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『正多面体と素数』の計算をしましょう(6)―正二十面体多項式と10n±1型整数

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つづき。今回は前々回の予想を計算機的に検証していく。

予想とはこうだ:

予想

素数 {p} と正整数 {k} に対して、{q=p^k}
\begin{gather}
q \equiv \pm 1 \mod 10,\\
q\neq 9,81
\end{gather}であるとする。{x,\,y} に関する {q+1} 次同次多項式であって、次の3つの性質を満たす {f(x,y)} が存在する。

性質(1) 二項正二十面体群 {\widetilde{\mathcal{I}}} による作用で不変:
\begin{align}
f(x,y) &= f(ax+by, cx+dy),\, &
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\in \widetilde{\mathcal{I}}.
\end{align}

性質(2) {x} に関する最高次の係数は {1}

性質(3) {x^i y^j\ (0\leq i,j\leq q+1)} の項の係数 {c_{ij}} は全て整数で、
\begin{align}
{\rm ord}_p(c_{ij}) + {\rm ord}_p(i) + {\rm ord}_p(j) \geq {\rm ord}_p(q) =k
\end{align}を満たす。ただし整数 {n} に対して、{{\rm ord}_p(n)}{n}{p} で割り切れる回数({n=0}{+\infty} とする)。特に {k=1} の場合、非零の項の係数は {x} に関する最高次・最低次の項と係数を除いて {p} の倍数である。

―――

「存在する」としたが、候補となる多項式を具体的に構成できる。記事(4)で行ったが、再度見る。例を挙げるのが早い。


{q=131} を考える。この {q+1=132} 次では、二項正二十面体群の作用で不変な同次多項式の数は、線型独立なものが {d_{66}=3} で、基底として
\begin{alignat}{4}
V_{12}V_{20}^6&=x^{131}y &-1357&\,x^{126}y^6 &+767675&\,x^{121}y^{11} &- 231813300&\,x^{116}y^{16}+\cdots,\\
V_{12}^6V_{3}^3&=&&x^{126}y^6 &-618&\,x^{121}y^{11} &+114099&\,x^{116}y^{16}+\cdots,\\
V_{12}^{11}&=&&&&x^{121}y^{11} &+121&\,x^{116}y^{16}+\cdots
\end{alignat}を選べる。これらの線型結合であれば予想の条件(1)は満たされる。
{V_{132} = V_{12}V_{20}^6 + 1357\,V_{12}^6V_{3}^3 +70951\,V_{12}^{11}} とすると、
\begin{alignat}{4}
V_{12}V_{20}^6&=x^{131}y &-1357&\,x^{126}y^6 &+767675&\,x^{121}y^{11} &- 231813300&\,x^{116}y^{16}+\cdots,\\
1357\,V_{12}^6V_{3}^3&=&+1357&x^{126}y^6 &- 838626&\,x^{121}y^{11} &+ 154832343&\,x^{116}y^{16}+\cdots,\\
70951\,V_{12}^{11}&=&&&+70951&x^{121}y^{11} &+8585071&\,x^{116}y^{16}+\cdots,\\
V_{132}
&=x^{131}y&&&&&-68395886&\,x^{116}y^{16}+\cdots,
\end{alignat}と、{x} に関して2番目、3番目に最高次の項を消去できる。このようにして得られる {V_{132}}
\begin{align}
V_{132}=&x^{131}y - xy^{131}
\\&-2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 467\left(x^{116}y^{16} + x^{16}y^{116}\right)
\\&+2^6 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 503\left(x^{111}y^{21} - x^{21}y^{111}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 93792007\left(x^{106}y^{26} + x^{26}y^{106}\right)
\\&+2^6 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 379 \!\cdot\! 941\left(x^{101}y^{31} - x^{31}y^{101}\right)
\\&-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 11 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 233221\left(x^{96}y^{36} + x^{36}y^{96}\right)
\\&-2^5 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 75695871607\left(x^{91}y^{41} - x^{41}y^{91}\right)
\\&+2^6 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 6421 \!\cdot\! 8357611\left(x^{86}y^{46} + x^{46}y^{86}\right)
\\&-2^3 \!\cdot\! 7^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 6262028027\left(x^{81}y^{51} - x^{51}y^{81}\right)
\\&+2^2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 95401 \!\cdot\! 5139493\left(x^{76}y^{56} + x^{56}y^{76}\right)
\\&-2^5 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 20023 \!\cdot\! 232187\left(x^{71}y^{61} - x^{61}y^{71}\right)
\\&+11 \!\cdot\! 43 \!\cdot\! 61 \!\cdot\! 71 \!\cdot\! 127 \!\cdot\! \underline{131} \!\cdot\! 173 \!\cdot\! 2557\,x^{66}y^{66}
\end{align}
であり、確かに予想の条件を満足する。

