ホタルの名前はノクチルカ――夜光虫命名小史

ノクチルは夜光虫

enza対応ゲーム「アイドルマスター シャイニーカラーズ」noctchill ユニットPV

「アイドルマスターシャイニーカラーズ」（シャニマス）に登場する幼馴染4人組ユニット「ノクチル」。2020年3月22日の公式配信で公開され、そのユニット名の由来が蛍光を発するプランクトン、夜光虫（ヤコウチュウ）の学名 Noctiluca scintillans（ノクチルカ・シンチランス）だろう、ということは、ファンの間ではすぐに気付かれていた。

円分多項式の係数を計算する - 〈105〉を超えて

Introduction

の原始 乗根全てを根に持つ多項式で、モニック(最高次の係数が )なものを 次の 円分多項式 (cyclotomic polynomial) と呼ぶ. これを で表す.

定義からすぐに導けるように,

\begin{align} \Phi_n(X) = \prod_{\begin{array}{cc} 1 \leq k < n \\ {\rm gcd}(n,k) = 1 \end{array}} \left(X-\exp{\frac{2\pi \sqrt{-1}\,k}{n}}\right). \end{align}

これを展開する方法は後で説明することにして, 最初のいくつかを見よう.

\begin{align} \Phi_1(X) &= X-1\\ \Phi_2(X) &= X+1\\ \Phi_3(X) &= X^2+X+1\\ \Phi_4(X) &= X^3+X^2+X+1\\ \Phi_5(X) &= X^4+X^3+X^2+X+1\\ \Phi_6(X) &= X^2-X+1\\ \Phi_7(X) &= X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1\\ \Phi_8(X) &= X^4+1\\ \Phi_9(X) &= X^6+X^3+1\\ \Phi_{10}(X) &= X^4-X^3+X^2-X+1\\ \Phi_{11}(X) &= X^{10}+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1\\ \Phi_{12}(X) &= X^4-X^2+1 \end{align}

この範囲で各項の係数には しか現れない. 延々と計算を続けると, に至っても係数はやはり のいずれかで, 円分多項式とはそういうものなのだと予想したくなる. ところが, に至って平穏は破られ, 係数に が出現する:

\begin{align} \require{autobold} \Phi_{105}(X) = & \phantom{+}X^{48}+ X^{47}+ X^{46}- X^{43}- X^{42}-\boldsymbol{2X^{41}}- X^{40} - X^{39}+ X^{36} + X^{35} + X^{34}\\ &+X^{33}+ X^{32} + X^{31} - X^{28} - X^{26}- X^{24} - X^{22}- X^{20}+ X^{17} + X^{16} + X^{15}\\ &+ X^{14}+ X^{13}+ X^{12} - X^{9}- X^{8}\boldsymbol{-2X^{7}}- X^{6} - X^{5} + X^{2}+ X + 1. \end{align}

リーチ格子にふれる

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　前回の記事では, -格子について調べる中で, 保型形式と格子との間の深いつながりを垣間見た. -格子のノルムに対する数え上げ公式が, 格子の偶ユニモジュラー性というありがたい性質を持つことから導かれるのだった.

　今回の主役はリーチ格子 Leech latticeである.

　前回とは少し順序を変えて, ウェイト12の保型形式のもつ性質に注目することから始めよう.

E8-格子にふれる

イントロ：E8-格子と約数関数

　以前の記事で のルート系が2項正20面体群から得られることについて書いた.

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　その際, -格子に含まれる, 「長さの2乗」=「ノルム」*1が の点の総数 が以下の式で与えられるという事実 [Conway]を引用した.

　不思議だ. なぜここに数論的な関数が…? なぜ3乗…?などなど.

*1:以下「ノルム」はこの意味でしか用いない. つまり, 平方根をとることを考えない.

正20面体からE8が生まれる

2項正20面体群からE8へ

　3次元ユークリッド空間の原点周りの回転は四元数で表せる. このことは本ブログで以前から, 特に正20面体に関係する問題を考えるためにたびたび利用してきた.

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　正20面体の（向きを変えない）対称変換は60個あり, 5次交代群と同型な正20面体群をなす. この60個に対応する四元数120個もまた積について閉じており, これを2項正20面体群 (binary icosahedral group)という. 2項正20面体を記号 で表す.

モーメント3

既知理論の分析から「設計者の思想とユーモアのセンスを理解した」と主張する宇宙のシミュレーション仮説の過激な信奉者の一派が、仮説の強力な証拠になりうる「イースター・エッグ」を起動するため、自然には起こりえない複雑な手順で粒子を衝突させる巨大な装置を作り上げたが…。

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〈世界の淵〉を遡上して力尽き浜辺に打ち上げられたリヴァイアサン（外海を原産地とする大型海獣の総称）は「寄生虫の宝箱」と呼ばれ、漂着イベントごとに膨大な数に及ぶ新種の命名に関しては宿主・寄生部位等を符号化した体系的な命名法が提唱されている。

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皇帝の命を受け発見された全ての恒星に固有の文字を制定する造文局は、単一の変光星ではなく連星系であることが判明した結果、廃字となる一つの文字と同時に新たに追加される二つを公表した。

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開戦の兆しが見えた頃、海中油田の所有者達は鯨油採取のために品種改良された鯨の増産体制に移るとともに、かれらをただ燃料源として利用するだけではなく兵器――生体魚雷――に転用する方法を化学者に求めたが、研究の成果はあらゆる生体に"着火"するための汎用的な技術――人間爆弾の原型――であった。

人類を未知の世界に導く天体たち――グレッグ・イーガン"Perihelion Summer"&"The Slipway"

　今年2019年の前半、グレッグ・イーガンによる2つの中短編SFが続けて発表された。

　ひとつは、"Perihelion Summer"。Tor.comから4月16日に発売。

Perihelion Summer (English Edition)

Perihelion Summer by Greg Egan | Tor.com Publishing

　もうひとつは、"The Slipway"。Analog誌7/8月号に掲載。

Story Excerpt | Analog Science Fiction

　どちらも現代（特にオーストラリアを中心として）が舞台・人類が初めて遭遇する天体現象*1が描かれるという共通点を持ちながら、物語の趣はかなり異なっている。それぞれ内容を紹介する。

*1:Slipwayのほうは「天体」とは呼べないかもしれないが。