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PSL(2,13)指標表手作り体験記(1)――G2の有限部分群

イントロ:G2の有限部分群

 PSL(2,13)は例外型リー群\(G_2\)の有限部分群である.

 本記事はこの衝撃的な事実を確かめることを主目的とする.
 自分はこれを論文[1]で知った. そこでは複素化された\(G_2(\mathbb{C})\)の有限部分群を調べた論文[2]をもとに\(G_2\)の有限部分群が表にまとめられている.

\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\mbox{部分群}\,\Gamma \in G_2 & \mbox{タイプ} & |\Gamma| \\ \hline \hline
SU(2)\times SU(2), SU(3)\mbox{の有限部分群} & - & -\\ \hline
PSL(2,7) \cong GL(3,2) \cong \Sigma(168) \in SU(3) & {\rm I} & 168\\ \hline
PSL(2,7) \rtimes \mathbb{Z}_2^3 & {\rm I} & 1344 \\ \hline
PGL(2,7) & {\rm P} & 336\\ \hline
PSL(2,8) & {\rm P} & 504\\ \hline 
PSL(2,13) & {\rm P} & 1092\\ \hline
PU(3,3) \cong G_2(2)' & {\rm P} & 6048\\ \hline
G_2(2) & {\rm P} & 12096\\ \hline
\end{array}
\end{align}
表:\(G_2\)の有限部分群.

「タイプ」のPとIの記号はprimitive(P)とimprimitive(I)を意味する. それぞれ\(G_2\)の7次元表現への埋め込みが可約か既約かに対応.

 いずれは\(PSL(2,8)\)や\(G_2(2)\)も調べたいがまずは\(PSL(2,13)\). 7次元既約表現があることは\(PSL(2,p)\)の一般論から分かる. そしてたぶん実表現であることも. \(SO(7)\)に入るならいっそのこと\(G_2\)に入っていてくれたらいいな……と期待してしまう. そしてその通りなのである. すごい.

 なお本記事との直接的なつながりはないが以下の記事の記法をいくつか引き続き用いた.
PSL(2,11)指標表手作り体験記――Paley biplaneと正20面体 - Shironetsu Blog


PSL(2,13):基本的性質と13次元既約表現

共役類

前回の記事の記法を踏襲して, \(PSL(2,13)\)の9つある共役類に以下の記号を与える.
\begin{align}
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\mbox{共役類}&\mbox{代表元} & \mbox{大きさ} &\mbox{位数} \\ \hline
1A_1&\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
& 1 & 1 \\ \hline
91A_2&\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} =t
& 91 & 2 \\ \hline
182A_3&\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = st
& 182 & 3 \\ \hline
84A_{13}&\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s
& 84 & 13 \\ \hline
84B_{13}&\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} = s^2
& 84 & 13 \\ \hline
156A_7&\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^3t
& 156 & 7 \\ \hline
182A_6&\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^4t
& 182 & 6 \\ \hline
156B_7&\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^5t
& 156 & 7 \\ \hline
156C_7&\begin{bmatrix}
6 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} = s^6t
& 156 & 7 \\ \hline
\end{array}
\end{align}
合わせて位数は
\begin{align}
|PSL(2,13)|=1092.
\end{align}

置換表現と13次元既約表現

 共役類の各代表元の, \(P^1(\mathbb{F}_{13})=\mathbb{F}_{13}\cup\{\infty\}\)の14点への作用は以下の通り.
\begin{align}
PSL(2,13) &\hookrightarrow Sym(13)\\
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty)(1\ 12)(2\ 6)(3\ 4)(7\ 11)(9\ 10)\\
\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 1)(2\ 7\ 12)(3\ 5\ 6)(8\ 9\ 11)\\
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11\ 12)\\
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ 2\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12\ 1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11)\\
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 3\ 7\ 1\ 2\ 9)(4\ 6\ 5\ 8\ 11\ 10\ 12)\\
\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 4\ 7\ 2\ 10)(1\ 3\ 8\ 12\ 5\ 9)\\
\begin{bmatrix}
5 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 5\ 10\ 1\ 4\ 8)(2\ 11\ 12\ 6\ 7\ 3\ 9)\\
\begin{bmatrix}
6 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} &\mapsto (0\ \infty\ 6\ 8\ 1\ 5\ 11)(2\ 12\ 7\ 4\ 9\ 3\ 10)
\end{align}
これで13次元表現の指標が得られる.
\begin{align}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{置換の型} &
\lbrack 1^{14}\rbrack &
\lbrack 1^22^6\rbrack &
\lbrack 1^23^4\rbrack &
\lbrack 1^113^1\rbrack &
\lbrack 1^113^1\rbrack &
\lbrack 7^2\rbrack&
\lbrack 1^26^2\rbrack&
\lbrack 7^2\rbrack&
\lbrack 7^2\rbrack \\ \hline
\mbox{指標}&13 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline
\end{array}
\end{align}