より一般には、{{\rm deg}} 次の二項正二十面体群不変な同次多項式で、線型独立な {d_{{\rm deg}/2}} 個の多項式としては、
{{\rm deg} \equiv 0 \mod 4} のとき、
\begin{align}
V_{12}^aV_{20}^b,\,
12a+20b={\rm deg},\, a,b\geq 0
\end{align}
を、{{\rm deg} \equiv 2 \mod 4} のとき、
\begin{align}
V_{12}^aV_{20}^bV_{30},\,
12a+20b={\rm deg}-30,\,a,b\geq 0
\end{align}を取れる。{x} に関する最高次の次数は {{\rm deg}-a}次であり、どの二つをとってもこれらが一致することはない。従って、一つも存在しない場合を除いて、{a} の最も小さい多項式から他の多項式{a} の小さい順に適当な係数を乗じて引いていけばよい。この手順で得られる多項式を、代表多項式と呼んでおこう*1

アルゴリズムを得たので予想を検証することができる。

とする。このとき、{Q-R=\{9,81\}} であれば予想は正しい。当然ながら数値検証は有限の範囲でしか行えないので、適当な {N} を決めて
\begin{align}
(Q-R) \cap \left\{n \middle| 1\leq n \leq N\right\}
\end{align}の範囲で確かめることになる。

{N=10000} での計算を以下で行った。安直に{\mathbb{Z}} 係数で計算するとメモリが不足するが、{m=p,\,p^2,\ldots,p^k} に対して {\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}} で計算すると数分で完了する。

github.com

そうして以下の結果を得る:

\begin{align}
(Q-R) \cap \left\{n \,\middle|\,1\leq n \leq 1000\right\} &= \left\{9,\,81,\,729,\,6561\right\},\\
(R-Q) \cap \left\{n \,\middle|\,1\leq n \leq 1000\right\} &= \varnothing.
\end{align}

……………!

9が例外になるのは最低次の正二十面体多項式が12だから、81が例外になるのは82次の正二十面体多項式が重根を持つからだった。両者がともに3の冪なのは偶然だと。ところがどうやら、例外が生じる原因はむしろその共通性質だったようだ。

実際、{730=3^6+1} 次の代表多項式 {f(x,y)} は、{\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}}
\begin{align}
f(X, 1)=
&X^{730} + X^{670} + X^{660} + X^{655} + X^{645} + 2 X^{640} + 2 X^{630} + 2 X^{625}
\\&+ 2 X^{615} + X^{610} + X^{600} + X^{535} + X^{525} + X^{520} + X^{510} + 2 X^{505}
\\&+ 2 X^{495} + 2 X^{490} + 2 X^{480} + X^{475} + X^{465} + 2 X^{400} + 2 X^{390} + 2 X^{385}
\\&+ 2 X^{375} + X^{370} + X^{360} + X^{355} + X^{345} + 2 X^{340} + 2 X^{330} + 2 X^{265}
\\&+ 2 X^{255} + 2 X^{250} + 2 X^{240} + X^{235} + X^{225} + X^{220} + X^{210} + 2 X^{205}
\\&+ 2 X^{195} + X^{130} + X^{120} + X^{115} + X^{105} + 2 X^{100} + 2 X^{90} + 2 X^{85}
\\&+ 2 X^{75} + X^{70} + X^{60} + 1
\end{align}と、{3} で一度も割れない係数を中間項にもつ。逆に(3)の条件を満たす項はわずかしかなく、以下の6つの項に限られる。
\begin{align}
\begin{array}{|c|cc|}\hline
\mbox{term} & \mbox{coefficient} \\\hline
x^{730} & 1 \\
x^{420}y^{310} & -3^5\cdot 7238217863129612776511591599814339405996181780386015705036171599184217841243751458822922476763800\\
x^{405}y^{325} & 3^2 \cdot 7232186945707996043573944382471718463480537202520013496908092719268839726870355483190411080555700 \\
x^{325}y^{405} & -3^2 \cdot 7232186945707996043573944382471718463480537202520013496908092719268839726870355483190411080555700 \\
x^{310}y^{420} & -3^5\cdot 7238217863129612776511591599814339405996181780386015705036171599184217841243751458822922476763800 \\
y^{730} & 1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}

こうして我々の予想は修正を迫られる。

正確には、この結果だけから予想は否定されない(「存在する」という形で述べたので)。しかし、あえて以下の形で書き直すことにしよう。

予想'

素数 {p} と正整数 {k} に対して、{q=p^k}
\begin{gather}
q \equiv \pm 1 \mod 10,\\
p\neq 3
\end{gather}であるとする。{q+1} 次の代表多項式は性質(1)-(3)を満たす。

