Shironetsu Blog

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正20面体からE8が生まれる

2項正20面体群からE8へ

 3次元ユークリッド空間の原点周りの回転は四元数で表せる. このことは本ブログで以前から, 特に正20面体に関係する問題を考えるためにたびたび利用してきた.

shironetsu.hatenadiary.com
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 正20面体の(向きを変えない)対称変換は60個あり, 5次交代群と同型な正20面体群をなす. この60個に対応する四元数120個もまた積について閉じており, これを2項正20面体群 (binary icosahedral group)という. 2項正20面体を記号 \widetilde{{\mathcal I}} で表す.


 \(\widetilde{{\mathcal I}}\)の元は次のように列挙することができる. 単位四元数による共役をとっても同型だが, 以下のような特定の表現が可能であることが極めて重要な意義を持つ. なお, ここでは四元数 \(a+b{\bf i}+c{\bf j}+d{\bf k}\) を \((a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4\) で表す.

  • \(\displaystyle{\left(\pm 1,0,0,0\right)}\) の成分を巡回置換した元…8個.
  • \(\displaystyle{\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)}\) の形の元…16個.
  • \(\displaystyle{\left(0,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\phi}{2},\pm \frac{\phi^{-1}}{2}\right)}\) の成分を偶置換で入れ替えた元…96個.

\(8+16+96=120\) 個. ただし, \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) で, \(\phi^2-\phi-1=0\) を満たす.

 よく見ると, どの元の成分も \(a+b \phi\ \left(a,b=0,\pm\frac{1}{2},\pm 1\right)\) の形をしている. \(\phi^{-1}=\phi-1\) に注意. したがって, これらを8成分の有理数からなるベクトルと見ることができる. たとえば,

\begin{align}
\left(1,0,0,0\right) &= \left(1,0,0,0\right) + \left(0,0,0,0\right)\phi\\
&\xrightarrow{\mbox{同一視}} \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right),\\
\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
&= \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) + \Big(0,0,0,0\Big)\phi\\
&\xrightarrow{\mbox{同一視}} \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,0,0\right),\\
\left(0,\frac{1}{2},\frac{\phi}{2}, \frac{\phi^{-1}}{2}\right) &= \left(0,\frac{1}{2},0,\frac{-1}{2}\right) + \left(0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\phi\\
&\xrightarrow{\mbox{同一視}} \left(0,\frac{1}{2},0,\frac{-1}{2},0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{align}

のように. こうして120本の8次元ベクトルが得られる.

 さらにじっくり見ると, \(\widetilde{{\mathcal I}}\) の元を \(\phi\) 倍しても同じ形になることに気付く. これを\(\phi\widetilde{{\mathcal I}}\)で表すと,

  • \(\displaystyle{\left(\pm \phi,0,0,0\right)}\) の成分を巡回置換した元…8個.
  • \(\displaystyle{\left(\pm \frac{\phi}{2},\pm \frac{\phi}{2},\pm \frac{\phi}{2},\pm \frac{\phi}{2}\right)}\) の形の元…16個.
  • \(\displaystyle{\left(0,\pm \frac{\phi}{2},\pm \frac{1+\phi}{2},\pm \frac{1}{2}\right)}\) の成分を偶置換で入れ替えた元…96個.

から成っている. 上と同様の同一視で, さらに120本の8次元ベクトルを得る.

 \(\widetilde{{\mathcal I}}\) と \(\phi\widetilde{{\mathcal I}}\) で合わせて240本の8次元ベクトル. 全てノルムは1になっている. 長さが同じ240本の8次元ベクトル...\(E_8\)のルートベクトルの数に一致する...

 実はこれらはまさに\(E_8\) 型のルート系になっているのである [1].

 \(E_8\) と 正20面体は深いつながりを持っている [2]. その一例が, 2項正20面体群の指標表から\(E_8\)型拡大ディンキン図形のカルタン行列の固有ベクトルが現れるという現象であった. 上掲ブログ記事参照. 今回見るのはまたそれとは異質な現象である.