7次元既約表現とG2

 \(PSL(2,13)\)は7次元既約表現をもつ. どうやって作ろう. \(PSL(2,p)\)の\((p\pm 1)/2\)次元既約表現の構成に関する一般論がありそうなものだが, これを自分は知らない. \(4n+1\)型素数と\(4n+3\)型素数では様子が大きく異なるため\(PSL(2,7),\ PSL(2,11)\)でのやり方はそのまま通じないだろう. そこで\(PSL(2,5)\)の3次元既約表現, すなわち正20面体群を参考に試行錯誤することでなんとか次の表現を見つけ出した.
\begin{align}
s = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}
&\mapsto
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
b & . & . & -u & . & . & .\\
. & d & . & . & v & . & .\\
. & . & f & . & . & -w & .\\
u & . & . & b & . & . & .\\
. & -v & . & . & d & . & .\\
. & . & w & . & . & f & .\\
. & . & . & . & . & . & 2
\end{pmatrix}
=:S \\
t = \begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
&\mapsto
\frac{-1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e & f & \sqrt{2}\\
b & c & d & e & f & a & \sqrt{2}\\
c & d & e & f & a & b & \sqrt{2}\\
d & e & f & a & b & c & \sqrt{2}\\
e & f & a & b & c & d & \sqrt{2}\\
f & a & b & c & d & e & \sqrt{2}\\
\sqrt{2} & \sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
=:T
\end{align}
ただし,
\begin{gather}
\zeta = \exp\frac{2\pi\sqrt{-1}}{13},\\
a = \zeta + \zeta^{12},\ \ \
b = \zeta^6 + \zeta^7,\ \ \
c = \zeta^3+\zeta^{10},\\
d = \zeta^5 + \zeta^8,\ \ \
e = \zeta^4 + \zeta^9,\ \ \
f = \zeta^2 + \zeta^{11},\\
u = \frac{\zeta^6-\zeta^7}{\sqrt{-1}},\ \ \
v = \frac{\zeta^5-\zeta^8}{\sqrt{-1}},\ \ \
w = \frac{\zeta^2-\zeta^{11}}{\sqrt{-1}}.
\end{gather}
また, ドット(.)は0を意味する. このようにとると,
\begin{align}
S^{13} = T^2 = (TS)^3 = (S^2TS^7T)^3 = {\bf 1}
\end{align}
が満たされ, \(PSL(2,13)\)の表現となることが分かる.

 指標は次のように書ける.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&7 & -1 & 1 & -\alpha & -\beta & 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline
\end{array}\\
\alpha = \zeta + \zeta^3+\zeta^4+\zeta^9+\zeta^{10} + \zeta^{12}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\
\beta = \zeta^2+\zeta^5+\zeta^6+\zeta^7+\zeta^8+\zeta^{11}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}
\end{gather}
また, 共役類\(84A_{13}\)と\(84B_{13}\)を外部自己同型で入れ替えると同値でない既約表現になる.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&7 & -1 & 1 & -\beta & -\alpha & 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline
\end{array}
\end{gather}

 さて, 見ての通り, 行列\(S,T\)はともに成分がすべて実で, 特に行列式が1の直交行列となっている.
従って\(PSL(2,13)\subset SO(7)\)は明らか. ところがその間にもうひとつリー群がいて,
\begin{align}
PSL(2,13) \subset G_2 \subset SO(7)
\end{align}
となっているのだ.

