Shironetsu Blog

@shironetsuのブログ

『正多面体と素数』の計算をしましょう(7)─正八面体・正二十面体と保型形式

shironetsu.hatenadiary.com

続き.今回の記事は軽量なGitHub Pagesに上げることにしました.

shironetsu.github.io

目次

  • これは何
  • はじめに
  • 正八面体の場合
    • 正八面体多項式
    • 指標理論
    • 保型形式とテータ定数
    • Broué–Enguehard 写像 と重み枚挙多項式
    • レベル4の主合同部分群
  • 正二十面体群の場合
  • まとめと展望
  • References

概要

二項正 {n\,(n=8,\,20)} 面体の作用で高々 {\pm 1} の定数倍の変化しか受けない正 {n} 面体多項式{SL(2,\mathbb{Z})} の保型形式は,主合同部分群に関する保型形式によって結びつく.この繋がりを紐解く過程で現れるのは,{2} 元線形符号の重み枚挙多項式,ロジャース・ラマヌジャン恒等式ラマヌジャンの連分数など、種々の興味深い数学的対象である.

フルーツ・パズルをSageMathで解く――楕円曲線論初歩

  • これは何
  • 「95%の人が解けない問題」
  • SageMathで楕円曲線
  • ねじれ部分
  • フルーツ・パズルの発祥はどこ?
  • References

これは何

「95%の人が解けない問題」とされるインターネットミームに書かれた方程式は、見た目に反して背景に楕円曲線がある難問で、この記事ではSageMathという数式処理システムを利用して解いてみた。

SageMath Notebookを以下のページに上げています。

github.com


「95%の人が解けない問題」


https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-5b0690e302a38cf2a8068158199e7a21-c
Figure 1. 95% of people cannot solve this! <equation> Can you find positive whole values for :apple:, :banana:, and :pineapple:?

記事タイトルのフルーツ・パズルとはFig. 1で問われているパズルのこと。数年前にミーム化した画像なので知っている人も多いだろう。自分はTwitterで知ったはず。要は
\begin{align}
\frac{X}{Y+Z} + \frac{Y}{X+Z} + \frac{Z}{X+Y} = 4
\end{align}の正整数解 {(X,\,Y,\,Z)} を見つけよ、という問題で、煽り気味に「95%の人が解けない!」という文句が付いている。しかし、実のところ見た目に反して「頭の体操」で済む難度の方程式ではない。実際、最小の解は
\begin{align}
X &= 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 \simeq 4.4 \times 10^{78},\\
Y &= 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579 \simeq 3.7 \times 10^{79},\\
Z &= 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 \simeq 1.5 \times 10^{80}
\end{align}
と非常に巨大な数になる。

こんな大きな整数が一体どうやって見つかるのだろうか? {X,\,Y,\,Z} の3重ループで探索すれば、整数解としては {(X,Y,Z)=(-1,4,11), (-5,9,11)} などが見つかる。しかし正の解にたどり着くには、その前に太陽の寿命が尽きてしまう。

このフルーツ・パズルには既に優れた解説がいくつもある[1-5]。特に論文”"An unusual cubic representation problem"[3]には、より一般的な形の {a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=N} の整数解に関する包括的な議論がある。

鍵は楕円曲線だ。いずれの解説でも、楕円曲線上の有理点を計算する問題へと翻訳するという点で、求解の手順は基本的に一致している。概要を述べよう。

続きを読む

『正多面体と素数』の計算をしましょう(6)―正二十面体多項式と10n±1型整数

shironetsu.hatenadiary.com

つづき。今回は前々回の予想を計算機的に検証していく。

予想とはこうだ:

予想

素数 {p} と正整数 {k} に対して、{q=p^k}
\begin{gather}
q \equiv \pm 1 \mod 10,\\
q\neq 9,81
\end{gather}であるとする。{x,\,y} に関する {q+1} 次同次多項式であって、次の3つの性質を満たす {f(x,y)} が存在する。

性質(1) 二項正二十面体群 {\widetilde{\mathcal{I}}} による作用で不変:
\begin{align}
f(x,y) &= f(ax+by, cx+dy),\, &
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\in \widetilde{\mathcal{I}}.
\end{align}