―――

{p=3} が例外であることからも明らかなように、素数であることがなぜか重要らしい。{n=212,\,n=222} に対し、それぞれ {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} で 代表多項式 {f_n} の係数を見ると以下のようになる:
\begin{align}
f_{212}(x,y) =&\,x^{211}y-xy^{211},\\
f_{222}(x,y) =&\,x^{221}y-xy^{221}
\\&+17(x^{196}y^{26}+x^{26}y^{196})
\\&+26(x^{171}y^{51}-x^{51}y^{171})
\\&+119(x^{156}y^{66}+x^{66}y^{156})
\\&+182(x^{136}y^{86}+x^{86}y^{136})
\\&+34(x^{131}y^{91}-x^{91}y^{131})
\end{align}
{211}素数だが {221=13\cdot 17}素数ではない。何かが両者を分けている。

しかしここに見逃していたパターンが現れる。

{f_{222}} の中間項の係数 {17,\,26,\,119,\,182,\,34} は ({\mod 221} だが)いずれも {13}{17} の倍数だ。そして、係数が {13} の倍数のとき {x,y} の冪に {17} の倍数が現れ、係数が {17} の倍数のとき冪に {13} の倍数が現れる。

だから、予想はこうするべきかもしれない。

予想''

正整数 {q}
\begin{align}
q \equiv \pm 1 \mod 10,\\
\end{align}を満たし、{2,\,3,\,5} を除く相異なる素数 {p_1,\,p_2,\ldots,p_n} によって
\begin{align}
q = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}
\end{align}と素因数分解されるとする。

このとき、{q+1} 次の代表多項式は上述の性質(1)、(2)と次の性質(3')を満たす。

性質(3') {x^i y^j\ (0\leq i,j\leq q+1)} の項の係数 {c_{ij}} は全て整数で、{1 \leq m \leq n} に対して
\begin{align}
{\rm ord}_{p_m}(c_{ij}) + {\rm ord}_{p_m}(i) + {\rm ord}_{p_m}(j) \geq {\rm ord}_{p_m}(q) =k_m
\end{align}を満たす。

―――

今度は

  • {Q'}{2,\,3,\,5} のどれでも割り切れず、法 {10}{\pm 1} の1より大きい正整数の集合
  • {R'} :代表多項式が存在して性質(1),(2),(3')を満たす整数の集合

とする。{Q'-R'=\varnothing} であれば予想は正しい。さて再び次数10000までの結果がどうなるかというと

\begin{align}
(Q'-R')\cap \left\{n\, \middle|\, n \in \mathbb{N},\, 2 \leq n \leq 10000\right\} = \varnothing
\end{align}という計算結果を得る。この範囲で予想は正しい。

ただ、少し不思議なことに、(1),(2),(3')の性質を満たす {3} の倍数がこの範囲に {110} も存在する。「例外的に」というにはずいぶん数が多い。

\begin{align}
(R'-Q')\cap \left\{n\, \middle|\, n \in \mathbb{N},\, 2 \leq n \leq 10000\right\} =
\big\{& 429, 561, 741, 759, 891, 969, 1209, 1221, 1419, 1581, \\
&1749, 1881, 1911, 1989, 2079, 2109, 2211, 2301, 2409, 2739, \\
&2769, 2871, 3009, 3021, 3069, 3081, 3201, 3399, 3441, 3531, \\
&3621, 3729, 3861, 3939, 4029, 4059, 4161, 4191, 4329, 4389, \\
&4521, 4599, 4641, 4851, 4929, 5031, 5109, 5181, 5301, 5379, \\
&5421, 5511, 5529, 5661, 5709, 5811, 5841, 5889, 6039, 6201, \\
&6369, 6441, 6501, 6549, 6579, 6681, 6699, 6789, 6831, 6981, \\
&7029, 7089, 7161, 7359, 7449, 7491, 7689, 7701, 7761, 7809, \\
&7821, 7839, 7881, 8019, 8109, 8229, 8379, 8481, 8541, 8679, \\
&8721, 8769, 8811, 8949, 9009, 9021, 9129, 9141, 9321, 9339, \\
&9381, 9399, 9471, 9639, 9669, 9711, 9741, 9789, 9861, 9999\big\}
\end{align}

これらに共通する性質であって、この中に含まれない「{10 n\pm 1} 型の3の倍数」が持たない性質が何なのか、今のところ分かっていない。

ともあれ、素数冪より広いクラスの整数に対する命題として予想を書き換えられたのは前進に感じられる。まだ証明を知らないが、案外二項係数の整除性に似た問題なのかもしれない。分からない。



Figure 1. 72次の代表多項式に対応する球面上の関数。

*1:もっと気の利いた名前を付けたいところではある。