八元数

 八元数\(\mathbb{O}\)の\(\mathbb{R}-\)基底と積を以下の通り定義する[3].

\begin{gather}
    \mathbb{O} = \left\{ \sum_{i=0}^7 x_ie_i \mid x_i\in \mathbb{R}\right\}\\
    e_0e_i = e_ie_0 = e_i,\ \ \ i=0,\cdots,7\\
    e_ie_j = -e_je_i = e_k\\
    (i,j,k)\in \left\{(1,2,3),(3,5,6),(6,7,1),(1,4,5),(3,4,7),(6,4,2),(2,5,7)\right\}
\end{gather}

f:id:shironetsu:20190322063723p:plain:w600
ファノ平面に配置した添え字. 矢印の順にサイクリックに読む.
\(e_0\)は\(1\)と同一視して実部, 他の7次元分を虚部と呼ぶ. 共役は,

\begin{align}
    x=x_0e_0 + \sum_{i=1}^7 x_ie_i \Rightarrow \overline{x} = x_0e_0 - \sum_{i=1}^7 x_ie_i.
\end{align}

内積は,
\begin{align}
(x,y) = {\rm Re}(\overline{x}y)
= \frac{1}{2}(\overline{x}y+\overline{y}x)
=\sum_{i=0}^7 x_iy_i
\end{align}
によって定義される.

例外型リー群 G2

 例外型リー群 \(G_2\)は八元数の自己同型群となる正則線形変換の全体として定義される.
\begin{align}
G_2 = {\rm Aut}(\mathbb{O})
= \{A \mid \forall x,y \in \mathbb{O},\ A(x)A(y) = A(xy)\}
\end{align}
実部\(e_0\)への作用について,
\begin{align}
A(e_0)A(x) = A(e_0x) = A(x)
\end{align}
がすべての\(x\in\mathbb{O}\)で成り立たなくてはならないことから,\(A(e_0)=e_0\). つまり実部を変えない. このことから, 共役と可換であることも分かる:\(\overline{A(x)} = A(\overline{x})\). また,

\begin{align}
    (A(x),A(y)) = {\rm Re}(\overline{A(x)}A(y)) = {\rm Re}(A(\overline{x}y)) = {\rm Re}(\overline{x}y) = (x,y)
\end{align}

から, 内積も変えない. 従って, 7次元の虚部に対する直交変換であることが分かる. 加えて行列式が1であることを事実として認めると*1 , \(G_2\subset SO(7)\)が分かる.

 たとえば, 基底に対して以下のように定義される変換は八元数の積を保つので\(G_2\)の元.
\begin{align}
A(e_i) \mapsto \left\{
\begin{array}{cc}
-e_2 & i=1 \\
e_1 & i=2 \\
e_6 & i=5\\
-e_5 & i=6\\
e_i & {\rm else}
\end{array}
\right.
\end{align}
実際,
\begin{align}
A(e_1)A(e_2) &= -e_2e_1 = e_3 = A(e_3)=A(e_1e_2)\\
A(e_1)A(e_4) &= -e_2e_4 = e_6 = A(e_5)=A(e_1e_4)\\
A(e_4)A(e_5) &= e_4e_6 = -e_2 = A(e_1) = A(e_4e_5)
\end{align}
などが成り立つ. 「などが成り立つ」なんて言ったが, 実際ある行列式1の直交変換が八元数の積を保つかどうかチェックしようとすると, 基底のすべての組み合わせ21通りをチェックするしかない. しかも, \(SO(7)\)上の行列のなす群がたとえ\(G_2\)の部分群であったとしても, 「いまの八元数の積の定義」での\(G_2\)に入るとは限らない. たとえば, 次に挙げる変換\(A'\)は明らかに上の\(A\)と\(SO(7)\)上共役だが, 積は保たない.
\begin{gather}
A': e_i\mapsto = \left\{
\begin{array}{cc}
-e_2 & i=1 \\
e_1 & i=2 \\
e_5 & i=4\\
-e_4 & i=5\\
e_i & {\rm else}
\end{array}
\right.\\
A'(e_1)A'(e_4) = -e_2e_5 = -e_7 \neq A'(e_1e_4) = -e_4\\
\Rightarrow A' \not\in G_2
\end{gather}
そして残念ながら上で定義した行列\(S,T\)もそのままでは\(G_2\)の元とはならない.

相似変換

 ではどうすれば\(G_2\)の元に相似変換できるか? やはり試行錯誤するしかないが, \(S,T\)を非常に整った形で実現したことのご利益がここに現れる.
 
