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『正多面体と素数』の計算をしましょう(5)―正二十面体と導手11の楕円曲線

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つづき。今回の記事は何だかよく分からないままに書く。

あるディオファントス方程式の解

V-座標系において、頂点・面・辺に対応する基本の正二十面体多項式は、
\begin{align}
V_{12}(x,y) &=
x^{11}y - xy^{11}
+11\,x^{6}y^{6},\\
V_{20}(x,y) &=
x^{20} + y^{20}
-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 19\left(x^{15}y^{5} - x^{5}y^{15}\right)
+2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19\,x^{10}y^{10},\\
V_{30}(x,y) &=
x^{30} + y^{30}
+2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29\left(x^{25}y^{5} - x^{5}y^{25}\right)
-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29\left(x^{20}y^{10} + x^{10}y^{20}\right)
\end{align}
であった。同じ記号を使って {X} の一変数関数を定義する。
\begin{align}
V_{12}(X) &= V_{12}(X,1),\\
V_{20}(X) &= V_{20}(X,1),\\
V_{30}(X) &= V_{30}(X,1)
\end{align}
これらの間に
\begin{align}
V_{20}^3 - V_{30}^2 = -1728V_{12}^5
\end{align}
の関係があることは既に見てきた。興味深いのは、三つとも {X} の整数係数の多項式であるため、
\begin{align}
A^3-B^2=-1728C^5
\end{align}
の整数解の無限系列を得られるということだ。試しに {X=1} を代入してみる。
\begin{align}
V_{12}(1) &= 11,\\
V_{20}(1) &= 496 = 2^4\cdot 31,\\
V_{30}(1) &= -20008 = -2^3\cdot 41\cdot 61,\\
496^3 - (-20008)^2 &= -1728\cdot 11^5 = -278296128.
\end{align}
なるほど確かに解になっている。ところでこの整数たち、どうにも見覚えがある*1

―――――

ここだ。Sageの楕円曲線に関するドキュメントの一節に496と20008が現れている。

f:id:shironetsu:20210515182610p:plain
Figure 1. Sageドキュメント " Elliptic curves over a general ring" のページ。

www2.math.ritsumei.ac.jp


いったいこれは何なのだろう。

楕円曲線

まず、Sageでは
\begin{align}
y^2+a_1xy+a_3y = x^3+a_2x^2+a_4x+a_6
\end{align}
という形の楕円曲線を({\mathbb{Q}}上で)E = EllipticCurve([a1, a2, a3, a4, a6])によって定義できる。だからこの例で定義されているのは、
\begin{align}
y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20
\end{align}
という楕円曲線になる。実際sage上で試すと、

sage: E = EllipticCurve([0, -1, 1, -10, -20]); E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field

となる。この曲線は {a_i} たちの整数係数多項式で表される {c_4, c_6} を使って
\begin{align}
y^2 = x^3-27c_4x- 54c_6
\end{align}
と書かれる曲線と同型で、Sage上では上の関数を利用して計算できる。

sage: E.c4()
496
sage: E.c6()
20008

楕円曲線をこの {c_4,\,c_6} によって初期化することもできる。

sage: F = EllipticCurve_from_c4c6(496, 20008); F
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 31/3*x - 2501/108 over Rational Field

先に定義したEとの同型性は、

sage: E.is_isomorphic(F)
True

から判定できる。二つの楕円曲線が同型であることは {j}-不変量が一致することと同値である。これも計算できて、

sage: E.j_invariant()
-122023936/161051
sage: F.j_invariant()
-122023936/161051

と確かに一致する。

さて、{c_4,\, c_6} を使うことで得られる恩恵は、判別式 {\Delta}
\begin{align}
\Delta = \frac{c_4^3-c_6^2}{1728}
\end{align}
と簡潔に書けることなのだった。先の {j}-不変量も
\begin{align}
j = \frac{c_4^3}{\Delta} = \frac{1728c_4^3}{c_4^3-c_6^2}
\end{align}
と書けて、上の値は
\begin{align}
\frac{-122023936}{161051} = \frac{1728\cdot 496^3}{496^3-20008^2}
\end{align}
から来ていることになる。判別式は、
\begin{align}
\Delta = \frac{496^3-20008^2}{1728} = -161051 = -11^5
\end{align}
である。この左辺が5乗数 {\times (-1)} になるという事実が、正二十面体多項式の間の関係式、
\begin{align}
\frac{ V_{20}(1)^3-\left(-V_{30}(1)\right)^2 }{1728} = - V_{12}(1)^5
\end{align}
に関連していることになる。

