien級数の係数として、後者は正二十面体対称性を持つ球面調和調和関数の重ね合わせの個数として表現されているが、これらは一致する(ひょっとすると何か違うのかと一瞬思ったが、formulaの項にあるG.f.:母関数が一致しているので間違いない)。

重複度1

{d_i} の明示式を使うと、重複度(同じ次数で線型独立なものの個数)1の正二十面体多項式の次数を列挙できる。{d_i=1} となるような {i} に対して {2i} となる整数の全体だ。
\begin{gather}
0,\,\underline{12},\,\underline{20},\,\underline{24},\,\underline{30},\,\underline{32},\,36,\,40,\,\underline{42},\,\underline{44},\,\underline{48},\,\underline{50},\,52,\,\underline{54},\,56,\\
\underline{62},\,64,\,66,\,\underline{68},\,70,\,\underline{74},\,76,\,78,\,\underline{82},\,86,\,88,\,94,\,\underline{98},\,106,\,118.
\end{gather}
ある素数 {p} と正整数 {k} に対して {p^k+1} であるような整数には下線を引いた。なお、次数0は定数。下線を引いた整数のうち、 {12,\,20,\,30,\,32,\,42,\,50,\,62} では、中間項の係数に {p} が現れることを見た。それ以外の整数 {24,\,44,\,48,\,54,\,68,\,74,\,82,\,98} ではどうなっているだろうか?

まずV-座標系で見てみよう。3つ目の記事で扱った、頂点のひとつが立体射影で無限遠点に移るような座標の取り方である。

先の3つの記事では {k} 次の正二十面体多項式は全て同じ記号 {F_k(x,y)} の形で表したが、V-座標系では {V_k(x,y)}、F-座標系では元のまま {F_k(x,y)}、E-座標系では {E_k(x,y)} で置き換えることにする。V-座標系では
\begin{align}
V_{12}(x,y) =& x^{11}y - xy^{11}+11x^{6}y^{6},\\
V_{20}(x,y) =& x^{20} + y^{20}-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 19\left(x^{15}y^{5} - x^{5}y^{15}\right)+2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19x^{10}y^{10},\\
V_{30}(x,y) =& x^{30} + y^{30}+2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29\left(x^{25}y^{5} - x^{5}y^{25}\right)-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29\left(x^{20}y^{10} + x^{10}y^{20}\right)
\end{align}
が基本となる3つの正二十面体多項式で、これらの間には
\begin{align}
1728\, V_{12}^5+V_{20}^3-V_{30}^2 = 0
\end{align}
の関係がある。