240本のベクトルがE8のルート系に一致すること

 本当に240本のベクトルが \(E_8\) のルート系になっているのか確かめよう. 力技で示す. 240本のベクトルたちの集合を \(\Delta\) とする. 天下り的だが, まず, \(\Delta\) の中から次の8本をとる.

\begin{align}
\alpha_1 &= (0,0,0,0,0,0,0,1) \leftarrow (0,0,0,\phi)\\
\alpha_2 &= (0,0,0,0,0,0,1,0) \leftarrow (0,0,\phi,0)\\
\alpha_3 &= (0,0,0,0,0,1,0,0) \leftarrow (0,\phi,0,0)\\
\alpha_4 &= \left(0,0,0,0,\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2}\right)
\leftarrow \left(\frac{\phi}{2},\frac{-\phi}{2},\frac{-\phi}{2},\frac{-\phi}{2}\right)\\
\alpha_5 &= (0,0,0,1,0,0,0,0)\leftarrow(0,0,0,1)\\
\alpha_6 &= \left(0,0,\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},0,0,\frac{-1}{2}\right)
\leftarrow\left(\frac{-\phi}{2},0,\frac{1}{2},\frac{-1-\phi}{2}\right)\\
\alpha_7 &= \left(0,\frac{1}{2},\frac{-1}{2},0,\frac{-1}{2},0,\frac{-1}{2},0\right)
\leftarrow\left(\frac{-\phi}{2}, \frac{1}{2},\frac{-1-\phi}{2},0\right)\\
\alpha_8 &= \left(\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},0,0,0,0\right)
\leftarrow\left(\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-1}{2}\right)\\
\end{align}

 この8本の成す集合を \(A\) とする. これらが \(E_8\) の単純ルートに一致することは, 次のように示す.

 8次元の標準内積を \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) で表すと, (i,j) 成分が\(\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle\) である行列 \(M\) の2倍は次のようになる.

\begin{align}
2M = \left(\begin{array}{rrrrrrrr}
2 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-1 & -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
\end{align}

 これは \(E_8\) のカルタン行列となっているが, ディンキン図形を見ることでよりはっきりする.

 \(2I-2M\) はちょうど0か1のみを成分に持つ対称行列となるため, これをグラフの接続行列と見て頂点に \(\alpha_i\) を配すると次の図のようになる. これが \(E_8\) のディンキン図形に一致することから, \(A\) が \(E_8\) の単純ルートに一致することが分かる.

f:id:shironetsu:20190911005305p:plain:w400

 \(\Delta\) に含まれる240本のベクトルたちのうち, 半分は \(\alpha_i (i=1,2,\cdots,8)\) の非負整数係数の線形和で表されることが実際に計算することで分かる. もう半分は各々の \(-1\) 倍である. 前者の集合を\(\Delta^+\)で表すことにして, \(\lambda \in \Delta^+\) に対して

\begin{align}
\lambda = n_1\alpha_1 + n_2 \alpha_2 + \cdots + n_8 \alpha_8
\end{align}

となるときの\(n_1,n_2,\cdots,n_8\)を以下に列挙する. \(\lambda\) はすべての成分を整数係数とするため2倍している.

\begin{align}
\begin{array}{rrrrrrrr|cccccccc}
&&&2\lambda&(\lambda&\in&\Delta^+)&&n_1&n_2&n_3&n_4&n_5&n_6&n_7&n_8\\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1&0&0&0&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0&1&0&0&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0&0&1&0&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0&0&0&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1&0&0&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0&1&0&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1&1&0&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0&0&1&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1&0&1&1&0&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0&1&1&1&0&0&0&0\\
\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0\\
\\
0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\
\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0\\
\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 2 & 2 & 4 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 1 & 2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 1 & 2 & 2 & 0\\
1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\\
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 2 & 2 & 4 & 1 & 2 & 1 & 1\\
\\
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 & 1 & 1\\
\\
1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 3 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 4 & 2 & 2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 & 2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 & 2 & 4 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 3 & 2 & 5 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 3 & 3 & 5 & 2 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 1 & 2 & 2 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 3 & 3 & 2 & 4 & 2 & 3 & 2 & 1\\
\\
1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 4 & 3 & 2 & 4 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 4 & 3 & 2 & 5 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 4 & 4 & 2 & 5 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 4 & 3 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 4 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 4 & 4 & 3 & 6 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2 & 3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & 3 & 6 & 2 & 4 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & 3 & 6 & 3 & 4 & 2 & 1\\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & 3 & 6 & 3 & 4 & 2 & 2\\
\end{array}
\end{align}

よし.