性質(2) {x} に関する最高次の係数は {1}

性質(3) {x^i y^j\ (0\leq i,j\leq q+1)} の項の係数 {c_{ij}} は全て整数で、
\begin{align}
{\rm ord}_p(c_{ij}) + {\rm ord}_p(i) + {\rm ord}_p(j) \geq {\rm ord}_p(q) =k
\end{align}を満たす。ただし整数 {n} に対して、{{\rm ord}_p(n)}{n}{p} で割り切れる回数({n=0}{+\infty} とする)。特に {k=1} の場合、非零の項の係数は {x} に関する最高次・最低次の項と係数を除いて {p} の倍数である。

―――

「存在する」としたが、候補となる多項式を具体的に構成できる。記事(4)で行ったが、再度見る。例を挙げるのが早い。

続きを読む

『正多面体と素数』の計算をしましょう(5)―正二十面体と導手11の楕円曲線

shironetsu.hatenadiary.com

つづき。今回の記事は何だかよく分からないままに書く。

あるディオファントス方程式の解

V-座標系において、頂点・面・辺に対応する基本の正二十面体多項式は、
\begin{align}
V_{12}(x,y) &=
x^{11}y - xy^{11}
+11\,x^{6}y^{6},\\
V_{20}(x,y) &=
x^{20} + y^{20}
-2^2 \!\cdot\! 3 \!\cdot\! 19\left(x^{15}y^{5} - x^{5}y^{15}\right)
+2 \!\cdot\! 13 \!\cdot\! 19\,x^{10}y^{10},\\
V_{30}(x,y) &=
x^{30} + y^{30}
+2 \!\cdot\! 3^2 \!\cdot\! 29\left(x^{25}y^{5} - x^{5}y^{25}\right)
-3 \!\cdot\! 5 \!\cdot\! 23 \!\cdot\! 29\left(x^{20}y^{10} + x^{10}y^{20}\right)
\end{align}
であった。同じ記号を使って {X} の一変数関数を定義する。
\begin{align}
V_{12}(X) &= V_{12}(X,1),\\
V_{20}(X) &= V_{20}(X,1),\\
V_{30}(X) &= V_{30}(X,1)
\end{align}
これらの間に
\begin{align}
V_{20}^3 - V_{30}^2 = -1728V_{12}^5
\end{align}
の関係があることは既に見てきた。興味深いのは、三つとも {X} の整数係数の多項式であるため、
\begin{align}
A^3-B^2=-1728C^5
\end{align}
の整数解の無限系列を得られるということだ。試しに {X=1} を代入してみる。
\begin{align}
V_{12}(1) &= 11,\\
V_{20}(1) &= 496 = 2^4\cdot 31,\\
V_{30}(1) &= -20008 = -2^3\cdot 41\cdot 61,\\
496^3 - (-20008)^2 &= -1728\cdot 11^5 = -278296128.
\end{align}
なるほど確かに解になっている。ところでこの整数たち、どうにも見覚えがある*1

―――――

ここだ。Sageの楕円曲線に関するドキュメントの一節に496と20008が現れている。

f:id:shironetsu:20210515182610p:plain
Figure 1. Sageドキュメント " Elliptic curves over a general ring" のページ。

www2.math.ritsumei.ac.jp


いったいこれは何なのだろう。

*1:496は完全数でもある

続きを読む

『正多面体と素数』の計算をしましょう(4)―正二十面体・あいだの次数・p=59問題

shironetsu.hatenadiary.com

つづき。今回の記事からは『正多面体と素数』に書かれていないことを調べていく。

ヒルベルト-ポアンカレ級数

一つ目の記事で概説したように、ヒルベルト-ポアンカレ級数は一次独立な正二十面体多項式が各次数にいくつあるかを教えてくれる。

改めて、
\begin{align}
P(t)
= \frac{1-t^{30}}{(1-t^6)(1-t^{10})(1-t^{15})}
= \sum_{i=0}^\infty d_i t^i
\end{align}
とおこう。{d_i} が次数 {2i} の一次独立な正二十面体多項式の個数になる。最初のいくつかの項は、
\begin{align}
P(t) =& 1+{{t}^{6}}+{{t}^{10}}+{{t}^{12}}+{{t}^{15}}+{{t}^{16}}+{{t}^{18}}+{{t}^{20}}+{{t}^{21}}+{{t}^{22}}+{{t}^{24}}+{{t}^{25}}\\
&+{{t}^{26}}+{{t}^{27}}+{{t}^{28}}+2 {{t}^{30}}+{{t}^{31}}+t^{32}+t^{33}+t^{34}+t^{35}+2t^{36}+\cdots
\end{align}
であって、{d_6=1,\, d_{10}=1,\, d_{12}=1} がそれぞれ頂点、面、辺に対する正二十面体多項式 {F_{12},\, F_{20},\, F_{30} }に対応する。{P(t)} の形を見ると分かるように、{a_i}{6p+10q+15r=i}{p,q,r\geq 0} なる整数解の個数とすると、{d_i=a_i-a_{i-30}} である。これは高次の正二十面体多項式を作る方法を考えると理解できる。{F_{12},\, F_{20},\, F_{30} } の積をとると{F_{12}^pF_{20}^qF_{30}^r} の形で 次数{6p+10q+15r} の正二十面体多項式が作られるが、{F_{12}^5,\,F_{20}^3,\,F_{30}^2} の間にはひとつの一次の関係式があるため、そのぶん独立なものが減る、ということだ。