 まず\(S\)を見る. 三角関数を使って表すとこうなる.
\begin{align}
S = \begin{pmatrix}
\cos 6\delta & . & . & -\sin6\delta & . & . & .\\
. & \cos5\delta & . & . & \sin5\delta & . & .\\
. & . & \cos2\delta & . & . & -\sin2\delta & .\\
\sin6\delta & . & . & \cos6\delta & . & . & .\\
. & -\sin5\delta & . & . & \cos5\delta & . & .\\
. & . & \sin2\delta & . & . & \cos2\delta & .\\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix},\ \ \
\delta = \frac{2\pi}{13}.
\end{align}
3つの2×2回転行列の直和と不変な1次元. この不変な第7成分が\(e_7\)に対応するとしよう. 八元数の\((1,6,7),(3,4,7),(2,5,7)\)でそれぞれ四元数の虚部をなすので, \(e_7\)だけ固定して他2つを回転させる, というのは少なくとも独立には四元数の計算規則を守る. 頑張って計算すると次の変換が積を保つことが分かる.
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
S \begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos6\delta\,e_1 -\sin6\delta\,e_6\\
\cos5\delta\,e_5 + \sin5\delta\,e_2\\
\cos2\delta\,e_3 - \sin6\delta\,e_4\\
\sin6\delta\,e_1 + \cos6\delta\,e_6\\
-\sin5\delta\,e_5 + \cos5\delta\,e_2\\
\sin2\delta\,e_3 + \cos2\delta\,e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
=:\begin{pmatrix}
e_1'\\
e_5'\\
e_3'\\
e_6'\\
e_2'\\
e_4'\\
e_7'
\end{pmatrix}
\end{align}
たとえば,
\begin{align}
e_1'e_2' &= (\cos6\delta\,e_1 -\sin6\delta\,e_6)(-\sin5\delta\,e_5 + \cos5\delta\,e_2)\\
&=-\cos6\delta\sin5\delta e_1e_5 -\sin6\delta \cos5\delta e_6e_2\\
&\ \ \ +\cos6\delta \cos5\delta e_1e_2 +\sin6\delta \sin5\delta e_6e_5\\
&=-\cos6\delta\sin5\delta (-e4) -\sin6\delta \cos5\delta (-e_4)\\
&\ \ \ +\cos6\delta \cos5\delta e_3 +\sin6\delta \sin5\delta (-e_3)\\
&= \sin 11\delta\,e_4 +\cos 11\delta\,e_3\\
&= \cos 2\delta\,e_3 -\sin2\delta\,e_4\\
&= e_3'.
\end{align}
\(S\)が順序を入れ替えるだけで八元数の積を保てるようになることが分かった. しかし\(T\)はまだだめ. できれば\(S\)は崩したくない. そこで\(S\)と交換する行列による共役変換を試す.

 \(T\)を見る.
\begin{align}
T = \frac{-1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e & f & \sqrt{2}\\
b & c & d & e & f & a & \sqrt{2}\\
c & d & e & f & a & b & \sqrt{2}\\
d & e & f & a & b & c & \sqrt{2}\\
e & f & a & b & c & d & \sqrt{2}\\
f & a & b & c & d & e & \sqrt{2}\\
\sqrt{2} & \sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} &\sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
\(\sqrt{2}\)がかたまっているのが嬉しくない. そこで次の行列\(P\)によって相似変換する.
\begin{align}
P = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & . & . & 1 & . & . & .\\
. & 1 & . & . & -1 & . & .\\
.& . & 1 & . & . & -1 & . \\
-1 & . & . & 1 & . & . & .\\
. & 1 & . & . & 1 & . & .\\
.& . & 1 & . & . & 1 & . \\
. & . & . & . & . & . & \sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
\(P\)は\(S\)と交換する. 一方,
\begin{align}
PTP^{-1}
&=\frac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
-a-d & . & . & . & -b-e & -c-f & -2\\
. & -c+f & a-d & b-e & . & . & . \\
. & a-d & b-e & c-f & . & . & . \\
. & b-e & c-f & -a+d & . & . & .\\
-b-e & . & . & . & -c-f & -a-d & -2\\
-c-f & . & . & . & -a-d & -b-e & -2\\
-2 & . & . & . & -2 & -2 & -1
\end{pmatrix}
=:T'
\end{align}
\(\sqrt{2}\)が消えた. この新たな行列\(T'\)による変換が八元数の積を保つ.
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
T' \begin{pmatrix}
e_1\\
e_5\\
e_3\\
e_6\\
e_2\\
e_4\\
e_7
\end{pmatrix}
\end{align}
たとえば...いや, ちょっと手計算する気がおきない.