 さて, これを確かめたことで何のご利益があるかというと, 次の事実から \(\Delta\) が \(E_8\) のルート系に一致することが言えるのである.


\(E_8\)の単純ルート(すべて長さ1に規格化されている)の整数係数線形和で表されるベクトル
\begin{align}
v = m_1\alpha_1 + m_2\alpha_2 +\cdots + m_8\alpha_8\ \ \ (m_1,m_2,\cdots,m_8 \in \mathbb{Z})
\end{align}
について, \(\|v\|=1\) であるもの*1はちょうど240本だけ存在し, これらが\(E_8\) のルート系全体を成す.

上で240本のベクトルすべてがこの形をしていて長さ1であることを確かめたので, \(\Delta\) が \(E_8\) のルート系であることが示される.

実はこのことは次の事実の系になっている.


\begin{align}
v = m_1\alpha_1 + m_2\alpha_2 +\cdots + m_8\alpha_8\ \ \ (m_1,m_2,\cdots,m_8 \in \mathbb{Z})
\end{align}

について, \(\|v\|^2=n\in\mathbb{N}\) であるものの個数は, 240\sigma_3(n)である. ここで \sigma_3(n) は \(n\) の約数たちの3乗の和;

\begin{align}
    \sigma_r(n) := \sum_{d|n}d^r.
\end{align}

 格子に対するテータ関数の理論からこのことが分かるらしい [3]. \(n\) に対するこの数列がオンライン整数列辞典にある.

Expansion of Eisenstein series E_4(q) (alternate convention E_2(q)); theta series of E_8 lattice.
A004009 - OEIS

\(n=1\)のときは当然\sigma_3(1)=1なので, 240本ということになる.

 素晴らしい定理だが, 今の自分には手に負えない. 一般の\(n\)に対してこれを確かめるのは諦めて, \(n=1\)の場合に240本に限られることだけを愚直な計算で確かめる.

 まず, 上の式で表される\(v\)について,

\begin{align}
\|v\|^2 &= m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2+m_5^2+m_6^2+m_7^2+m_8^2\\
&\ \ \ -m_1m_4-m_1m_6-m_2m_4-m_2m_7-m_3m_4-m_5m_6-m_5m_8\\
&= \left(m_3-\frac{1}{2}m_4\right)^2\\
&\ \ \ +\left(m_7-\frac{1}{2}m_2\right)^2 + \frac{3}{4}\left(m_2-\frac{2}{3}m_4\right)^2\\
&\ \ \ +\left(m_8-\frac{1}{2}m_5\right)^2 + \frac{3}{4}\left(m_5-\frac{2}{3}m_6\right)^2
+ \frac{2}{3}\left(m_6-\frac{3}{4}m_1\right)^2
+ \frac{5}{8}\left(m_1-\frac{4}{5}m_4\right)^2
+\frac{1}{60}m_4^2
\end{align}

から,

\begin{align}
120\|v\|^2 &= 30\left(2m_3-m_4\right)^2\\
&\ \ \ +30\left(2m_7-m_2\right)^2 + 10\left(3m_2-2m_4\right)^2\\
&\ \ \ +30\left(2m_8-m_5\right)^2 + 10\left(3m_5-2m_6\right)^2
+ 5\left(4m_6-3m_1\right)^2
+ 3\left(5m_1-4m_4\right)^2
+2m_4^2\\
&= 30a_1^2 +30a_2^2 + 10a_3^2+30a_4^2 + 10a_5^2 + 5a_6^2 + 3a_7^2 + 2a_8^2.
\end{align}