続きを読む

『正多面体と素数』の計算をしましょう(3)―正二十面体・頂点を∞へ立体射影

  • 頂点の立体射影を根に持つモニック多項式
    • 頂点の座標
  • 正20面体多項式
    • 20次
    • 30次
    • 32次
    • 42次
    • 50次
    • 62次
  • 球面調和関数
  • 展望
  • References

shironetsu.hatenadiary.com

つづき。今回は立体射影で無限遠点へ写されるのが正二十面体の頂点の一つであるような座標系、V-座標系を考える。『正多面体と素数』の10.2.2節に対応。

『正20面体と5次方程式』を著したF. クライン[Klein-1Klein-2]や、グレッグ・イーガンEgan]もこの座標系を採用している。若干の記号の違いはあるが、前者ではここで計算するのと等価な式を見つけることができる。

この座標系を利用して計算を行うことの利点は明白で、{z} 軸が5回対称軸になるため正二十面体多項式の項数が最少になるのだ。正20面体ではこれが最大の対称性(含まれる元の位数の最大値)なので、係数の観察が主眼でなければこれは大変良い性質だ。{z} 軸回りの回転周期が短いためGIFアニメーションを作るときのレンダー時間が最も少なくなるという現代的な利点もある。

計算手順などは前の2つの記事で説明した通り。どんどん計算していこう。

続きを読む

『正多面体と素数』の計算をしましょう(2)―正二十面体・面の中心を∞へ立体射影

  • 頂点の立体射影を根に持つモニック多項式
    • 頂点の座標
    • 立体射影
  • 正20面体多項式
    • 12次
    • 20次
    • 30次
    • 32次
    • 42次
    • 50次
    • 62次
  • 球面調和関数

shironetsu.hatenadiary.com

つづき。今回は『正多面体と素数』10.2.3「面の中心を {\infty} へ立体射影する場合」に対応。

{\mathbb{R}}^3上で半径1の球に外接する正20面体に対して、頂点・面の中心・辺の中点の座標が全て代数的整数になるような置き方が3つ考えられるのだった。
前の記事でそれぞれ以下のように名付け、E-座標系については既に扱った。

立体射影で無限遠点 ∞ に移る点 本記事での呼称
頂点 V-座標系
中心から外接球への面の中心の射影 F-座標系
中心から外接球への辺の中点の射影 E-座標系

今回の記事ではF-座標系を扱う。無限遠点に射影されるのは正確には「外接球の中心から面の中心(重心)の、球面上への射影」だが、混同がない限り単に「面の中心」と呼ぶことにする。球面上に張り付くまで膨らませた正20面体を考えると思えばいい。

計算の手順は前と同じ。振り返っておこう。

(1) 正二十面体の12個の頂点の座標を列挙する。
(2) (1)で得た頂点たちの、立体射影による{\mathbb{C}\cup\{\infty\}}上への像を計算する。
(3) (2)で得た12個の複素数を根に持つモニック多項式 {F_{12}(X)} を計算する。これが頂点に対する正二十面体多項式
(4) {F_{12}(X)} を12次の2変数同次多項式 {F_{12}(x,y)} へ変換する。
(5) {F_{12}(x,y)} のヘッシアンの行列式(2変数20次の同次多項式)を {x}の最高次の係数が1になるように定数倍して {F_{20}(x,y)} を求める。{F_{20}(X,1)} は面に対する正二十面体多項式に一致する。
(6) {F_{12}(x,y)}{F_{20}(x,y)} の関数行列式(2変数30次の同時多項式)を {x} の最高次の係数が1になるように定数倍して{F_{30}(x,y)} を求める。{F_{30}(X,1)} は辺に対する正二十面体多項式に一致する。
(7) {F_{12}^{a} F_{20}^{b} F_{30}^{c}} を計算する。ただし {(a,b,c)=(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}

続きを読む