Cremona index

ところでなぜSageのドキュメントにこの楕円曲線が例示されているのだろう? 多分ヒントがこれだ:

sage: E_11a = EllipticCurve('11a'); E_11a
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational Field

Sage上で楕円曲線を初期化するための方法の一つが、この"11a"のように「ラベル」で指定する方法だ。見ての通り、先ほどと同じ楕円曲線を'11a'によって呼び出せている。ドキュメント中の記述:

EllipticCurve(label): Returns the elliptic curve over Q from the Cremona database with the given label. The label is a string, such as "11a" or "37b2". The letters in the label must be lower case (Cremona’s new labeling).
Elliptic curve constructor — Sage 9.3 Reference Manual: Elliptic curves

ここにある通り、「ラベル」はCremona databaseという楕円曲線の巨大なデータベースで管理されているもの。導手(conductor) + 英字アルファベットの文字列(a,b,c...の順)という組み合わせからなる。上の例では、'11a'は導手11の楕円曲線のa番目であることを意味する。導手は

sage: E_11a.conductor()
11

から計算できる。この11は、導手の定義から分かることだが、上で与えた判別式 {\Delta=-11^5} の(唯一の)素因数から来ている。

Cremona database は以下から直接見ることができる。
johncremona.github.io

"TABLE ONE: CURVES"にある"Fetch"ボタンからリストを取れて、上から順に以下のようなデータが示される。

11 a 1 [0,-1,1,-10,-20] 0 5
11 a 2 [0,-1,1,-7820,-263580] 0 1
11 a 3 [0,-1,1,0,0] 0 5
14 a 1 [1,0,1,4,-6] 0 6
14 a 2 [1,0,1,-36,-70] 0 6
14 a 3 [1,0,1,-171,-874] 0 2
14 a 4 [1,0,1,-1,0] 0 6
14 a 5 [1,0,1,-2731,-55146] 0 2
14 a 6 [1,0,1,-11,12] 0 6
15 a 1 [1,1,1,-10,-10] 0 8
15 a 2 [1,1,1,-135,-660] 0 4
15 a 3 [1,1,1,-5,2] 0 8
15 a 4 [1,1,1,35,-28] 0 8
15 a 5 [1,1,1,-2160,-39540] 0 2
15 a 6 [1,1,1,-110,-880] 0 2
15 a 7 [1,1,1,-80,242] 0 4
(以下省略)

各列の形式は

N C # curve r t

の順で以下のように定義されている。

  • N = 導手
  • C = 同種クラス*2
  • # = number of curve in class = 1 (except for 990h3) *3
  • curve = 上で述べた係数 [a1,a2,a3,a4,a6] の組
  • r = ランク
  • t = ねじれ部分群の位数

1行目に”11 a 1 [0,-1,1,-10,-20] 0 5”、問題の楕円曲線が現れる。そう、どうやらこの"11a"はCremona databaseの最初のレコードのようなのだ。

続く2列も導手11の楕円曲線で、同種を除いて導手11の楕円曲線はこの3つで尽きるらしい [Agrawal](よく知られた話なのだろうか)。

ここに詳細な説明があった。
www.lmfdb.org

データにある通りこの楕円曲線11aはランク0、ねじれ部分群の位数5で、{(x,y)=(5,5)}から生成される点によって整点が尽くされる。Sageで確認:

sage: P = E_11a([5,5]); P
(5 : 5 : 1)
sage: 2 * P
(16 : -61 : 1)
sage: 3 * P
(16 : 60 : 1)
sage: 4 * P
(5 : -6 : 1)
sage: 5 * P
(0 : 1 : 0)
sage: 6 * P
(5 : 5 : 1)

……とこの程度までは調べがついたが、ここから先はお手上げだった。どうもこの楕円曲線11aは重要らしく、正二十面体と何らかの関係がある。観察の結果として記しておく次第である。

X=2では?