 整理するため基底の順序を取り換えよう. 次の置換行列\(O\)を用意しておいて,
\begin{align}
O =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & 1 & . & . \\
. & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . \\
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & 1 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix},
\end{align}
新たに\(\mathcal{S},\mathcal{T}\)を定義する.
\begin{align}
\mathcal{S} &:= OPSP^{-1}O^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
\cos6\delta & . & . & . & . & -\sin6\delta\\
. & \cos5\delta & . & . & -\sin5\delta & . & . \\
. & . & \cos2\delta & -\sin2\delta & . & . & . \\
. & . &\sin2\delta & \cos2\delta & . & . & . \\
. & \sin5\delta & . & . & \cos5\delta & . & . \\
\sin6\delta & . & . & . & . & \cos6\delta & . \\
. & . & . & . & . & . & 1
\end{pmatrix}\\
\mathcal{T} &:= OPTP^{-1}O^{-1}\\
&=\frac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
-a-d & -b-e & . & -c-f & . & . & -2\\
-b-e & -c-f & . & -a-d & . & . & -2\\
. & . & b-e & . & a-d & c-f & .\\
-c-f & -a-d & . & -b-e & . & . & -2\\
. & . & a-d & . & -c+f & b-e & .\\
. & . & c-f & . & b-e & -a+d & .\\
-2 & -2 & . & -2 & . & . & -1
\end{pmatrix}
\end{align}
すると, これらによる線形変換:
\begin{align}
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
{\mathcal S} \begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix},\ \ \
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\mapsto
{\mathcal T} \begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
e_3\\
e_4\\
e_5\\
e_6\\
e_7
\end{pmatrix}
\end{align}
は\(PSL(2,13)\)の生成元であり, \(G_2\)の元となるのである.

数値実験

 ほんとうに八元数の積を保つのか? 数値的に見てみるまでは安心できない. 実験してみよう. Pythonで.

from math import pi,sqrt,cos,sin
from cmath import exp
import numpy as np

八元数の積を定義. インデックスがゼロ始まりのため1つずれていることに注意.

def octo_prod(u,v):
       return np.array([u[1]*v[2]-u[2]*v[1] + u[3]*v[4]-u[4]*v[3] + u[5]*v[6]-u[6]*v[5],
                        u[2]*v[0]-u[0]*v[2] + u[5]*v[3]-u[3]*v[5] + u[4]*v[6]-u[6]*v[4],
                        u[0]*v[1]-u[1]*v[0] + u[4]*v[5]-u[5]*v[4] + u[3]*v[6]-u[6]*v[3],
                        u[6]*v[2]-u[2]*v[6] + u[4]*v[0]-u[0]*v[4] + u[1]*v[5]-u[5]*v[1],
                        u[0]*v[3]-u[3]*v[0] + u[5]*v[2]-u[2]*v[5] + u[6]*v[1]-u[1]*v[6],
                        u[6]*v[0]-u[0]*v[6] + u[3]*v[1]-u[1]*v[3] + u[2]*v[4]-u[4]*v[2],
                        u[0]*v[5]-u[5]*v[0] + u[2]*v[3]-u[3]*v[2] + u[1]*v[4]-u[4]*v[1]])

諸定数を設定. qが \deltaに, zが\zetaに対応.

q = 2*pi/13.0
z = exp(2j*pi/13.0)
a = z + z**12
b = z**6 + z**7
c = z**3 + z**10
d = z**5 + z**8
e = z**4 + z**9
f = z**2 + z**11

ふたつの行列を作る.

S = np.array([[cos(6*q),0,0,0,0,-sin(6*q),0],
              [0,cos(5*q),0,0,-sin(5*q),0,0],
              [0,0,cos(2*q),-sin(2*q),0,0,0],
              [0,0,sin(2*q),cos(2*q),0,0,0],
              [0,sin(5*q),0,0,cos(5*q),0,0],
              [sin(6*q),0,0,0,0,cos(6*q),0],
              [0,0,0,0,0,0,1]])

T = 1/sqrt(13)* \
    np.array([[-a-d,-b-e,0,-c-f,0,0,-2],
              [-b-e,-c-f,0,-a-d,0,0,-2],
              [0,0,b-e,0,a-d,c-f,0],
              [-c-f,-a-d,0,-b-e,0,0,-2],
              [0,0,a-d,0,-c+f,b-e,0],
              [0,0,c-f,0,b-e,-a+d,0],
              [-2,-2,0,-2,0,0,-1]])