さて、これらをもとに81を除いて実際に計算してみると
\begin{align}
V_{24} =& V_{12}^2
\\=&x^{22}y^{2} + x^{2}y^{22}
\\&+2 \!\cdot\! 11\left(x^{17}y^{7} - x^{7}y^{17}\right)
\\&+7 \!\cdot\! 17\,x^{12}y^{12},\\
V_{44} =& V_{12}^2V_{20}
\\=&x^{42}y^{2} + x^{2}y^{42}
\\&-2 \!\cdot\! 103\left(x^{37}y^{7} - x^{7}y^{37}\right)
\\&-7 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 37\left(x^{32}y^{12} + x^{12}y^{32}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 37\left(x^{27}y^{17} - x^{17}y^{27}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 37\,x^{22}y^{22},\\
V_{48} =& V_{12}^4
\\=&x^{44}y^{4} + x^{4}y^{44}
\\&+2^2 \!\cdot\! 11\left(x^{39}y^{9} - x^{9}y^{39}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 19^2\left(x^{34}y^{14} + x^{14}y^{34}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 59\left(x^{29}y^{19} - x^{19}y^{29}\right)
\\&+5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 29\,x^{24}y^{24},\\
V_{54} =& V_{12}^2V_{30}
\\=&x^{52}y^{2} + x^{2}y^{52}
\\&+2^5 \!\cdot\! 17\left(x^{47}y^{7} - x^{7}y^{47}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 47\left(x^{42}y^{12} + x^{12}y^{42}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 41^2 \!\cdot\! 47\left(x^{37}y^{17} - x^{17}y^{37}\right)
\\&-17 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 47\left(x^{32}y^{22} + x^{22}y^{32}\right),\\
V_{68} =& V_{12}^4V_{20}
\\=&x^{64}y^{4} + x^{4}y^{64}
\\&-2^3 \!\cdot\! 23\left(x^{59}y^{9} - x^{9}y^{59}\right)
\\&-2^4 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29\left(x^{54}y^{14} + x^{14}y^{54}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 79\left(x^{49}y^{19} - x^{19}y^{49}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29\left(x^{44}y^{24} + x^{24}y^{44}\right)
\\&-2^4 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 59\left(x^{39}y^{29} - x^{29}y^{39}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 43\,x^{34}y^{34},\\
V_{74} =& V_{12}^2V_{20}V_{30}
\\=&x^{72}y^{2} + x^{2}y^{72}
\\&+2^2 \!\cdot\! 79\left(x^{67}y^{7} - x^{7}y^{67}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 67\left(x^{62}y^{12} + x^{12}y^{62}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67\left(x^{57}y^{17} - x^{17}y^{57}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67\left(x^{52}y^{22} + x^{22}y^{52}\right)
\\&+2^5 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67\left(x^{47}y^{27} - x^{27}y^{47}\right)
\\&-7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67\left(x^{42}y^{32} + x^{32}y^{42}\right),\\
V_{98} =& V_{12}^4V_{20}V_{30}
\\=&\left(x^{94}y^{4} + x^{4}y^{94}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 13^2\left(x^{89}y^{9} - x^{9}y^{89}\right)
\\&-17 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 233\left(x^{84}y^{14} + x^{14}y^{84}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 8329\left(x^{79}y^{19} - x^{19}y^{79}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5^2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 79\left(x^{74}y^{24} + x^{24}y^{74}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 2243\left(x^{69}y^{29} - x^{29}y^{69}\right)
\\&+13 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79\left(x^{64}y^{34} + x^{34}y^{64}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79\left(x^{59}y^{39} - x^{39}y^{59}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79\left(x^{54}y^{44} + x^{44}y^{54}\right)
\end{align}
という具合で、{V_{p^k+1}} の中間項の係数の因数には {p} が見当たらない。完全に回避している。これはいったいどういうことだろう。

除いた {82} で起こることは少し興味深い。
\begin{align}
V_{82}
=& V_{12}V_{20}^2V_{30}\\
=&x^{81}y - xy^{81}
\\&+7 \!\cdot\! 11\left(x^{76}y^{6} + x^{6}y^{76}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 79\left(x^{71}y^{11} - x^{11}y^{71}\right)
\\&+5^2 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 71\left(x^{66}y^{16} + x^{16}y^{66}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 53 \!\cdot\! 71\left(x^{61}y^{21} - x^{21}y^{61}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 71\left(x^{56}y^{26} + x^{26}y^{56}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 53 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 71\left(x^{51}y^{31} - x^{31}y^{51}\right)
\\&-5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 53 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 71\left(x^{46}y^{36} + x^{36}y^{46}\right)
\end{align}
中間項のうち、{x,\,y} の指数がともに3の倍数ではない項の係数には 3 が現れ、そうでないとき現れない。しかしE,F-座標系では同様の現象は起こらない(かなり長大な式になるのでここには載せない)ので、一般化して語るには少し苦しい。

重複度2

重複度2の場合を考える。重複度1の場合で列挙した整数に60を加えればよい。
\begin{gather}
\underline{60},\,\underline{72},\,\underline{80},\,\underline{84},\,\underline{90},\,92,\,96,\,100,\,\underline{102},\,\underline{104},\,\underline{108},\,\underline{110},\,112,\,\underline{114},\,116,\,\\
\underline{122},\,124,\,\underline{126},\,\underline{128},\,130,\,134,\,136,\,\underline{138},\,142,\,146,\,148,\,154,\,\underline{158},\,166,\,178,\,
\end{gather}
同様に素数{+1} には下線を引いた。