一般に、{c_4=V_{20},\,c_6=-V_{30}} で定義される楕円曲線の判別式は {-V_{12}^5} になる。フェルマーの小定理から
\begin{align}
V_{12}(X) &= X(X^{10}+11X^5-1) \equiv 0 \mod 11
\end{align}
であるから、11を必ず「悪い素数」として持つことになる。

{X=2} ではどうなるだろうか?

\begin{align}
V_{12}(2) &= 2750 = 2\cdot 5^3\cdot 11,\\
V_{20}(2) &= -5909375 = -5^5\cdot 31 \cdot 61,\\
V_{30}(2) &= 8087890625 = 5^9\cdot 41\cdot 101,\\
(-5909375)^3-(8087890625)^2 &= -1728\cdot 2750^5 = -271773562500000000000.
\end{align}

sage: E2 = EllipticCurve_from_c4c6(-5909375, -8087890625); E2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 5909375/48*x + 8087890625/864 over Rational Field
sage: E2.conductor()
550
sage: E2.discriminant()
-157276367187500000

と、導手550の楕円曲線ができる。これをCremona databaseで探すと、このレコード"550k2"が対応する。

550 k 2 [1,1,1,197,681] 0 5

実際、

sage: E_550k2 = EllipticCurve('550k2'); E_550k2
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + y = x^3 + x^2 + 197*x + 681 over Rational Field
sage: E_550k2.is_isomorphic(E2)
True

と確かに同型になっている。こちらもLMFDBに詳細な情報がある。

www.lmfdb.org

一方、係数でググるとこの楕円曲線が登場する論文がある [Lee]("discriminant {-2750}"との記述があるが、{-2750^5} の誤り?) どういう意義があるのだろう。



何も分からない……………。






Figure 2. アイキャッチ画像用の {V_{12}^5} に対応する球面上の関数。


計算ノートは後日リポジトリに上げます。

github.com

追記(2021/05/18) まとまっていない引用

たまたま開いた「数理科学」の記事[Shiga]でこの楕円曲線11aが目に飛び込んできて驚いた(どうでもいいが本当にパラッとめくった1ページ目だった)。

モジュラリティ―定理の実例を一つ挙げる.{\mathbb{Q}} 上の楕円曲線のコンダクターとなる自然数で最小の値は {N=11} であり,コンダクター {11}楕円曲線{3} 個の標準形があり,これらは互いに同種である.そのうちの一つは
\begin{align}
A1(B):\,y^2+y=x^3-x^2-10x-20.
\end{align}
である.モジュラリティ―定理の主張は {\mathbb{Q}} 上の同種の範囲で不変だから,この形で考察する.

白状するとこの記述を読むまで {\mathbb{Q}} 上で導手(コンダクター)となる最小の値が11であることを分かっていなかった(Cremona indexが11aから始まるのは、{1,\ldots,10,\,12}が何らかの意味で「自明」になるのかとぼんやり思っていた)。

雑にMath Stack Exchangeで"y^2+y=x^3-x^2-10x-20"を検索すると3つ見つかる。これで正しく検索できるのはすごいな。
math.stackexchange.com
math.stackexchange.com
math.stackexchange.com

一般化フェルマー方程式に関する論文で、やはりモジュラリティ―定理の実例として登場している[Bennett,p. 16]

ここにも[Yamamoto、例1.2][Morita]。

こちらでも例にとられているのが11aだ。
tsujimotter.hatenablog.com

準同型 {PSL_2(\mathbb{Z})\rightarrow PSL_2(\mathbb{F}_{11})} の核が主合同部分群 {\Gamma(11)} ということは 正20面体と関係の深い{PSL_2(\mathbb{F}_{11})} とも繋がるのか……?

shironetsu.hatenadiary.com



導手を最小化する楕円曲線と正二十面体に一体何の関係が?


References

*1:496は完全数でもある

*2:という語を使って良いのだろうか

*3:これが分からない