ただし,

\begin{align}
a_1 &= 2m_3-m_4,\\
a_2 &= 2m_7-m_2,\\
a_3 &= 3m_2-2m_4,\\
a_4 &= 2m_8-m_5,\\
a_5 &= 3m_5-2m_6,\\
a_6 &= 4m_6-3m_1,\\
a_7 &= 5m_1-4m_4,\\
a_8 &= m_4.
\end{align}

また,

\begin{align}
\begin{pmatrix}
5m_1\\
3m_2\\
2m_3\\
m_4\\
30m_5\\
20m_6\\
6m_7\\
60m_8
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 10 & 5 & 3 & 12\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 12\\
0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 & 30 & 10 & 5 & 3 & 12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
a_5\\
a_6\\
a_7\\
a_8
\end{pmatrix}.
\end{align}

ここまで準備すると \(\|v\|=1\) の整数解240個を計算できて, 上に列挙した \((n_1,n_2,\cdots,n_8)\) に一致することが分かる.

何も考えずに書いたこの解を列挙するpythonコードの一例.

count = 0
for a1 in range(-2,3):
    for a2 in range(-2,3):
        for a3 in range(-3,4):
            for a4 in range(-2,3):
                for a5 in range(-3,4):
                    for a6 in range(-4,5):
                        for a7 in range(-6,7):
                            for a8 in range(-7,8):
                                v = 30*a1*a1 + 30*a2*a2 + 10*a3*a3 + 30*a4*a4 + 10*a5*a5 + 5*a6*a6 + 3*a7*a7 + 2*a8*a8
                                if(v==120):
                                    b1 = a7 + 4*a8
                                    b2 = a3 + 2*a8
                                    b3 = a1 + a8
                                    b4 = a4
                                    b5 = 10*a5 + 5*a6 + 3*a7 + 12*a8
                                    b6 = 5*a6 + 3*a7 + 12*a8
                                    b7 = 3*a2 + a3 + 2*a8
                                    b8 = 30*a4 + 10*a5 + 5*a6 + 3*a7 + 12*a8
                                    if(b1%5==0 and b2%3==0 and b3%2==0 and b5%30==0 and b6%20==0 and b7%6==0 and b8%60==0):
                                        m1 = b1//5
                                        m2 = b2//3
                                        m3 = b3//2
                                        m4 = b4
                                        m5 = b5//30
                                        m6 = b6//20
                                        m7 = b7//6
                                        m8 = b8//60
                                        count += 1
                                        print(count,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8)

出力

1 0 0 -1 0 0 0 0 0
2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
3 4 3 2 0 2 3 1 1
(中略)
238 -4 -3 -2 0 -2 -3 -1 -1
239 1 1 1 1 1 1 1 1
240 0 0 1 0 0 0 0 0

 ちょうど240個の整数解. こうして \(\Delta\) が \(E_8\) のルート系に一致することが確かめられた.


もっとスマートに

 もう少し賢く示せないだろうか?

 ルート系をなすための条件のうち,

任意の2つの元の内積*2半整数値を取ること

は \(\phi\) の性質を使うと実は簡単に分かる.

\(p = a+b\phi\) と \(q = c+d\phi\)をともに\(\widetilde{\mathcal{I}}\cup\phi\widetilde{\mathcal{I}}\) の元, \(a,b,c,d\)を有理数係数の四元数とする. このとき, 8次元ベクトルと見たときの内積は,

\begin{align}
\langle (a,b),(c,d)\rangle_{\mathbb{R}^8}
& = \langle a,c\rangle_{\mathbb{R}^4} + \langle b,d\rangle_{\mathbb{R}^4}\\
& = {\rm Re}(a\bar{c}+b\bar{d})\\
& = \left({\rm Re}(a\bar{c}+b\bar{d}+(a\bar{d} + b\bar{c} +b\bar{d})\phi) \right)_\phi\\
& = \left({\rm Re}(p\bar{q})\right)_\phi.
\end{align}

ただし,

\begin{align}
p\bar{q} &= (a+b\phi)(\bar{c}+\bar{d}\phi)\\
&=a\bar{c} + b\bar{c}\phi + a\bar{d}\phi + b\bar{d}\phi^2\\
&=a\bar{c}+b\bar{d}+(a\bar{d} + b\bar{c} +b\bar{d})\phi
\end{align}

を用いた.