V- 座標系

今度もV-座標系を見る。まず考えるべきは60次だろう。素数59は現れるだろうか?重複度2以上では正20面体多項式は複数存在するため、適当にラベルを付けて区別する。

\begin{align}
V_{60A} =& V_{12}^5
\\=&\,x^{55}y^{5} - x^{5}y^{55}
\\&+5 \!\cdot\! 11\left(x^{50}y^{10} + x^{10}y^{50}\right)
\\&+5 \!\cdot\! 241\left(x^{45}y^{15} - x^{15}y^{45}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 17\left(x^{40}y^{20} + x^{20}y^{40}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 4639\left(x^{35}y^{25} - x^{25}y^{35}\right)
\\&+11 \!\cdot\! 12251\,x^{30}y^{30},\\
V_{60B} =& V_{20}^3
\\=&\,x^{60} + y^{60}
\\&-2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 19\left(x^{55}y^{5} - x^{5}y^{55}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 1381\left(x^{50}y^{10} + x^{10}y^{50}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3^4 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 37\left(x^{45}y^{15} - x^{15}y^{45}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 737719\left(x^{40}y^{20} + x^{20}y^{40}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 83 \!\cdot\! 1151\left(x^{35}y^{25} - x^{25}y^{35}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 436999\,x^{30}y^{30},\\
V_{60C} =& V_{30}^2
\\=&\,x^{60} + y^{60}
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29\left(x^{55}y^{5} - x^{5}y^{55}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 1451\left(x^{50}y^{10} + x^{10}y^{50}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29^2\left(x^{45}y^{15} - x^{15}y^{45}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 1429\left(x^{40}y^{20} + x^{20}y^{40}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 5003\left(x^{35}y^{25} - x^{25}y^{35}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 5323 \!\cdot\! 9377\,x^{30}y^{30}
\end{align}

ここに59はなし。この3つに { 1728V_{60A} + V_{60B} - V_{60C} =0 } の一次の関係があることは既に述べたとおり。ところで、{V_{60A}}{x} の最高次の係数が55で、{V_{60B}, V_{60C}} は60である。後者に前者の定数倍を加えることで、最高次の係数を1にしたまま55次の項を消す方法がただひとつだけ存在する。それが以下の {V_{60I}} だ;

\begin{align}
V_{60I}
=& V_{60B} + 2^2\cdot 3^2\cdot 19\, V_{60A}\\
=& V_{60C} - 2^2\cdot 3^2\cdot 29\, V_{60B}
\\=&x^{60} + y^{60}
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59\left(x^{50}y^{10} + x^{10}y^{50}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59\left(x^{45}y^{15} - x^{15}y^{45}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 59\left(x^{40}y^{20} + x^{20}y^{40}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 71\left(x^{35}y^{25} - x^{25}y^{35}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 5^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 263\,x^{30}y^{30}
\end{align}