ランダムにふたつの7次元ベクトルu,vをとる.

u = np.random.randn(7)
array([-1.46835478, -1.03908311,  0.65394529, -2.05879815, -0.11483368,
       -0.08945579,  0.07377853])
v = np.random.randn(7)
array([-1.57807514, -0.99362126, -0.14204158,  0.10899408, -2.31439725,
        1.05387586, -0.90875485])

Tで変換してから積を取ったとき.

octo_prod(T@u,T@v)

実行結果

array([ 1.70133359-5.48420585e-16j,  3.72400204-1.68083493e-15j,
       -4.88415011+1.50349806e-15j, -5.23957124+1.56565867e-15j,
        0.24141075+3.80155534e-16j,  2.15323515-9.12489113e-16j,
       -1.74509785+9.72757204e-16j])

積を取ってからTで変換したとき.

T@octo_prod(u,v)

実行結果

array([ 1.70133359-7.60250963e-16j,  3.72400204-1.41564237e-15j,
       -4.88415011+1.62978585e-15j, -5.23957124+2.08488620e-15j,
        0.24141075-1.95692483e-16j,  2.15323515-8.64069962e-16j,
       -1.74509785+0.00000000e+00j])

(厳密なことをいうと\(\mathcal{S,T}\)は既定の変換行列としたので成分はその転置で変換するが, 群をなすから同じこと.)
見たところ数値誤差の範囲で一致している. 安心. Sでやってもやはり一致する. どうやら正しいところに着地していたようだ.

 本当に\(PSL(2,13)\)は\(G_2\)の部分群なのだ.


14次元既約表現と随伴表現

 リー環\(\frak{g}_2\)の次元は14である. したがって随伴表現から14次元表現が得られる.
 
 \({\frak g}_2\)の元は以下のように与えられる[3].
 
 まず, \({\frak b}_3\)(\(SO(7)\)のリー環)の\(\mathbb{R}\)-基G_{ij}\ (1\leq i < j \leq 7)をとる.
\begin{align}
G_{ij}e_k = \left\{\begin{array}{cc}
-e_j& k=i \\
e_i & k=j \\
0 & {\rm else}
\end{array}\right.
\end{align}
すると, \({\frak g}_2\)の元は次の形の元たちの和で表される.
\begin{gather}
\begin{array}{r}
\lambda G_{23} + \mu G_{45} + \nu G_{67},\\
-\lambda G_{13} - \mu G_{46} + \nu G_{57},\\
\lambda G_{12} + \mu G_{47} + \nu G_{56},\\
-\lambda G_{15} + \mu G_{26} - \nu G_{37},\\
\lambda G_{14} - \mu G_{27} - \nu G_{36},\\
-\lambda G_{17} - \mu G_{24} + \nu G_{35},\\
\lambda G_{16} + \mu G_{25} + \nu G_{34},
\end{array}\\
\lambda,\mu,\nu \in \mathbb{R},\ \ \lambda+\mu+\nu = 0
\end{gather}
(\lambda,\mu,\nu)としてはたとえば,
\begin{align}
(\lambda_1,\mu_1,\nu_1)&=\left(\sqrt{\frac{1}{2}},-\sqrt{\frac{1}{2}},0\right),\\
(\lambda_2,\mu_2,\nu_2)&=\left(\sqrt{\frac{1}{6}},\sqrt{\frac{1}{6}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)
\end{align}
の2組を取ればよい. 内積
\begin{align}
(X,Y) = \frac{-1}{2}{\rm tr}(XY)
\end{align}
で定義しておくと\(G_{ij}\)は正規直交基底をなす. したがって, 次の\(K_{i} i=1,\cdots,14\)が\({\frak g}_2\)の\(\mathbb{R}\)-基をなす.
\begin{gather}
\begin{array}{ll}
K_1 = \lambda_1 G_{23} + \mu_1 G_{45} + \nu_1 G_{67}, &
K_8 = \lambda_2 G_{23} + \mu_2 G_{45} + \nu_2 G_{67},\\
K_2 = -\lambda_1 G_{13} - \mu_1 G_{46} + \nu_1 G_{57},&
K_9 = -\lambda_2 G_{13} - \mu_2 G_{46} + \nu_2 G_{57},\\
K_3 = \lambda_1 G_{12} + \mu_1 G_{47} + \nu_1 G_{56}, &
K_{10} = \lambda_2 G_{12} + \mu_2 G_{47} + \nu_2 G_{56},\\
K_4 = -\lambda_1 G_{15} + \mu_1 G_{26} - \nu_1 G_{37}, &
K_{11} = -\lambda_2 G_{15} + \mu_2 G_{26} - \nu_2 G_{37},\\
K_5 = \lambda_1 G_{14} - \mu_1 G_{27} - \nu_1 G_{36}, &
K_{12} = \lambda_2 G_{14} - \mu_2 G_{27} - \nu_2 G_{36}, \\
K_6 = -\lambda_1 G_{17} - \mu_1 G_{24} + \nu_1 G_{35}, &
K_{13} = -\lambda_2 G_{17} - \mu_2 G_{24} + \nu_2 G_{35}, \\
K_7 = \lambda_1 G_{16} + \mu_1 G_{25} + \nu_1 G_{34}, &
K_{14} = \lambda_2 G_{16} + \mu_2 G_{25} + \nu_2 G_{34}.
\end{array}\\
\end{gather}
\({\frak g_2}\)上での随伴表現\(\rho\)を
\begin{gather}
\rho(A) : D \mapsto ADA^{-1}\\
A\in G_2,\ D \in {\frak g}_2
\end{gather}
によって定義すると, 指標\(\chi\)は
\begin{align}
\chi(A) = \sum_{i=1}^{14} (\rho(A)K_i,K_i)
\end{align}
から決められる. これを計算して, 以下の\(PSL(2,13)\)の14次元表現の既約指標を得る.
\begin{gather}
\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline
\mbox{共役類}&1A_1 & 91A_2 & 182A_3 & 84A_{13} & 84B_{13} & 156A_7 & 182A_6 & 156B_7 & 156C_7\\
\hline
\mbox{指標}&14 & -2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}
\end{gather}
14次元既約指標はもうひとつあって, どちらも指数14の極大部分群の1次元表現からの誘導表現として得られるが, \(G_2\)の随伴表現として出てくるのはこちらのほうなのだ.