 未定義の記号を濫発してしまった. \(\langle *,*\rangle_{\mathbb{R}^n}\) は \(n\) 次元空間の標準内積, \({\rm Re}(*)\) は 四元数の実部である. (*)_\phiが特殊で, 有理数\(x,y\)に対して,

\begin{align}
(x+y\phi)_\phi = x
\end{align}

で定義する. つまり, 有理数体に\(\phi\)を添加した2次拡大体における"有理数部"である*3.これらを使うと, 上の式で表したように, \(p,q\)の8次元内積は積\(p\bar{q}\)の実部の"有理数部"であることが分かる. \(p\bar{q}\)は高々\(\widetilde{\mathcal I}\)の元の\(1,\phi,\phi^2=1+\phi\)倍で, 一方 \(\widetilde{\mathcal I}\) の元の実部は

\begin{align}
0,\ \pm\frac{1}{2},\ \pm 1,\ \pm\frac{\phi}{2},\ \pm\frac{\phi-1}{2}
\end{align}


に限られるから, \(\left({\rm Re}(p\bar{q})\right)_\phi\) の値はまた
\begin{align}
0,\pm\frac{1}{2},\pm 1
\end{align}

に限られる. したがって, \(\Delta\) の2つの元の内積はこれらの半整数値しかとらない.

では, \(\Delta\) が鏡映に関して閉じていることもきれいに示せるだろうか? これが分からなかった. もとが積についてのみ閉じている群なので, 和をとることになる鏡映とは相性が良くない. \(E_8\) を特徴づける性質を通して間接的にこれらが鏡映で閉じることは分かるが, 直接示せたらもっと嬉しい. 今後の課題.


まとめ

 2項正20面体群を四元数で表現したとき, それ自身とその\(\phi\) 倍から \(E_8\) のルート系が現れることを見た. \(E_8\) の単純ルートの整数係数線形和のうち, ノルムが最小のものが240個に限られ, それらがルート系をなす事実からこれがまさしく\(E_8\)であることを確かめた. より簡潔にルート系であることを示すことが課題として残る.

 ここでは 正20面体「から」E8が出現することを見たが, 「例外性」を司る何かが背後にいて, その「影」として正20面体, E8, また6次対称群などが現れている, という見方のほうがもっともらしい気はする(poem).

shironetsu.hatenadiary.com


リファレンス

タイトルはこの論文のパクりである.
[1] Dechant P-P. 2016 The birth of E8 out of the spinors of the icosahedron. Proc. R. Soc. A 472: 20150504.
http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2015.0504

[2] Baez, J. C. "From the Icosahedron to E8", 2017.
From the Icosahedron to E8 | Azimuth

[3] Conway, J. H., & Sloane, N. J. A. (1999). Sphere packings, lattices and groups (Vol. 290). Springer Science & Business Media.
www.springer.com

*1:単純ルートのノルムの2乗が2になる定義のほうがよく使われるため注意.

*2:\(\Delta\)がルート系をなすための本来の条件のひとつは, \(x,y\in\Delta\) に対して \(\langle x,y\rangle/\langle x,x\rangle\) が半整数となることだが, 今はノルムがすべて1となっているため単に内積半整数となればよい.

*3:\(1,\phi\)は有理数体上1次独立だが, たとえば\(\sqrt{5}=-1+2\phi\)はこれらの有理数係数和であるため, \(\sqrt{5}\)を基底に取って同じ意味で"有理数部"を使うとこれらは一致しない. あまり適切な名称ではないが, 他に良い呼び名も思い浮かばないため, 引用符付きで使うことにする.