何ということだろう。中間項の係数に59が現れたではないか。

ちなみにこの構成法には、アイゼンシュタイン級数を組み合わせてリーチ格子のテータ関数を得る方法を思わせるところがある。詳細は以下の記事を参照。正20面体多項式の係数にも組合せ論的な解釈がありうるのだろうか?
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同様に、{72,\,80,\,90,\,102,\,110} 次ではそれぞれ中間項の係数に素数 {71,\,79,\,89,\,101,\,109} が現れる。
\begin{align}
V_{72I}
=&V_{12}\left(673\,V_{12}^5+V_{20}^3\right)
\\=&x^{71}y - xy^{71}
\\&+7 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 71\left(x^{61}y^{11} - x^{11}y^{61}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 23^2 \!\cdot\! 71\left(x^{56}y^{16} + x^{16}y^{56}\right)
\\&-11 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 2383\left(x^{51}y^{21} - x^{21}y^{51}\right)
\\&+3^2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 887\left(x^{46}y^{26} + x^{26}y^{46}\right)
\\&-5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 89\left(x^{41}y^{31} - x^{31}y^{41}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 569\,x^{36}y^{36},\\
V_{80I} =& V_{20}\left(2^4\cdot 3\cdot 19 V_{12}^5+V_{20}^3\right)
\\=&x^{80} + y^{80}
\\&+2^3 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 79\left(x^{70}y^{10} + x^{10}y^{70}\right)
\\&-2^5 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 37 \!\cdot\! 79\left(x^{65}y^{15} - x^{15}y^{65}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 97\left(x^{60}y^{20} + x^{20}y^{60}\right)
\\&-2^4 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 137\left(x^{55}y^{25} - x^{25}y^{55}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 179 \!\cdot\! 2039\left(x^{50}y^{30} + x^{30}y^{50}\right)
\\&-2^4 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 563\left(x^{45}y^{35} - x^{35}y^{45}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 41543\,x^{40}y^{40},\\
V_{90I} =& V_{30}\left(-2\cdot 3^3\cdot 29V_{12}^5+V_{30}^2\right)
\\=&x^{90} + y^{90}
\\&-3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 89\left(x^{80}y^{10} + x^{10}y^{80}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 89\left(x^{75}y^{15} - x^{15}y^{75}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 5^2 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 89 \!\cdot\! 6907\left(x^{70}y^{20} + x^{20}y^{70}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 89 \!\cdot\! 193 \!\cdot\! 557\left(x^{65}y^{25} - x^{25}y^{65}\right)
\\&-2^4 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 89 \!\cdot\! 40272443\left(x^{60}y^{30} + x^{30}y^{60}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 89 \!\cdot\! 101\left(x^{55}y^{35} - x^{35}y^{55}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 53 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 89 \!\cdot\! 103\left(x^{50}y^{40} + x^{40}y^{50}\right),\\
V_{102I} =& V_{12}V_{30}\left(-19\cdot 83\,V_{12}^5+V_{30}^2\right)
\\=&x^{101}y - xy^{101}
\\&-2 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 607\left(x^{91}y^{11} - x^{11}y^{91}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 131 \!\cdot\! 179\left(x^{86}y^{16} + x^{16}y^{86}\right)
\\&-5 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 8999\left(x^{81}y^{21} - x^{21}y^{81}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 91121\left(x^{76}y^{26} + x^{26}y^{76}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 78893\left(x^{71}y^{31} - x^{31}y^{71}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 385651667\left(x^{66}y^{36} + x^{36}y^{66}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 353 \!\cdot\! 4211\left(x^{61}y^{41} - x^{41}y^{61}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 101 \!\cdot\! 599\left(x^{56}y^{46} + x^{46}y^{56}\right),\\
V_{110I} =& V_{20}V_{30}\left(-2\cdot 3\cdot 223\,V_{12}^5+V_{30}^2\right)
\\=&x^{110} + y^{110}
\\&-109 \!\cdot\! 331\left(x^{100}y^{10} + x^{10}y^{100}\right)
\\&+2^4 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 281\left(x^{95}y^{15} - x^{15}y^{95}\right)
\\&-5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 53 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 157 \!\cdot\! 857\left(x^{90}y^{20} + x^{20}y^{90}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 263 \!\cdot\! 787\left(x^{85}y^{25} - x^{25}y^{85}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 5^3 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 337 \!\cdot\! 1019 \!\cdot\! 3001\left(x^{80}y^{30} + x^{30}y^{80}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 4340993\left(x^{75}y^{35} - x^{35}y^{75}\right)
\\&-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 173 \!\cdot\! 2081\left(x^{70}y^{40} + x^{40}y^{70}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 109 \!\cdot\! 42751\left(x^{65}y^{45} - x^{45}y^{65}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67^2 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 109\left(x^{60}y^{50} + x^{50}y^{60}\right)
\end{align}