まとめ

 \(PSL(2,13)\)の7次元既約表現を具体的に構成することで, この群が例外型リー群\(G_2\)の部分群であることを確かめた.

 リー群の有限部分群の分類はそもそもかなり難しい問題らしい[4]. それでも例外型リー群\(G_2,F_4,E_6,E_7,E_8\)の有限部分群はいろいろ調べられていて, 交代群だったり\(PSL(2,q)\)だったりがたくさん出てくる[5-7]. どういう原理があるのだろう?


リファレンス

[1] Evans, David Emrys and Pugh, Mathew J. 2018. Spectral measures for G2 II: finite subgroups. arXiv e-prints , 1404.1866.
https://arxiv.org/abs/1404.1866

[2] Arjeh M. Cohen & David B. Wales (1983) Finite subgroups of G2(C), Communications in Algebra, 11:4, 441-459.
https://doi.org/10.1080/00927878308822857

[3] 横田一郎, 2013, 『例外型単純リー群』, 現代数学社.
arXivで英語版が公開されている.
Ichiro Yokota, 2009, Exceptional Lie groups, arXiv e-prints, 0902.0431.
https://arxiv.org/abs/0902.0431

[4] Lie 群の有限部分群
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/finite_subgroup_of_Lie_group.html

[5] Cohen, A. M., & Wales, D. B. (1995). Finite simple subgroups of semisimple complex Lie groups : a survey. In W. M. Kantor, & L. Di Martino (Eds.), Groups of Lie Type and their Geometries (Proceedings, Como, Italy, June 14-19, 1993) (pp. 77-96). (London Mathematical Society Lecture Note Series; Vol. 207). Cambridge: Cambridge
University Press.
https://pure.tue.nl/ws/files/2496259/588218.pdf

[6] Arjeh M Cohen , Robert L Griess Jr. & Bert Lisser (1993) The group L(2,61) embeds in t h e Lie group of type E8 , Communications in Algebra, 21:6, 1889-1907.
https://doi.org/10.1080/00927879308824659

[7] Griess Jr, R. L., & Ryba, A. J. (2001). Embeddings ofPSL (2, 41) andPSL (2, 49) inE8 (C). Journal of Symbolic Computation, 31(1-2), 211-227.
https://doi.org/10.1006/jsco.1999.1000

*1:部分群\(SU(3)\)による剰余類が\(S^6\)になるため単連結であることから示されている[3].