{122=11^2+1} の場合には {50=7^2+1} と似たことが起こり、中間項のうち {x,y} の指数が11の倍数である場合には係数は11で、そうでない場合は {11^2} で割り切れる。
\begin{align}
V_{122I} =& V_{12}V_{20}V_{30}\left(379V_{12}^5+V_{20}^3\right)
\\=&x^{121}y - xy^{121}
\\&-2^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 13\left(x^{111}y^{11} - x^{11}y^{111}\right)
\\&+3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 44983\left(x^{106}y^{16} + x^{16}y^{106}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 13^2 \!\cdot\! 71333\left(x^{101}y^{21} - x^{21}y^{101}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11^3 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 424147\left(x^{96}y^{26} + x^{26}y^{96}\right)
\\&-2^6 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11^3 \!\cdot\! 233 \!\cdot\! 28477\left(x^{91}y^{31} - x^{31}y^{91}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11^3 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 113 \!\cdot\! 149767\left(x^{86}y^{36} + x^{36}y^{86}\right)
\\&+5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11^3 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 631 \!\cdot\! 1951951\left(x^{81}y^{41} - x^{41}y^{81}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 8161 \!\cdot\! 13729\left(x^{76}y^{46} + x^{46}y^{76}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 1627 \!\cdot\! 13177\left(x^{71}y^{51} - x^{51}y^{71}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 79 \!\cdot\! 10111\left(x^{66}y^{56} + x^{56}y^{66}\right)
\end{align}

一方、{84,\,104,\,108,\,114,\,126,\,128,\,138,\,158,\,} では同じことは起こらない。たとえば84次では
\begin{align}
V_{84I}(x,y) =& V_{12}^2\left(2\cdot 331\,V_{12}^5+V_{20}^3\right)
\\=&x^{82}y^{2} + x^{2}y^{82}
\\&+3 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 41\left(x^{72}y^{12} + x^{12}y^{72}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^3 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 3373\left(x^{67}y^{17} - x^{17}y^{67}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^4 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 431\left(x^{62}y^{22} + x^{22}y^{62}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 31 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 823\left(x^{57}y^{27} - x^{27}y^{57}\right)
\\&+3^3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 31069\left(x^{52}y^{32} + x^{32}y^{52}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 5669\left(x^{47}y^{37} - x^{37}y^{47}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 2297\,x^{42}y^{42}
\end{align}
となっている。素数83は見当たらない。

ただ {126=5^3+1} は少し特殊で、中間項の係数には 5 が現れたり現れなかったりする。

\begin{align}
V_{126I} =& V_{12}^3V_{30}\left(-3\cdot 13\cdot 41 V_{12}^5+V_{30}^2\right)
\\=&x^{123}y^{3} - x^{3}y^{123}
\\&-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 41\left(x^{113}y^{13} - x^{13}y^{113}\right)
\\&+5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 1741\left(x^{108}y^{18} + x^{18}y^{108}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 569599\left(x^{103}y^{23} - x^{23}y^{103}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 3111013\left(x^{98}y^{28} + x^{28}y^{98}\right)
\\&+5 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 97 \!\cdot\! 2087 \!\cdot\! 2549\left(x^{93}y^{33} - x^{33}y^{93}\right)
\\&+2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 67 \!\cdot\! 97 \!\cdot\! 283 \!\cdot\! 757\left(x^{88}y^{38} + x^{38}y^{88}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 97 \!\cdot\! 13879 \!\cdot\! 14173\left(x^{83}y^{43} - x^{43}y^{83}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 17 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 83 \!\cdot\! 97 \!\cdot\! 40540037\left(x^{78}y^{48} + x^{48}y^{78}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 83 \!\cdot\! 97 \!\cdot\! 13748939\left(x^{73}y^{53} - x^{53}y^{73}\right)
\\&-3^2 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7^3 \!\cdot\! 41 \!\cdot\! 47 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 73 \!\cdot\! 83 \!\cdot\! 97\left(x^{68}y^{58} + x^{58}y^{68}\right)
\end{align}

ところで、もし法5で {\pm 1} である素数冪でこのような現象が引き続き起こる(と予想するには尚早だが)なら、逆に起こらないのは {9,\,81} に限られる。{PSL_2(\mathbb{F}_9)} は6次交代群と同型という極めて例外的な性質を持つ。

F-座標系

F-座標系(二つ目の記事を参照)では60次の場合だけ見る。基本となる正二十面体多項式3つは、
\begin{align}
F_{12}
=&x^{12} + y^{12}
\\&+11\sqrt{5}\left(x^{9}y^{3} - x^{3}y^{9}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 11\,x^{6}y^{6},\\
F_{20}
=&x^{19}y - xy^{19}
\\&-\frac{3 \!\cdot\! 19\sqrt{5}}{2^3}\left(x^{16}y^{4} + x^{4}y^{16}\right)
\\&-\frac{3 \!\cdot\! 19}{2}\left(x^{13}y^{7} - x^{7}y^{13}\right)
\\&-\frac{13 \!\cdot\! 19\sqrt{5}}{2^2}\,x^{10}y^{10},\\
F_{30}
=&x^{30} + y^{30}
\\&-\frac{5 \!\cdot\! 29\sqrt{5}}{2}\left(x^{27}y^{3} - x^{3}y^{27}\right)
\\&+\frac{3^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 29}{2^3}\left(x^{24}y^{6} + x^{6}y^{24}\right)
\\&-\frac{3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29\sqrt{5}}{2^2}\left(x^{21}y^{9} - x^{9}y^{21}\right)
\\&-\frac{3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29}{2^3}\left(x^{18}y^{12} + x^{12}y^{18}\right)
\end{align}
であって、これらの間には
\begin{align}
F_{12}^5-200\sqrt{5}\,F_{20}^3-F_{30}^2 =0
\end{align}
の関係がある。V-座標系の場合と同様に、最高次から2番目の次数の係数が消えるようにすると、
\begin{align}
F_{60I}
=& F_{12}^5 - 5\cdot 11\sqrt{5}\, F_{20}^3\\
=& F_{30}^2 + 5 \cdot 29\sqrt{5}\, F_{20}^3\\
=&+\left(x^{60} + y^{60}\right)
\\&+\frac{5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59}{2^3}\left(x^{54}y^{6} + x^{6}y^{54}\right)
\\&+\frac{3 \!\cdot\! 5^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59\sqrt{5}}{2^6}\left(x^{51}y^{9} - x^{9}y^{51}\right)
\\&+\frac{3^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 457}{2^9}\left(x^{48}y^{12} + x^{12}y^{48}\right)
\\&+\frac{3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59^2\sqrt{5}}{2^7}\left(x^{45}y^{15} - x^{15}y^{45}\right)
\\&-\frac{3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 83 \!\cdot\! 349}{2^8}\left(x^{42}y^{18} + x^{18}y^{42}\right)
\\&+\frac{3^3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 3797\sqrt{5}}{2^7}\left(x^{39}y^{21} - x^{21}y^{39}\right)
\\&+\frac{3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 1231 \!\cdot\! 2423}{2^9}\left(x^{36}y^{24} + x^{24}y^{36}\right)
\\&-\frac{5 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 379\sqrt{5}}{2^5}\left(x^{33}y^{27} - x^{27}y^{33}\right)
\\&+\frac{3^4 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 820349}{2^7}\,x^{30}y^{30}
\end{align}
を得る。今度も中間項の係数には59が現れた。

E-座標系

E-座標系(最初の記事を参照)では、基本の正二十面体多項式3つは
\begin{align}
E_{12} =& x^{12} + y^{12}
\\&-\frac{2 \!\cdot\! 11}{\sqrt{5}}\left(x^{10}y^{2} + x^{2}y^{10}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 11\left(x^{8}y^{4} + x^{4}y^{8}\right)
\\&+\frac{2^2 \!\cdot\! 11}{\sqrt{5}}\,x^{6}y^{6},\\
E_{20} =& x^{20} + y^{20}
\\&+\frac{2 \!\cdot\! 19\sqrt{5}}{3}\left(x^{18}y^{2} + x^{2}y^{18}\right)
\\&-19\left(x^{16}y^{4} + x^{4}y^{16}\right)
\\&+2^3 \!\cdot\! 19\sqrt{5}\left(x^{14}y^{6} + x^{6}y^{14}\right)
\\&-2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19\left(x^{12}y^{8} + x^{8}y^{12}\right)
\\&-\frac{2^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19\sqrt{5}}{3}\,x^{10}y^{10},\\
E_{30} =& x^{29}y - xy^{29}
\\&+\frac{2^2 \!\cdot\! 29}{3^2\sqrt{5}}\left(x^{27}y^{3} - x^{3}y^{27}\right)
\\&+\frac{29 \!\cdot\! 61}{5^2}\left(x^{25}y^{5} - x^{5}y^{25}\right)
\\&-\frac{2^4 \!\cdot\! 29}{\sqrt{5}}\left(x^{23}y^{7} - x^{7}y^{23}\right)
\\&+\frac{3 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29}{5}\left(x^{21}y^{9} - x^{9}y^{21}\right)
\\&+\frac{2^2 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29}{3\sqrt{5}}\left(x^{19}y^{11} - x^{11}y^{19}\right)
\\&+\frac{19 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29}{5}\left(x^{17}y^{13} - x^{13}y^{17}\right)
\end{align}
で、これらの間には
\begin{align}
E_{12}^5-E_{20}^3+60\sqrt{5}\,E_{30}^2 = 0
\end{align}
の関係がある。同様に、60次の正二十面体多項式として
\begin{align}
E_{60I} =& E_{12}^5+2\cdot 11\,\sqrt{5}\,E_{30}^2
\\=& E_{20}^3-2\cdot 19\,\sqrt{5}\,E_{30}^2
\\=&x^{60} + y^{60}
\\&+\frac{11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59}{3^2}\left(x^{56}y^{4} + x^{4}y^{56}\right)
\\&+\frac{2^5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59}{3^4 \!\cdot\! 5\sqrt{5}}\left(x^{54}y^{6} + x^{6}y^{54}\right)
\\&-\frac{11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 409}{3^2 \!\cdot\! 5^2}\left(x^{52}y^{8} + x^{8}y^{52}\right)
\\&+\frac{2^7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 691}{3^2 \!\cdot\! 5^3\sqrt{5}}\left(x^{50}y^{10} + x^{10}y^{50}\right)
\\&+\frac{7 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 179}{3 \!\cdot\! 5^2}\left(x^{48}y^{12} + x^{12}y^{48}\right)
\\&-\frac{2^6 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 557}{3^3 \!\cdot\! 5^2\sqrt{5}}\left(x^{46}y^{14} + x^{14}y^{46}\right)
\\&-\frac{11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 29 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 17789}{3^2 \!\cdot\! 5^2}\left(x^{44}y^{16} + x^{16}y^{44}\right)
\\&+\frac{2^7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 1033}{3 \!\cdot\! 5^2\sqrt{5}}\left(x^{42}y^{18} + x^{18}y^{42}\right)
\\&-\frac{7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 557611}{3^2 \!\cdot\! 5}\left(x^{40}y^{20} + x^{20}y^{40}\right)
\\&-\frac{2^5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 286043}{3^3 \!\cdot\! 5^2\sqrt{5}}\left(x^{38}y^{22} + x^{22}y^{38}\right)
\\&+\frac{7 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 967 \!\cdot\! 1523}{3 \!\cdot\! 5^2}\left(x^{36}y^{24} + x^{24}y^{36}\right)
\\&+\frac{2^8 \!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 4673}{3^2 \!\cdot\! 5^2\sqrt{5}}\left(x^{34}y^{26} + x^{26}y^{34}\right)
\\&-\frac{11 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 737641}{3 \!\cdot\! 5}\left(x^{32}y^{28} + x^{28}y^{32}\right)
\\&-\frac{2^7 \!\cdot\! 11^2 \!\cdot\! 19 \!\cdot\! 59 \!\cdot\! 365983}{3^4 \!\cdot\! 5^3\sqrt{5}}\,x^{30}y^{30}
\end{align}
を得て、やはり中間項の係数には59が現れる。

今回の観察結果の何が喜ばしいかというと、正多面体と素数の関わりが有限個で閉じたものではない可能性が出てきたことだ。重複度3以上の場合はどうなるだろうか?既に数式処理ソフト頼りとはいえ、対話式で計算していくには少々厳しくなってきたので、準備をしてから取り組みたい。

球面調和関数

60次の場合を球面調和関数として見ておく。





Figure 1. 左から順に {V_{60I},\,F_{60I},\,E_{60I}} の球面上の関数への変換。回転によって一致しないことは見て取れる。

今回はここまで。次は重複度3以上の場合、{V_{60I}(X,1)=0} の根(リーマン球面上の基本領域にひとつ存在する)などを調べてゆきたい。

計算ノートは以下のリポジトリに順次追加予定です。

github.com